文档内容
4.1 切线方程（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 斜率和倾斜角
【例1-1】（2022·江苏淮安）已知函数 在 处的切线斜率为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，则 ，
，而 ，故 ， ，故选：D
【例1-2】（2022·重庆一中）已知偶函数 ，当 时， ，则 的图象在点
处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 当 时， ， ，解得： ，
当 时， ；当 时， ， ，
又 为偶函数， ，即 时， ，
则 ， .故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·辽宁）已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数a的
值为______．
【答案】
【解析】由题得 ，所以 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为3，
又曲线在点 处的切线与直线 垂直，所以 ，解得 ．故答案为： .
2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数 的图象在 处的切线对应的倾斜角
为 ，则sin2 =（ ）
A． B．± C． D．±
【答案】C
【解析】因为 所以
当 时， ，此时 ，∴ ．
故选：C.
3．（2022·湖南）已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为
，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 ，所以 ，
因为曲线在M处的切线的倾斜角 ，所以 对于任意的 恒成立，
即 对任意 恒成立，即 ，又 ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，故 ，所以a的取值范围是 ．故选：D．
考点二 “在型”的切线方程
【例2-1】（2022·广西）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ∴ ，所以 ，
又当 时， ， 所以 在点 处的切线方程为： ，即
.
故选：A.
【例2-2】（2022·广西·贵港市）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】 ， ，∴ ，∴ ．将 代入
得 ，∴ ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知函数 的图象经过坐标原点，则曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的图象经过坐标原点，所以 ，所以 ，
所以 所以 ．因为 ，所以 ．所以所求切线方程为
，即 ．故选：A.
2．（2022·安徽）已知 为奇函数，且当 时 ，则曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，则 ，
所以 ，又 ，故切线方程为 ，即 .故选：A
3．（2022·安徽·巢湖市）曲线 在点 处的切线方程为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由切点 在曲线上，得 ①；由切点 在切线上，得 ②；对曲线求导得 ，∴ ，即 ③，联立①②③ ，解之得
故选：A.
4．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设切点为 ， ，
曲线 在切点 处的切线方程为 ，
整理得 ，所以 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．故 ，
则 的取值范围是 ．故选：C.
考点三 “过型”的切线方程【例3】（2022·河南洛阳）已知函数 ，则曲线 过坐标原点的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点为 ， ，则切线斜率为 ，
所以，所求切线方程为 ，
将原点坐标代入所求切线方程可得 ，即 ，解得 ，
因此，所求切线方程为 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线 .则曲线过点P（1，3）的切线方程为.
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】设切点为 ，则 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
因为切线过点（1，3），所以 ，即 ，即 ，
解得 或 ，所以切线方程为 或 ，故选：AB
2（2022·北京·汇文中学） 过点 的切线方程是__________.
【答案】 或
【解析】由题，设切点为 ， ，所以，切线方程为：因为点 在切线上，所以， ，即 ，解得 或 .
所以，当 时，切线方程为： ；当 时，切线方程为： ；
综上，所求切线方程为： 或 故答案为: 或
3．（2022·四川·广安二中）函数 过点 的切线方程为
【答案】 或
【解析】由题设 ，若切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，又切线过 ，
则 ，可得 或 ，当 时，切线为 ；当 时，切线为 ，
整理得 .故选：C
考点四 切线或切点数量问题
【例4-1】（2022·河南洛阳）若过点 作曲线 的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】设切点为 ，由 ，所以 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，因为切线过点 ，
所以 ，解得 或 ，所以过点 作曲线 的切线可以作2条，故选：C
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
设切点坐标为 ，由于 ，因此切线方程为 ，又切线过点 ，则
， ，
设 ，函数定义域是 ，则直线 与曲线 有两个不同的交点，
，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，不合题意；当 时， 时， ，
单调递减， 时， ， 单调递增，所以 ，结合图像知
，即 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·河南洛阳）若过点 作曲线 的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】设切点为 ，由 ，所以 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，因为切线过点 ，所以 ，解得 或 ，所以过点 作曲线 的切线可以作2条，故选：C
2．（2022·湖北·宜城市第一中学）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【解析】作出 的图象，由图可知，
若过点 可以作曲线 的两条切线，点 应在曲线外，
设切点为 ，所以 ， ，
所以切线斜率为 ，
整理得 ，即方程在 上有两个不同的解，
所以 ， ，所以 且 .故选：D．
3．（2022·河南洛阳）若过点 可作出曲线 的三条切线，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，曲线 ，即令 ，则 ，
设切点为 ，切线方程的斜率为 ，
所以切线方程为： ，将点 代入方程得： ，整理得 ，
设函数 ，过点 可作出曲线 的三条切线，
可知两个函数图像 与 有三个不同的交点，
又因为 ，由 ，可得 或 ，
所以函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极大值为 ，函数 的极小值为 ，
如图所示，
当 时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.
4．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,故答案为：
考点五 公切线
【例5-1】（2022·安徽省舒城中学）已知直线l是曲线 与 的公共切线，则l的方程为
_____.
【答案】 或
【解析】设 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 1），
则 ，整理得 ，解得 或 ，
当 时， 的方程为 ；当 时， 的方程为 .故答案为： 或 .
【例5-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设
切线： ，即
切线： ，即 ，令
在 上单调递增，在 上单调递减，所以 故选：A．
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）若直线 与曲线 和 都相切，则 的斜率为______．
【答案】
【解析】设 的切点为 ， ，故 ，
则切线方程为： ，即 圆心到圆的距离为 ，即 ，
解得： 或 （舍去）所以 ，则 的斜率为 故答案为：
2．（2022·河北保定·二模）（多选）若直线 是曲线 与曲线 的
公切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】设直线 与曲线 相切于点 ，
与曲线 相切于点 ，
对于函数 ， ，则 ，解得 ，所以 ，即 .
对于函数 ， ，则 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ， .故选：AD
3．（2022·安徽·合肥一六八中学）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，
则 __________.【答案】1或
【解析】设 与 和 的切点分别为 ；
由导数的几何意义可得 ，即 ，
∴ ，∴ ∴
当 时， ，当 时， ∴ 或 .故答案为：1或 .
考点六 切线与其他知识的运用
【例6-1】（2022·湖北·黄冈中学）已知a，b为正实数，直线 与曲线 相切，则 的
最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
【答案】B
【解析】设切点为 ， 的导数为 ，
由切线的方程 可得切线的斜率为1，令 ，则 ，故切点为
，
代入 ，得 ，
、 为正实数，则 ，
当且仅当 ， 时， 取得最小值9，故选：B
【例6-2】（2022·广东·深圳市光明区高级中学）已知函数 ，则曲线在点 处的切线 恒过定点_____________.
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，则 ．
又 ，则曲线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 ，由 可得 ，所以直线 恒过定点 ．故答案为： ．
【一隅三反】
1．（2022·河北衡水）已知函数 在 处的切线为l，第一象限内的点 在切线l上，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 ， ， ， ，
由点斜式直线方程得：切线l的方程为 ， ，
由于点P在直线l上，则 且 ，即 ，
则
，当且仅当 ，即 时取等号；2．
（2022·安徽）对于三次函数 ，若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处点的切线重合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
，
设 ，则 ，即 ……①
又 ，即 ……②
由①②可得 ， .故选：B.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中）若曲线 过点 的切线恒在函数 的
图象的上方，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设曲线 过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率 ，
所以 ， ，切线方程为 ，所以 恒成立，
所以 恒成立，令 ，则
因为当 ， ， ， ，
所以 为 的极小值点，又因为 时， ，
所以 ，所以 .故答案为： .
考点七 切线方程的运用
【例7-1】（2022·全国·高三专题练习）设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则 的最小值
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，令 ，解得 ，所以 ，故 的最小值为 到 的距离，
．故选：B．
【例7-2】（2022·山东烟台·三模）已知函数 ，若方程 有且仅有三个实
数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数 的图象如图：
依题意方程 有且仅有三个实数解，即 与 有且仅有三个交点，
因为 必过 ，且 ，
若 时，方程 不可能有三个实数解，则必有 ，
当直线 与 在 时相切时，
设切点坐标为 ，则 ，即 ，则切线方程为 ，
即 ，
切线方程为 ，
且 ，则 ，所以 ，
即当 时 与 在 上有且仅有一个交点，
要使方程 有且仅有三个的实数解，
则当 时 与 有两个交点，设直线 与 切于点 ，
此时 ，则 ，即 ，
所以 ，
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·江苏徐州）过平面内一点P作曲线 的两条互相垂直的切线 ，切点分别为 （
不重合），设直线 分别与y轴交于点A，B，则 面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设
当 时， 故切线为： ，即当 时， ， ，故切线为： ，即
两切线垂直，则 ，则 所以，
，解得 ∴ .故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有两个零点，则实数a的取值范围是
______．
【答案】
【解析】 ，令 ， ，显然该函数单调递增，即
有两个根，即 有两个根，如下图，作出函数 的图像及其过原点的切线 ，可知当
时有两个交点即 有两个根．
故答案为： .
3．（2022·云南曲靖·二模）设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若对任意
恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】因为对任意 ， ， 恒成立，
所以 在 上单调递增，且 在 上单调递减，即 的图象增长得越来越慢，从图象上来看函
数是上凸递增的，所以 ，
又 ，表示点 与点 的连线的斜率，
由图可知
即 ，故选：A
4．（2022·江西·新余市）若点 在曲线 上运动，点 在直线 上运动， 两点距离的
最小值为_______
【答案】
【解析】设与直线 平行且与曲线 相切于点 时，
此时 两点距离的最小值为点 到直线 的距离，因为 ，所以 ， 即得 ，
，所以点 到直线 的距离为 ，
所以 两点距离的最小值为 ．故答案为：
