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3.1 导数几何意义及运算（精练题组版）
题组一 导数的运算
1.（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．
(a 为常数)
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A：因为a 为常数，所以
，故A 错误；
B：
，故B 正确；
C：
，故C 错误；
D：
，故D 错误.
故选：B
2.（24-25 安徽蚌埠）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．
B．已知的数
，若
，则
C．
D．设函数
的导函数为
，且
，则
【答案】BD
【解析】
，故A 错误．
对于B,因为
，若
则
，即
，故B 正确．
对于C,因为
，故C 错误．
对于D,因为
，故
，故
，D 正确．
故选：BD
3.（2024 山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数：
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
．
(5)
(6)
(7)
(8)
【答案】(1)
(2)
；(3)
；(4)
．
(5)
；(6)
；(7)
；(8)
.
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
（5）
.
（6）
，则
.
（7）
，则
.
（8）
.
题组二 导数值
1.（2024·上海黄浦）已知函数
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
则
，解得：
，
所以
，则
.
故答案为：
.
2.（2025·河北）已知函数
的导函数为
，且满足
，则
【答案】-1
【解析】由
，可得
，所以
，则
.
3.（2024·江苏）已知
，且
，则
的值等于
【答案】
【解析】
，
，解得
4.（2024 海南）如图，函数
的图像在点P 处的切线方程是
，则
【答案】3
【解析】因为函数
的图像在点P 处的切线方程是
，
所以
，所以
。
题组三 导数定义及几何意义
1.（2024 广东江门）已知直线l：
，且与曲线
切于点
，则
的值为
（ ）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由直线
与曲线
切于点
，知
.由导数的定义知，
.
故选：C
2.（24-25 广东东莞）曲线
上的任意一点
处切线的斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
因此，曲线
上的任意一点
处切线的斜率的取值范围是
.
故选：D.
3.（2025·四川）若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线垂直，则点
的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的导数为
，所以曲线
在点
处的切线的斜率为
.
因为曲线
在点
处的切线与曲线y=ln x 在点P 处的切线垂直，
所以曲线y=ln x 在点P 处的切线的斜率
.
而y=ln x 的导数
，所以切点的横坐标为
，所以切点
.
故选：D
4.（2025·广东）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
，则函数
的图
象在点
处的切线的斜率为（ ）
A．-21
B．-27
C．-24
D．-25
【答案】A
【解析】
是奇函数，
恒成立，所以
，
，
，
所以
，
，即
，
．
故答案为：A．
5（2024·福建福州）已知函数
，且其图象在点
处的切线的倾斜角为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
所以
，解得
，
所以
由题意可知，
，
所以
.
故选：B.
6（24-25 高三上·上海松江·期中）已知
，则曲线
在点
处切线的倾斜角是
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，则
所以曲线
在点
处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：
.故答案为：
题组四 在型切线
1.（23-24 内蒙古）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，则所求切线切点坐标为
，
，有
，则所求切线斜率为
，
所求的切线方程为
，即
.
故选：B
2.（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数
是奇函数，则曲线
在
处的切线的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
的定义域为
，且
是奇函数，
则
，即
，解得
，
于是
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在
处的切线的方程为：
，即
.
故选：B
3.（24-25 高三上·湖南·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，则曲线
在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
联立可解得
，所以
，所以
.
所以曲线
在点
处的切线方程为
，故所求的切线方程为
.故选：C.
4（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，所以
，则
，从而曲线
在点
处的切线方程为
，整理得
.
5.（2024 江苏盐城·阶段练习）曲线C：
在点M（1，e）处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以切线斜率为
，切线方程为
，
6.（2026 安徽合肥·期中）函数
的图象在点
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为
，得
，则
，
所以切线的方程为
，即
.
故答案为：
.
7．（23-24 高三上·山东·期中）已知函数
，则
在点
处切线方程为 ．
【答案】
【解析】对
求导可得
，则
，解得
，
，
，
切线方程为
，整理得
.故答案为：
.
题组五 过型切线
1．（2024·江西景德镇·一模）过点
且与曲线
相切的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，点
不在曲线上，
设切点为
，则
，
解得：
，得切点
，则
切线方程为：
，
故选：
．
2（2024·新疆·二模）过点
且与曲线
相切的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】设过点
的曲线
的切线为：
，
有
,
解得
或
,
代入可得
或
.
故选：
3.（2025·辽宁）过点
作曲线
的切线，则切点坐标为 .
【答案】
/
【解析】由
，得
，
，化简得
，
，
则
，设切点为
，显然
不在曲线上，
则
，解得
，则切点坐标为
.
故答案为：
4.（24-25 广西）过点
且与曲线
相切的直线的方程为 ．
【答案】
或
【解析】设切点坐标为
，则有
．
因为
，所以切线方程为
，
将点
的坐标代入，得
，
所以
，解得
或
．
当
时，
，故切线方程为
；
当
时，
，故切线方程为
．
所以所求直线的方程为
或
．
故答案为：
或
．
5.（2024 湖南）曲线
过点
的切线方程为 .
【答案】
或
【解析】
，
因为点
不在曲线上，
所以设切线的切点是
，则切线的斜率
，
又切线过点
和
，
所以
，
所以
，
化简得
，
因为
，所以
或
.
所以
，或
，
所以所求切线方程是
或
，
即
或
.
故答案为：
或
.
6.（2024 高三·全国·专题练习）过点
作曲线
的切线，则切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为
，由
得
，
则切点处的切线
，
因为切线过点
，所以
，解得
，
所以切线方程为
即
.
故答案为：
题组六 切线求参数
1.（2025·新疆·模拟预测）已知函数
图象过点
且在该点处的切线的斜率为1，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意有
，
，又
，即
，
，
，
.故选：D.
2（2025·贵州安顺·模拟预测）已知直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】设切点坐标为
.
∵
，∴
，则
，
由②得，
，代入①得，
，
整理得
，解得
，故
.故选：A.
3.（2025·山东济宁·一模）曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处的切线
斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
和
互为反函数，其图象关于直线
对称，
且反比例函数
的图象也关于直线
对称，
可知点
关于直线
对称，设
，则
，
设
，则
，
由题意可得：
，解得
或
（舍去），
可得
，则
，所以
.
故选：A.
4.（2025·广东佛山·一模）若直线
与曲线
相切，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】设直线
与曲线
的切点为
.
对
求导，根据
，可得
.
因为直线
的斜率为，由导数的几何意义可知，
在切点处
，即
.
又因为切点
既在直线上又在曲线上，
所以
且
，即
.
将
代入
可得：
，即
.
将
代入
可得：
，
所以当
，
时，
取得最小值为
.
故选：A
5.（2025·四川成都·二模）设函数
，若
的图象过点
，且曲线
在
处
的切线也过点
，则
.
【答案】
【解析】函数
，求导得
，则
，而
，
因此曲线
在
处的切线方程为
，
依题意，
，所以
.
故答案为：
6．（2024·四川宜宾·一模）设曲线
在
处的切线与直线
垂直，则
【答案】1
【解析】直线
的斜率
，
∵切线与直线
垂直，∴切线的斜率
，
，当
时，
，∴
，
故答案为：1.
7.（2024·广东佛山·一模）若直线
与曲线
相切，则
．
【答案】
/
【解析】设直线
与曲线
相切于点
，
求导可得
，因此切线斜率
，
又切线过原点
，可得
，化简可得
，
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值，
，即可得
，
因此可得
，即可得
.
故答案为：
8.（24-25 高三上·上海·期中）若直线
与曲线
相切，则实数
的值为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为
，由
得
，
所以切线的斜率为：
，
所以曲线在
处的切线方程为：
，
即
，
所以
，所以
，所以
.
故答案为：
.
9.（23-24 高三上·河北石家庄·阶段练习）已知
，直线
与曲线
相切，则
的最
小值为 .
【答案】
【解析】设切点为
，由
得
，由题意
，
解得
，所以
，即
，
故
，当且仅当
时，等号成立，
故答案为：
10（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】设
，则
，
设切点为
，则
，
则切线方程为
，整理可得
，
所以
，解得
，
所以
，所以
，
设
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
题组七 公切线
1.（2024·海南·模拟预测）若函数
与
的图象有且只有一条公切线，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【解析】设公切线与函数
,
的图象分别切于点
，
因为
，所以
，
所以公切线方程为
，
即
，
因为
，所以
，
所以公切线方程为
，
即
，
因为函数
与
的图象有且只有一条公切线，
所以
，由
得
,
代入
，
则
，
整理得
，
令
，则
，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
，则函数
单调递减，
所以
时，
，
则当
时，
函数
与
的图象有且只有一条公切线，
即
，解得
.
故选：B.
2（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线
和
均相切，则的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，设公切线与曲线
相切于点
，与曲线
相切于点
，
则切线方程分别为
，
，
所以
由①得
，
代入②得
．
令
，
则
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增，
所以
，
又当
时，
，
所以
的值域为
，
所以的取值范围是
．
故选：D．
3.（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线
与
恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设曲线
切点为
，
的切点为
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
同理，
在点
处的切线方程为
，
根据
与
有两条公切线，
则
，所以
，化简可得
具有两个交点，
转化为
有两个解，构造函数
，则
，
当
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减，
故
在
时有极大值即为最大值，故
，
当
时，
，当
时，
，
故的取值范围为
，
故选：A
4（2024·四川绵阳·模拟预测）（多选）若两曲线
与
存在公切线，则正实数
的取值可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】设
由两曲线
与
分别求导得
，所以
，
故在
处切线为：
，整理得：
，
在
处切线为
，整理得：
，
所以
，解得
，
构造函数
，
，
令
，解得：
，故
在
递增，在
递减，故
，
∵正实数
，∴
的取值范围是
，故选：ABC
5．（2024·四川·模拟预测）若直线
（
为常数）与曲线
，曲线
均相切，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
设直线
与
的切点为
，则切线方程为
，即
，
又因为
，所以
解得
，所以切线方程为
，
因为
，所以
，
设直线
与
的切点为
，所以
①，
又因为切点
在直线
上，所以
②，
由①和②可得
，所以
，解得
.
故答案为：
6.．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线
既是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
.
【答案】
【解析】设曲线
与
的切点分别为
，
易知两曲线的导函数分别为
，
，
由题意可知：
，可得
，
则
，解得
，
所以
.
故答案为：.
7．（2025·陕西）已知曲线
与
有公共切线，则实数a 的最大值为 ．
【答案】
【解析】设曲线
与
的切点分别为
，
，
∵
，
，∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，即
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
∴
，即
，即
，即
．
故答案为：
.
8．（2025·河北）已知直线
是曲线
和
的公切线，则实数a= ．
【答案】3
【解析】设直线l 与曲线
相切于点
，
由
，得
，因为l 与曲线
相切，
所以
消去
，得
，解得
．
设l 与曲线
相切于点
，由
，得
，即
，
因为
是l 与曲线
的公共点，
所以
消去
，得
，即
，解得
．
故答案为：3.
9.（24-25 高三下·湖南永州）若曲线
与曲线
有三条公切线，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】设公切线为
是与
的切点，由
，得
，
设
是与
的切点，由
，得
，
所以的方程为
，因为
，整理得
，
同理
，因为
，整理得
，
依题意两条直线重合，可得
，
消去
，得
，
由题意此方程有三个不等实根，设
，
即直线
与曲线
有三个不同的交点，
因为
，令
，则
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
有极小值为
，
有极大值为
，
因为
，
，
，所以
，
当
趋近于
时，
趋近于0；当
趋近于
时，
趋近于
，
故
的图象简单表示为下图:
所以当
，即
时，直线
与曲线
有三个交点，
故答案为：
10（23-24 山东聊城·期末）若直线与曲线
相切，也与曲线
相切，则的斜率为 ．
【答案】
/
【解析】设直线切曲线
于点
，切曲线
于点
，
由
得
，则直线的方程为
，
即
；
由
可得
，则直线的方程为
，
即
，
所以，
，
消去
可得
，即
，可得
，
因此，直线的斜率为
.
故答案为：
.
11.（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线
在点
处的切线与曲线
相切于点
，则
.
【答案】
/
【解析】曲线
在点
处的切线与曲线
相切于点
，
，
∴曲线
在点
处的切线斜率
，
曲线
在点
处的切线斜率
，
∴曲线
在点
处的切线方程为
，
或
，
，即
，
，易知
，
，
.
故答案为：
.
12（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线
，
相切于点
，
，则
的值为 .
【答案】1
【解析】由
，
，有
，
，
在点
处的切线方程为
，
在点
处的切线方程为
，
则有
，得
，
所以
，可得
.
故答案为：1.
题组八 切线的数量
1．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线
相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【解析】设切点
，因为曲线
，所以
，
所以
，所以
，
所以
或
，
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
所以切线有3 条.
故选：C.
2.（2024 安徽合肥）已知函数
，过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】解法一 由
，得
．设切点坐标为
，
则切线方程为
，
把
代入可得
，即
，
因为
，所以该方程有2 个不同的实数解，故切线有2 条．
解法二 由
，得
，令
，得
．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的极小值为
，且
，则点
在曲线
的下方，
数形结合可知，过点
可作曲线
的2 条切线．
故选：B
3.（2025 安徽）已知函数
，则过点
可作曲线
的切线的条数最多为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为函数
，所以
，
设过点
作曲线
的切线，切点为
，
则有
，也即
，
又因为
，所以
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
或
时，
，函数
单调递增，
综上：函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
又因为
，
，
所以函数
有三个零点，分别在区间
上，
也即方程
有三个不同的根，
所以过点
作曲线
的切线，有三个不同的切点，
也即过点
可作曲线
的切线的条数最多为，故选：
.
4.（2025 山西）已知曲线
及点
，则过点
且与曲线
相切的直线可能有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】BC
【解析】因为
，所以
，
设切点
， 在点
处的导数为
，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得
，所以
，
①当
时，
可化为
，由函数定义域知分母不为0，
，
所以只能解得
，因此过
只能找到一条与曲线相切的直线；
②当
时，
可化为
，
是关于
的二次方程，
，且两根之积为，
所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个
满足条件.
综上所述，过点
且与曲线
相切的直线可能有1 或2 条.故选：BC.
5（2025 估计）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线
的切线斜率可以是1
B．曲线
的切线斜率可以是
C．过点
且与曲线
相切的直线有且只有1 条
D．过点
且与曲线
相切的直线有且只有2 条
【答案】AC
【解析】因为函数
，所以
A.令
，得
，所以曲线
的切线斜率可以是1，故正确；
B.令
无解，所以曲线
的切线斜率不可以是
，故错误；
C. 因为
在曲线上，所以点
是切点，则
，
所以切线方程为
，即
，所以过点
且与曲线
相切的直线有且只有1 条，故正确；
D.设切点
，则切线方程为
，因为点
在切线上，所以
，解得
，所
以过点
且与曲线
相切的直线有且只有1 条，故错误；
故选：AC
题组九 已知切线的条数求参数
1.（2025·云南）（多选）已知函数
，若过点
恰能作3 条曲线
的切线，则
的
值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】设切点为
，则
，所以切线的斜率为
，
则切线的方程为
，因为点
在切线上，所以
，
即
，令
，则
，
令
，得
或
，当
或
时，
；当
时，
，
所以当
时，
取得极大值
，当
时，
取得极小值
，
因为过点
恰能作3 条曲线
的切线，所以直线
与
的图象有3 个交点，
如图所示：
所以m 的取值范围是
，故选：BC
2.（2024 辽宁）（多选）若曲线
（e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a 的取值
可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】AD
【解析】设切点为
，
，
所以切线的斜率
，
则此曲线在P 处的切线方程为
，
又此切线过坐标原点，所以
，
由此推出
有两个不等的实根，所以
，解得
或
，
故选：AD．
3.（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，则
的取值范
围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
设切点为
，则切线方程
，
而过
，将
代入方程得到
，
令
，
，
令
，
，此时
单调递减，
令
，
，此时
单调递增，
故
有极小值
，有极大值
，
则得到
，故A 正确.
故选：A.
4.（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点
可作三条直线与曲线
相切，则实数a 的取值范围
为 .
【答案】
【解析】由题意
，设点
为曲线
的切点，
则切线方程为
，整理得
，
将点
代入可得
.
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
又
，
，
当
时，方程
有3 个不同的实数根，
即当
时，有3 个不同的
满足方程
，
即过点
可作三条直线与曲线
相切.
故答案为：
.
5．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点
仅可作曲线
的两条切线，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】设切点为：
，
，
所以切线方程为
，
又因为切线过点
，
所以
，
即
，
令
，
则
，
令
，得
或
，
当
或
时，
，当
时，
，
，
当
时，则
，且
；
当
时，则
，
所以
的图象如图所示：
因为过点
仅可作曲线
的两条切线，
所以
与
的图象有两个交点，
则
或
.
故答案为：
.
6.（2024 福建福州·阶段练习）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则
的取值范围为 ．
【答案】
或
【解析】由
得
，设切点坐标为
，
则切线斜率
，
切线方程为
，
又因为切线过坐标原点，所以
，整理得
，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以
，解得
或
，
故答案为：
或
题组十 切线方程的应用
1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线
在点
处的切线与直线
平行，则与
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意
，切线的斜率为
，则
，得
，
故
，故切线的方程为：
，即
，
直线
，即
，
故两直线的距离为
，
故选：B
2.（2024 江西吉安·期末）若动点
在曲线
上，则动点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，由题意知
，
则在点
处的切线斜率为
，
当在点
处的切线与直线
平行时，点
到直线
的距离最小，
由
，得
，则
，
所以点
到直线的距离
.
所以动点
到直线
的距离的最小值为
.
故选：A
3（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
是曲线
上一点，则点
到直线
的最短距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，
，令
，得
，
又
，可得点
，
所以点
到直线
的距离最短，
为
.
故选：A.
4（2025·陕西渭南·一模）已知
则曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角
形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
令
，得到
，
化简得
，解得
，
代入回原函数得到
，
而
，故切点为
，
而
，
，
设曲线
在
处的切线斜率为
，
由导数的几何意义得
，
故切线方程为
，化简得
，
令
，得到
，所以与
轴交点为
，
令
，得到
，所以与
轴交点为
，
且设三角形面积为，故
，故A 正确.
故选：A
5.（2025·山东聊城·模拟预测）已知直线
与曲线
有三个交点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
令
得
，∴
时，
单调递减；
令
得
，∴
时，
单调递增,
又
，
故
，则
，若
，则
，
且
,
因为
，所以点
在曲线
上，
所以
的图像如图所示
因为直线
过定点
，
由题意可知，过点
的直线与曲线
有三个交点，
因为过点
的曲线
的切线的斜率为：
，
即当
时，直线
与曲线
相切；
因
，
，
，
，
，
所以函数
在
时是凸的，在
时是凸的，在
函数可能有一个拐点.因此，函数
在
左右由凸变凹.
根据图像可知，
当
时，直线
与曲线
有两个公共点；
当
时，直线
与曲线
只有一个公共点；
当
时，直线
与曲线
有三个公共点.
故选：A.
6（2024·甘肃·模拟预测）已知
，
分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为
.
【答案】
/
【解析】由题意得
的最小值为曲线上点
到直线
距离的最小值，
此时点
就是曲线与直线
相切的切点，
对
求导有
，由
可得
，即
，
故
.
故答案为：
.
