文档内容
6.1 抽样方法及特征数（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 抽样方法
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700
个零件进行编号001、002、…、699、700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若
从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ）
3321183429 7864560732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073285 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．607 B．328 C．253 D．007
【答案】B
【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的数据中有两个超出范围，一个重复，
抽取的5个样本编号分别是：253，313，457，007，328，所以得到的第5个样本编号是328.
选：B
【例1-2】（2021·陕西高三）某乡政府对甲、乙、丙三个村的扶贫对象进行抽样调查，其中甲村30人，
乙村25人，丙村40人，用分层抽样的方法抽取19人，则从甲、丙两村共抽取的人数为（ ）
A．8 B．11 C．13 D．14
【答案】D
【解析】设甲、丙两村抽取的人数分别为 、 .
依题意得 ，解得 ， ，所以 .故选：D.
【一隅三反】1．（2022·山东青岛·二模）某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层
随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数
为___________.
【答案】52
【解析】由分层抽样的性质得：女生应该抽取： ．故答案为：52．
2．（2023·全国·高三专题练习）某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，
现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则
___________；
【答案】24
【解析】由题意， ，可得 .故答案为：24
3．（2022·陕西·交大附中模拟预测（文））要考查某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从
500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8
行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则所抽取样本中第三
袋牛奶的编号是_________．（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211
【答案】169
【解析】从第8行第5列的数开始向右读，第一个数为583，不符合条件，第二个数为921，不符合条件，
第三个数为206，符合条件，以下依次为：766，301，647，859，169，555，其中766，647，859，不符合
条件，故第三个数为169．
考点二 特征数
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）某学校举行诗歌朗诵比赛，10位评委对甲、乙两位同学的表现打
分，满分为10分，将两位同学的得分制成如下茎叶图，其中茎叶图茎部分是得分的个位数，叶部分是得分
的小数，则下列说法错误的是（ ）
A．甲同学的平均分大于乙同学的平均分B．甲、乙两位同学得分的极差分别为2.4和1
C．甲、乙两位同学得分的中位数相同
D．甲同学得分的方差更小
【答案】D
【解析】对于甲，
对于乙， 故 正确.
甲的极差 ，乙的极差 故 正确.
甲得分的中位数 ，乙得分的中位数 ，故 正确.
对于甲
，
对于乙，
故 错误.故选 .
【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩
（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.012
B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在 内的学生人数为110
【答案】B
【解析】由 可得 ，故A错误
前三个矩形的面积和为 ，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B
正确这20名学生数学考试成绩的众数为 ，故C错误
这20名学生数学考试成绩落在 内的学生人数为 ，则总体中成绩落在 内的学生人
数为 ，故D错误故选：B
【例2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数据 ， ，…， 的平均值为 ，方差为 ，若数据 ，
，…， 的平均值为 ，方差为 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，…， 的平均值为 ，方差为 ，
由数据 ， ，…， 的平均值为 ，方差为 ，
所以 ，解得 ， ．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲､乙两名选手打出的分数
的茎叶图（其中 均为数字 中的一个），在去掉一个最高分和一个是低分后，则下列说法错误的是
（ ）A．甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数
B．甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数
C．甲选手得分的众数与 的值无关
D．甲选手得分的方差与 的值无关
【答案】C
【解析】由题意，甲选手得分的平均数 ，
乙选手得分的平均数 ，故选项A正确；
无论 为何值，甲选手得分的中位数一定是85，乙选手得分的中位数是84，故选项B正确；
当 时，甲选手得分的众数为81，85，当 时，甲选手得分的众数为85，故选项C不正确；
因为 是最高分，被去掉，故甲选手得分的方差与 的值无关，故选项D正确；故选：C.
2．（2022·天津滨海新·模拟预测）某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情
况，销售额都在区间5，25（单位：百万元）内，将其分成5组：5，9，[9，13，13，17，17，21，
21，25，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.06
B．估计全部销售员工销售额的中位数为15
C．估计全部销售员工中销售额在区间[9，13内有64人D．估计全部销售员工销售额的第75百分位数为17
【答案】C
【解析】由频率分布直方图可得 ，解得 ，故A错误；
估计其全部销售员工中销售额在区间 内的人数为： （人），故C正确；
设中位数为 ，则 ，解得 ，故B错误；
因为 ，故 为第 百分位数，故D错误；故选：C
3．（2022·全国·模拟预测）（多选）某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意
度，分别从不同地铁站点随机抽取1000名市民对该项目进行评分，统计发现评分均在 内，把评分
分成 ， ， ， ， ， 六组，并绘制成频率分布直方图（如图所
示）.则下列判断正确的是（ ）
A．图中a的值为0.025 B．该次满意度评分的平均分为85
C．该次满意度评分的众数为85 D．大约有34%的市民满意度评分在 内
【答案】ACD
【解析】由频率分布直方图知 ，由 得 ，
故A正确；因为 ，所以满意度的平均分为
80.7，故B错误；由频率分布图可知众数估计为85，故C正确； ，由样本估计总
体可以认为约有34%的市民评分在 内，故D正确.故答案为：ACD.4．（2023·河北·高三阶段练习）（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从中有放
回的取出5个球并记录取球结果，则下列统计结果中可能取出6号球的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，极差为2
【答案】AB
【解析】对于A：若取出的5个球为1、1、2、5、6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现6号球，
故A正确；
对于B：若取出的5个球为2、2、3、4、6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现6号球，故B正确；
对于C：若平均数为2，方差为2.4，则方差 ，所以不能出现6号球，故C错误；
对于D：若中位数为3，极差为2，则取出的最大号为5，不能出现6号球，故D错误；
故选：AB.
5．（2022·四川成都·高三期末（理））若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，
，17， 的平均数和方差分别为（ ）
A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8
【答案】C
【解析】数据9，m，6，n，5的平均数为 ，
方差为 ，
化简得 ，解得 或 ，
或 ，
则数据11，9， ，17， 为 或 ，
两组数据有相同的平均数和方差，
平均数为 ，
方差为 ，
故选：C考点三 抽样方法与特征数综合
【例3】（2022·全国·高三专题练习）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统
计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与
主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在 内的人
数为92．
(1)求n的值；
(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中
位数精确到0.01）．
(3)如果计划对参与主题教育活动时间在 内的党员干部给予奖励，且在 ， 内的分别评
为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲
活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)由已知可得， ．
则 ，得 ．
(2)设中位数为 ，则 ，得 ．
(3)按照分层抽样的方法从 ， 内选取的人数为 ，从 ， 内选取的人数为 ．
记二等奖的4人分别为 ， ， ， ，一等奖的1人为 ，
事件 为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．
从这5人中随机抽取2人的基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共10种，
其中2人均是二等奖的情况有 ， ， ， ， ， ，共6种，
由古典概型的概率计算公式得 ．
【一隅三反】
1（2022·新疆克拉玛依·三模（文））第 届北京冬季奥林匹克运动会于 年 月 日至 月 日在北
京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.
某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取 名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎
叶图受到了污损，可见部分信息如图.
(1)求频率分布直方图中 的值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的平均数（同一组中的数据
以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
(2)现要对测试成绩在前26%的中学生颁发“滑雪达人”证书，并制定出能够获得证书的测试分数线，请你
用样本来估计总体，给出这个分数线的估计值.
【答案】(1) ，平均数为 (2)
【解析】(1)由频率分布直方图可知，测试分数位于 的频率为 ，
则测试分数位于 个数为 ，所以，测试分数位于 的个数为 ，
所以 .
估计平均数为 .
(2)因为测试分数位于 的频率为 ，测试分数位于 的频率为 ，
能够获得“滑雪达人”证书的中学生测试分数要在前 ，
故设能够获得证书的测试分数线为 ，则 ，
由 ，可得 ，所以分数线的估计值为 .
2．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品
数分别为：
甲
乙
(1)分别计算这两组数据的平均数和标准差；
(2)由（1）的计算结果，分析哪台机床的性能更好.
【答案】(1)甲： ， ，乙： ， (2)乙机床性能更好
【解析】(1)记甲组数据的平均数和标准差分别为 ，乙组数据的平均数和标准差分别为
则
(2)由（1）知 ，所以甲机床生产出的次品数高于乙机床生产出的次品数；又 ，所以乙机床的性
能比甲机床的性能更加稳定.
综上，乙机床性能比甲机床稳定，且生产的次品数更低，所以乙机床的性能更好.3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充
分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一
学生的某次历史测试成绩（满分100分），把其中不低于50分的分成五段 ， ，…，
后画出如图所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求出这100名学生中历史成绩低于50分的人数．
(2)根据调查，本次历史测试成绩不低于70分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于70分的学生，高考
将选考物理科目．按分层抽样的方法从测试成绩在 ， 的学生中选取5人，再从这5人中任意
选取2人，求这2人高考都选考历史科目的概率．
【答案】(1)10(2)
【解析】(1)因为各组的频率和等于1，所以低于50分的频率为 ，
所以低于50分的人数为 ．
(2)由（1）可知，学生成绩在 的频数为 ，学生成绩在 的频数为 ．
按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在 的学生被抽取 人，分别记为 ， ，成绩在
的学生被抽取 人，分别记为 ， ， ．
从中任意选取2人，有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这10种选法，其中高考都选考历史科目的选法有 ， ， 3种．
所以这2人高考都选考历史科目的概率为 ．
