文档内容
10.3 椭圆（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 椭圆的定义及应用
【例1-1】（2022·日照模拟）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的(
)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若曲线 表示椭圆，则 ，
故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．故答案为：C．
【例1-2】（2022滁州）已知椭圆 的焦点为 、 ，P为椭圆上的一点，若 ，
则 的面积为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义有 ，①根据余弦定理得 ，②
结合①②解得 ，所以 的面积 。
故答案为：C
【例1-3】（2022·邵阳模拟）已知椭圆C： 的左､右焦点分别为 ， ，点P在椭
圆C上， 的周长为16，则 .
【答案】5
【解析】设焦距为2c，因为 的周长为16，
所以 ，化简得 ①.
又 ，所以 ，
可得 ②，由①②，解得 .
故答案为：5
【一隅三反】
1．（2021湖南月考）若椭圆 上一点A到焦点 的距离为3，则点A到焦点 的距离为（
）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】由椭圆的定义知， 。 故选：B
2．（2022高三下·广东月考）设P为椭圆 上一点， 分别是C的左，右焦点．若
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆 的长半轴长为3， 由椭圆的定义可知 ，
由 ，可得 ．故答案为：C
3．（2022洛阳月考）若方程 表示椭圆，复数z满足 ，则
复数z的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
{
m−2>0，
【解析】因为方程 表示椭圆，所以 10−2m>0， 解得 ，
m−2≠10−2m，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以复数z的共轭复数为 。故答案为：A．
4．（2021定州期末）设P为椭圆C： 上一点， ， 分别为左、右焦点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】根据P为椭圆C： 上一点， 则有 ，
又 ，所以 ，故答案为：B.
4．（2022·江西模拟）“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（
）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程 即方程 ，表示椭圆的充分必要条件是 ，
显然“ ， ”是“ ”既不充分也不必要条件，
故“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条
件，
[解法二]
当 时，满足“ ， ”，此时题中方程可化为： ，表示的
曲线是圆而不是椭圆，当 时，不满足“ ， ”，只是题中方程可
化为： ，表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为 的椭圆，
故：“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要
条件，
故答案为：D
考点二 椭圆的离心率【例2-1】（202深圳月考）已知 ， 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交
椭圆于 ， 两点，若 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 是正三角形，∴ ，
4√3
∴|AF |=2|AF |= c，|AF |+|AF |=2√3c=2a∴ . 故答案为：B.
1 2 3 1 2
【例2-2】（2022延庆期末）椭圆 的左右焦点分别为 ， 是 上一点，
轴， ，则椭圆 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令椭圆 的半焦距为c，因 是 上一点， 轴， ，
在 中， ， ，
由椭圆定义知 ，则 ，所以椭圆 的离心率等于 .答案为：A
【一隅三反】
1．（2021昌吉期中）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 中， 设 ，则 ，
又由椭圆定义可知 则离心率 。
故答案为：D.
2．（2022河南月考）已知椭圆 ： 经过点 ，且 的离心率为 ，则
的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可得 ，解得 ， 故椭圆 的标准方程是 。
故答案为：A.
3．（2022·湖南邵阳）椭圆方程为 椭圆内有一点 ，以这一点为中点的弦所在的
直线方程为 ，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】设直线 与椭圆交于 ，则 .因为AB中点 ,则 .又 ，相减得： .
所以 所以
所以 ，所以 ，即离心率 .故答案为： .
考点三 椭圆的标准方程
【例3】（2022石景山期末）已知椭圆 的焦点为 ， ．过点 的直线与 交于 ，
两点．若 的周长为8，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为椭圆 的焦点为 ， ，所以 ；
又过点 的直线与 交于 ， 两点， 的周长为8，
则根据椭圆定义可得， ，解得 ，
因此 ，所以椭圆 的标准方程为 .故答案为：C.
【一隅三反】
1．（2022长沙期末）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在原点，焦点 在 轴上，离心率为 ，过 的直线 交椭圆于 两点，且 的周长为16，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆方程为
由椭圆定义知： 的周长为 即 ，解得：
椭圆 的方程为 故答案为：D
2．（2022大连期末）阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿
并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半
短轴长三者的乘积.已知椭圆C： 的面积为 ，左右焦点分别为 ， ，M
为椭圆C上一点，且 的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，解得 ，即椭圆C的方程为 .
故答案为：D
3．（2022·静安模拟）以坐标原点为中心的椭圆的长轴长等于8，且以抛物线 的焦点为一个焦
点，则该椭圆的标准方程是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线方程知，抛物线焦点坐标为 ，所以椭圆中 ，又因为 ， ，所以
，焦点在 轴， 所以椭圆方程为 。故答案为：D．
4．（2022齐齐哈尔期末）如图所示，已知 是椭圆 的左､右焦点， 为
椭圆的上顶点， 在 轴上， ，且 是 的中点， 为坐标原点，若点 到直线
的距离为3，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 且 ，则△ 是等边三角形， 设 ，则 ①，
∴直线 的方程为 ，即 ，∴ 到直线 的距离为 ②，
又 ③，联立①②③，解得 ， ，故椭圆 的标准方程为 。故答案为：D.
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】 ， 在椭圆内，
恒过点 ， 直线 与椭圆 相交.故选：A.
【例4-2】（2022·山西）直线 与椭圆 有且只有一个交点，则 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得， ，由题意知 ，解得
，
故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·辽宁）已知直线l： ，曲线C： ，则直线l与曲线C的位置关系是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】由直线l： ，得直线l过定点 ，因为 ，所以该点在曲线C：内部.所以直线l与曲线C相交.故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）直线 和曲线 的位置关系为_____.
【答案】相交
【解析】曲线 为： 可得
直线 恒过 ，由 知定点 在椭圆内部，
所以直线 与椭圆 的位置关系为相交.
故答案为：相交.
3．（2022·全国·专题练习）不论 为何值，直线 与椭圆 有公共点，则实数 的范围是
__.
【答案】
【解析】方法一： 把直线 代入椭圆 1，
化为 ．其中 ．(注意这个坑)，
直线 与椭圆 1有公共点，
恒成立，
化简为 ．上式对于任意实数 都成立， ，解得 ．
实数 的范围是 ．
方法二：因为直线 恒过定点 所以代入 得 即
因为 是椭圆，所以 故 的取值范围是 ．故答案为：
考点五 弦长【例5-1】（2022·吉林省实验中学）已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两
点，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆知， ，所以 ，所以右焦点坐标为 ，则直线 的方程为 ，
设 ，联立 ，消y得， ，则 ，
所以 .即弦AB长为 .故选：C.
【例5-2】（2022·全国·课时练习）已知双曲线方程 ，则以 为中点的弦所在直线 的方程
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线 交双曲线 于点 、 ，则 ，
由已知得 ，两式作差得 ，
所以， ，即直线 的斜率为 ，
故直线 的斜率为 ，即 .经检验满足题意
故选：B.
【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在的直线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设弦的两个端点分别为 ， ，则 ，
①﹣②得： ，
即 ，
所以 ．
故以点 为中点的弦所在的直线方程为y ，
整理得： .
故选：C.
2．（2022·福建·厦门双十中学 ）已知直线 ，椭圆 ．若直线l与椭圆C交于A，B
两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】由题意知，
，消去y，得 ，
则 ， ，
所以A、B两点中点的横坐标为： ，
所以中点的纵坐标为： ，
即线段AB的中点的坐标为 .
故选：B
3．（2022·云南）椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，椭圆 经过点 且长轴长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率为1的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求弦长 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意设椭圆的方程为 ，
因为椭圆 经过点 且长轴长为 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 ，
（2）因为直线 过点 且斜率为1，
所以直线 的方程为 ，设 ，
将 代入 ，得 ，
整理得 ，
所以 ，
所以
.
