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4.4 求和方法（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 裂项相消
【例1】（2022·河南）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的值和数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ； ；(2) .
【解析】(1)由 得： ；
为正项数列， ， ；
当 时， ；
当 时， ；
经检验： 满足 ； .
(2)由（1）得： ，
.
【一隅三反】
1．（2022·河北保定·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)因为 ，故当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， 满足上式，所以 .
(2)由（1）得 ，
所以 .
故数列 的前 项和 .
2．（2022·江西鹰潭·一模）已知正项数列 的首项 ，前n项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) ；(2) 或 .
【解析】(1)当 时， ，
∴ ，即 ，又 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，故 ，又由 （ ），
当 时， 也适合，所以 .
(2)∵ ，
∴ ，
又∵对任意的 ，不等式 恒成立，，
∴ ，解得 或 .即所求实数 的范围是 或 .
3．（2022·重庆）数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，若 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ， (2) 或
【解析】(1)解：当 ， ，①
， ，②
①－②得 （*）
在①中令 ，得 ，也满足（*），所以 ， ，
(2)解：由（1）知， ，
故 ，于是，
因为 随n的增大而增大，
所以 ，解得 或
所以实数m的取值范围是 或 .
考点二 错位相减
【例2】（2022·陕西榆林·三模）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)当 时， ，解得 .
当 时， ，整理得 ，
所以 是以9为首项，3为公比的等比数列，故 .
(2)由（1）知， ，则 ①，
所以 ②，
①-②得： ，
故 .
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知在数列 中， ， ， ．
(1)求 的通项公式；(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意，可知当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ．综上所述， ．
(2)依题意， ．
故 ，
，
两式相减可得 ，
化简可得 ．
2．（2022·四川省内江市第六中学）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
(1)求证：数列 为等比数列并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析， (2)
【解析】(1) ， ①，当 时， ②，①减去②得 ，
， ，
可得数列 是首项为1，公比为2的等比数列． ．
(2) ， ，
①， ②①减去②得，
．
3．（2022·江西·上饶市第一中学二模）在等差数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，由 ， ，
得： ，解得： 数列 的通项公式为： .
(2)由（1）知： ，
所以 ①
②
①减去②得：
，所以 .
考点三 分组求和【例3-1】（2022·甘肃兰州）在① ，② 是 和 的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下
面问题中，并解答．
问题：已知公差d不为0的等差数列 的前n项和为 ， ．
(1)______，求数列 的通项公式；
(2)若数列 ， ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)答案见详解；(2)
【解析】(1)选①：由于 ，
所以 ，又 ，所以 ，故
所以 ；
选②： 是 和 的等比中项，则 ，
所以 ，又 ，解得 ， （舍去）
所以 ；
(2) ， ，则
【例3-2】（2022·福建三明·模拟预测）设数列 的前 项和为 ， ， ，．
(1)求证： 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：对任意的 ， ，
当 时，则有 ，解得 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差得 ，所以， ，则 ，
所以， 且 ，所以，数列 是等比数列，且首项和公比均为 .
(2)解：由（1）可知 ，所以， ，
所以，
.
【一隅三反】1．（2022·四川攀枝花）在① ，② 是 ， 的等差中项，③ ．这三个条
件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列 的前n项和为 ， ，且满足______（只需填序号）．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)设正项等比数列 的公比为 ，
选①，由 ，得 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
选②， 是 ， 的等差中项，
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；选③， ，
当 时， ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
当 时， ，
故数列 的通项公式为 ；
(2)
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
.
2．（2022·重庆·二模）设 为数列 的前 项和，已知 ， .若数列 满
足 ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项的和 .
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)由 ， ①，得：
当 时， ,解得 或 （负值舍去），
当 时， ②，
得： ，
所以 ，所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列.
所以 .
因为数列 满足 ， ， .
所以数列 是等比数列，首项为2，公比为2.
所以 .
(2)因为 ，所以 ，
所以.
3．（2022·陕西宝鸡·三模）已知数列 中， ，且 ．记 ﹒
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；(2) ﹒
【解析】
(1)∵ ，
且 ，∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列；
(2)由(1)知， ，则 ，
令 的前 项和为 ，
则 .
考点四 倒序相加
【例4】（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ，利用课本中推导等差数列的前 项和的
公式的方法，可求得 （ ）.
A．25 B．26 C．13 D．
【答案】C
【解析】 ， ，即 ，
设 ，①则 ，②
则①＋②得： ，
故 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 若等比数列 满足 则
（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列 满足
即 2020
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，利用课本（苏教版必修 ）中推导等差数列前 项
和的方法，求得 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ，
，
设 ，
则 ，
两式相加得 ，因此， .
故选：B.
3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 是正项等比数列，且 ，
______．
【答案】
【解析】由数列 是正项等比数列，
且 ，可得 ，
因为 ，
可设 ，
又 ，
两式相加可得
，
所以 ．故答案为： ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
________.
【答案】
【解析】 ，
，
令 ，①
，②
① ②得： ，
，即 ．
故答案为： .
