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北师大新版九年级上册《第2章 一元二次方程》2015年单元测
试卷
一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）
1．方程2x2﹣3=0的一次项系数是( )
A．﹣3 B．2C．0D．3
2．方程x2=2x的解是( )
A．x=0 B．x=2 C．x =0，x =2 D．x =0，x =
1 2 1 2
3．方程x2﹣4=0的根是( )
A．x=2 B．x=﹣2C．x =2，x =﹣2 D．x=4
1 2
4．若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是( )
A．﹣1 B．0C．1D．2
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是( )
A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
6．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图
所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是(
)
A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0
C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0
7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是( )
A．6B．8C．10 D．12
8．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
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9．若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值范围是( )
A．1B．1或﹣1 C．﹣1 D．2
10．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠
了132件，那么全组共有( )名学生．
A．12 B．12或66 C．15 D．33
二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）．
11．写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：__________．
12．﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=__________，另一个根是__________．
13．方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是__________．
14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x 、x ，x +x =__________．
1 2 1 2
15．用换元法解方程 +2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元
二次方程的一般形式是__________．
三、按要求解一元二次方程：
16．按要求解一元二次方程
（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）
（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）
（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
（4）x2﹣2x﹣8=0．
四、细心做一做：
20．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，
如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？
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21．如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽的、
供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？
22．某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160
万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？
23．中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬
衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定
为多少？这时每月应进多少件衬衫？
24．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终
点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点
时另一个点也随之停止移动．
（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若
有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．
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北师大新版九年级上册《第 2 章 一元二次方程》2015 年
单元测试卷
一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）
1．方程2x2﹣3=0的一次项系数是( )
A．﹣3 B．2C．0D．3
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条
件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常
数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．
【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．
2．方程x2=2x的解是( )
A．x=0 B．x=2 C．x =0，x =2 D．x =0，x =
1 2 1 2
【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．
【专题】因式分解．
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根．
【解答】解：x2﹣2x=0
x（x﹣2）=0
∴x =0，x =2．
1 2
故选C．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因
式分解，可以求出方程的根．
3．方程x2﹣4=0的根是( )
A．x=2 B．x=﹣2C．x =2，x =﹣2 D．x=4
1 2
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】先移项，然后利用数的开方解答．
【解答】解：移项得x2=4，开方得x=±2，
∴x =2，x =﹣2．
1 2
故选C．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且
a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，
先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
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4．若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是( )
A．﹣1 B．0C．1D．2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，要方程无
实数根，则△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出满足条件的最小整数k．
【解答】解：方程变形为：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，
当△＜0，方程没有实数根，即△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，
解得k＞ ，则满足条件的最小整数k为2．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方
程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是( )
A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．
【解答】解：移项得：x2﹣4x=5，
配方得：x2﹣4x+22=5+22，
（x﹣2）2=9，
故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．
6．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图
所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是(
)
A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0
C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x﹣1400=0，
即x2+65x﹣350=0．
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故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再
进行化简．
7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是( )
A．6B．8C．10 D．12
【考点】勾股定理．
【分析】设这三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理可得出（x+2）2=（x+1）2+x2，解方程可求
得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可．
【解答】解：设这三边长分别为x，x+1，x+2，
根据勾股定理得：（x+2）2=（x+1）2+x2
解得：x=﹣1（不合题意舍去），或x=3，
∴x+1=4，x+2=5，
则三边长是3，4，5，
∴三角形的面积= ××4=6；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定理
得出方程是解决问题的关键．
8．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到
其周长．
【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x =6，x =3
1 2
∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系
∴等腰三角形的腰为6，底为3
∴周长为6+6+3=15
故选C．
【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．
9．若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值范围是( )
A．1B．1或﹣1 C．﹣1 D．2
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△=22﹣4（k+2）=0，
解得k=﹣1．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
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10．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠
了132件，那么全组共有( )名学生．
A．12 B．12或66 C．15 D．33
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x﹣1件，全组共互赠了x（x﹣1）件，共互赠了
132件，可得到方程，求解即可．
【解答】解：设全组共有x名学生，由题意得
x（x﹣1）=132
解得：x =﹣11（不合题意舍去），x =12，
1 2
答：全组共有12名学生．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）．
11．写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2： ﹣ 3 x 2 +2x﹣3= 0．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】开放型．
【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可．
【解答】解：由题意得：﹣3x2+2x﹣3=0，
故答案为：﹣3x2+2x﹣3=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，
b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项
系数，常数项．
12．﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=﹣4，另一个根是5．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣1代入方程得出关于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即
可．
【解答】解：∵x=﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个实数根，
∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0，
解得b=﹣4，
即方程为x2﹣4x﹣5=0，
（x+1）（x﹣5）=0，
解得：x =﹣1，x =5，
1 2
即b的值是﹣4，另一个实数根式5．
故答案为：﹣4，5；
【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
13．方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是y =﹣ ， y = ．
1 2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】因式分解．
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【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求
得．
【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0，
∴2y+1=0或2y﹣3=0，
解得y = ，y = ．
1 2
【点评】解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复杂
问题的一个原则．
14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x 、x ，x +x =3．
1 2 1 2
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x ，x ，则
1 2
x +x =﹣ ，代入计算即可．
1 2
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x 、x ，
1 2
∴x +x =3，
1 2
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x ，
1
x ，则x +x =﹣ ，x •x = ．
2 1 2 1 2
15．用换元法解方程 +2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元
二次方程的一般形式是 y 2 ﹣3y﹣1=0 ．
【考点】换元法解分式方程．
【专题】换元法．
【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把x2﹣2x看做一个整体．
【解答】解：原方程可化为：
﹣（x2﹣2x）+3=0
设y=x2﹣2x
﹣y+3=0
∴1﹣y2+3y=0
∴y2﹣3y﹣1=0．
【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换元
的整体．
三、按要求解一元二次方程：
16．按要求解一元二次方程
（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）
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（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）
（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
（4）x2﹣2x﹣8=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平
方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
（2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解．
（3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其
结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解．
（4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）
移项得，x2﹣2x=﹣ ，
配方得，x2﹣2x+1=﹣ +1，
（x﹣1）2= ，
∴x﹣1=±
∴x =1+ ，x =1﹣ ．
1 2
（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）
7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，
（5x+2）（7x﹣6）=0，
∴5x+2=0，7x﹣6=0，
∴x =﹣ ，x = ；
1 2
（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
整理得，3x2+10x+5=0
∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40，
∴x= = = ，
∴x = ，x = ；
1 2
（4）x2﹣2x﹣8=0．
（x+4）（x﹣2）=0，
∴x+4=0，x﹣2=0，
∴x =﹣4，x =2．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元
一次方程．
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四、细心做一做：
20．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，
如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程求解．
【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150
解这个方程 ；x =10
2
当养鸡场的宽为 时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，
当养鸡场的宽为x =10m时，养鸡场的长为15m．
1
答：鸡场的长与宽各为15m，10m．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般．
21．如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽的、
供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好
构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解．
【解答】解：设小路的宽应是x米，则剩下草总长为（32﹣2x）米，总宽为（15﹣x）米，
由题意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣ ）
即x2﹣31x+30=0
解得x =30 x =1
1 2
∵路宽不超过15米
∴x=30不合题意舍去
答：小路的宽应是1米．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
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22．某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160
万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况．
（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了．
【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，
根据题意，得1500（1+x）2=2160．
解得x =0.2，x =﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．
答：2007年该企业盈利1800万元．
（2）2160（1+0.2）=2592．
答：预计2009年该企业盈利2592万元．
【点评】本题考查的是增长率的问题．增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有
关数量，b为终止时间的有关数量．
23．中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬
衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定
为多少？这时每月应进多少件衬衫？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），再由每月赚8000元，可得方程，
解方程即可．
【解答】解：设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），
由题意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000，
整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x2=8000，
解得：x = ，x = ，
1 2
当x = 时，则涨价10元，销量为：400件；
1
当x = 时，则涨价30元，销量为：200件．
2
答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的
关键，注意分情况讨论思想的应用．
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24．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终
点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点
时另一个点也随之停止移动．
（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若
有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定．
【专题】几何动点问题．
【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S = S 列出方程求解；
△PCQ △ABC
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或
∠CPQ=∠B，则有 = 或 = ，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）设运动时间为ys，PQ与CD互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三
角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再证明△PCQ∽△BCA ，那么 = ，依此列出比
例式 = ，解方程即可．
【解答】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ，
由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，
则 ×2x（6﹣x）= × ×8×6，
解得：x=2或x=4．
故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的 ；
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．
当△PCQ与△ACB相似时，则有 = 或 = ，
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所以 = ，或 = ，
解得t= ，或t= ．
因此，经过 秒或 秒，△OCQ与△ACB相似；
（ 3）有可能．
由勾股定理得AB=10．
∵CD为△ACB的中线，
∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，
又PQ⊥CD，
∴∠CPQ=∠B，
∴△PCQ∽△BCA，
∴ = ， = ，
解得y= ．
因此，经过 秒，PQ⊥CD．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定
理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
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