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3.1 导数的几何意义及运算（精讲）
考向一 导数的运算
【例1】（24-25 山东淄博）求下列函数的导数.
(1)
(2)
； (3)
； (4)
(5)
； (6)
； (7)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：
.
所以
；
（6）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：
.
所以
（7）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
，所以
.
【一隅三反】
（24-25 湖北）求下列函数的导数：
(1)
； (2)
； (3)
； (4)
；
(5)
． (6)
； (7)
； (8)
；
(9)
； (10)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）∵
是常数函数，∴
．
（4）∵
，∴
．
（5）∵
，∴
．
（6）
．
（7）
．
（8）
．
（9）
，
．
（10）令
，则
，即
．
考向二 导数值
【例2-1】（24-25 江苏扬州）已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）
A．
B．-1
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
得
，解得
.故选：B
【例2-2】（24-25 山东聊城）若
在
上可导，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由
，可得
，所以
，解得
，
则
，则
.故选：B.
【一隅三反】
1．（24-25 安徽蚌埠）已知函数
，则
等于（ ）
A．0
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【解析】对
求导，可得
.
将
代入
中，可得
.解得
.
将
代入原函数
中，得到
.
再将
代入
中，可得
.
故选：D.
2.（2024 山东）如图，函数
的图象在点
处的切线是，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】D
【解析】由题可得函数
的图象在点
处的切线与
轴交于点
，与
轴交于点
，
则切线
，
，
，
.故选：D．
3．（2024·上海黄浦）已知函数
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
则
，解得：
，
所以
，则
.
故答案为：
.
考向三 导数定义及几何意义
【例3-1】（24-25 江苏盐城）已知函数
在
处可导，且
则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】因为函数
在
处可导，且
，
所以
.
故选：A
【例3-2】（2025·河北唐山）已知曲线
在
处的切线为，则的斜率为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】对
求导得，
，由题意曲线
在
处的切
线的斜率为
.
故选：A.
【例3-3】（2025·福建莆田·二模）曲线
在点
处切线的斜率为
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
，则
，故
，
当
时，
，即
的坐标为
.
故选：B.
【例3-4】（2024 春·河南）点P 在曲线
上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α 的取值范围
是
【答案】[0，
【解析】因为
，所以
，因为
，所以
，又
，所以
，故选：D.
【一隅三反】
1.（24-25 山西吕梁）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
，所以，
，
所以，
.
故选：C.
2．（24-25 安徽合肥）若曲线
在点
处的切线斜率为2，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【解析】由导数几何意义得
，
由导数定义可知：
.
故选：C.
3（2025·甘肃兰州·一模）若函数
（e 为自然对数的底）的一条切线与x 轴平行，则切点的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点坐标为
，函数
，所以
，
因为切线与x 轴平行，所以
，解得
，
，故切点坐标为
故选：B
4.（2024·新疆阿克苏）若直线
与曲线
相切，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，由导数的几何意义可知，
.故选：A
5（24-25 山东济宁）点
在曲线
上，设曲线在点
处切线的倾斜角为
，则角
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，设
，则曲线在点
处切线的斜率为
，
则
，又
，切线斜率存在，故
，则
.故选：B
考向四 在型切线
【例4-1】（24-25 高三上·河南·期末）函数
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，因为
，所以
，所以切线方程为
，
即
，故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·广东·一模）曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为
在点
处的切线方程斜率为
，
曲线
在点
处的切线方程为
，即得
.
故答案为：
.
2（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，所以
，则
，从而曲线
在点
处的切线方程为
，整理得
.
3（2025·四川·模拟预测）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为
．
【答案】
【解析】已知函数
，则
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即得
.
故答案为：
考向五 过型切线
【例5】（2025·新疆·模拟预测）曲线
过点
的切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为
，则
，故切线方程为
，
将
代入可得
，解得
，
故切线方程为
，即
，故答案为：
【一隅三反】
1.（2024·陕西西安·一模）已知直线l 为曲线
过点
的切线．则直线l 的方程为 ．
【答案】
或
【解析】∵
，∴
.
设直线与曲线
相切于点
，则直线的斜率为
，
∴过点
的切线方程为
，
即
，又点
在切线上，
∴
，整理得
，
∴
，
解得
或
；
∴所求的切线方程为
或
.
故答案为：
或
.
2（2024 四川绵阳·期末）过点
作曲线
的切线，则切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为点
不在曲线上，设切点
，且
，则
，①
又
，则切线斜率为
，②
由①②解得
，
，所以
，切线的斜率为
，
切线方程为
，即
.
故答案为：
.
3.（2025 四川雅安·期中）已知
，则经过点
的曲线
的切线方程为
.
【答案】
或
【解析】令该切线方程的切点为
，
则
，
，
，
则有
，
又该直线过点
，故有
，
化简得
，即
，
故
或
，
当
时，有
，即
，
当
时，有
，即
.
故答案为：
或
.
考向六 切线求参数
【例6-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数
，若
的图象在
处的切线
方程为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知
，
所以
，解得
，
又
，
所以
，解得
，所以
.
故选：C.
【例6-2】（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知
，
，成等差数列，若直线
与曲线
相切，则
．
【答案】
【解析】由题意得
，直线
，
故直线过定点
，且曲线
过点
，
故直线与曲线
（无拐点）相切于点
.∵
，
∴直线的斜率
，∴直线的方程为
，∴
，
∴
.故答案为：
.
【一隅三反】
1.（24-25 高三下·广东惠州·阶段练习）若直线
与曲线
相切，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】设直线
与曲线
的切点为
，故
由
得
，故
，得
，故
.
故选：B
2（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法1：由
得
，当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.
由
，得
，
所以
，解得
，
故选：D.
解法2：由
得
，当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.
因为
，所以
，
令
，得
，
所以
与曲线
的切点为
，
由切点在切线
得
，解得
，
故选：D.
3（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线
与曲线
相切，则
．
【答案】
【解析】设直线
（
）与函数
相切，切点为：
，
因为
，所以切线斜率为：
.
所以切线方程为：
.
由切线过点
，得：
所以
，解得：
或
.
所以
（舍去）或
.故答案为：
考向七 公切线
【例7-1】（2024·山东）已知
（e 为自然对数的底数），
，请写出
与
的一
条公切线的方程 .
【答案】
或
(写出其中一条即可)
【解析】设公切线与
相切于点
，与
相切于点
，
，
，则公切线斜率
，
公切线方程为
或
，
整理得
或
，
所以
，即
，
，解得
或
，
公切线方程为
或
.
故答案为：
或
<(写出其中一条即可)
【例7-2】（2024·广东茂名·一模）曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】两个函数求导分别为
，
设
，
图象上的切点分别为
，
，
则过这两点处的切线方程分别为
，
，
则
，
，所以
，
设
，
，
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，且
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
.
故选：B.
【一隅三反】
1.（24-25 高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线
和
都相切的直线l 的方程为 .
【答案】
【解析】设直线
与
的图象相切于点
，与
的图象相切于点
，
又
，
，且
，
.
曲线
在点
处的切线方程为
，
曲线
在点
处的切线方程为
.
故
解得
，
，
故
故
，故直线的方程为
.
故答案为：
.
2.（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
.
【答案】
【解析】由题意可得
，
设直线
与曲线
的切点为
，则
又切点在曲线上，所以
，联立解得
，即
.
，设直线
与曲线
的切点为
，
所以
，又
，
联立两式，解得
.
故答案为：2
3.（2024·湖南长沙·三模）斜率为1 的直线与曲线
和圆
都相切，则实数
的值为
【答案】0 或2
【解析】依题意得，设直线的方程为
，即
，
由直线和圆
相切可得，
，解得
，
当
时，
和
相切，
，设切点为
，根据导数的几何意义，
，
又切点同时在直线和曲线上，即
，解得
.
即
时，
；
当
时，
和
相切，
，设切点为
，根据导数的几何意义，
，
又切点同时在直线和曲线上，即
，解得
.
即
时，
.
综上所述，
或
.
故选：A.
4.（24-25 高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数
和
的图象分别相切于点
和点
，则
的值为 ．
【答案】-2
【解析】因为
，
，所以
，
，
则
在点
处的切线方程为
，即
；
在点
处的切线方程为：
，即
，
由已知
，由
得
，故
，
故
，解得
，
所以
，因此
．
故答案为：
．
5.（2024·广东江门·二模）若曲线
与曲线
存在公切线，则a 的最大值 ．
【答案】
【解析】设公切线与曲线
切与点
，与曲线
切与点
，
由
，得
；由
得
.
则
，
所以
，所以
，即
.
设
，则
.
由
；由
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
.
即
的最大值为
.
故答案为：
考向八 切线的数量
【例8】（2025·河南）若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【解析】设切点为
，由
，所以
，得
，
所以切线方程为
，即
．
因为切线过点
，所以
，解得
或
，
所以过点
作曲线
的切线可以作2 条.
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线
的切线，则切线共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】A
【解析】设切点为
，
由
可得
，
则过坐标原点的切线的斜率
，
故
，即
，
解得
，故过坐标原点的切线共有1 条．
故选：A．
2（24-25 高三上·河北承德·开学考试）过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【解析】由
，
当点
是切点时，此时切线的斜率为
，此时有一条切线；
当点
不是切点时，设切点为
，则切线的斜率为
，
切线方程为：
，该切线过点
，
于是有
或
（舍去），
综上所述：过点
可作曲线
的切线条数为
，
故选：B
3．（2024 北京）已知函数
，则过点
与曲线
相切的直线有 条.
【答案】2
【解析】曲线方程为
，点
不在曲线上，
设切点为
，则点
的坐标满足
，
由
，得
，
由导数的几何意义知，
在
处的切线的斜率为
，
故切线的方程为
，
因为点
在切线上，所以
联立
得
，解得
或
，
故所求切线方程为
或
，
则过点
与曲线
相切的直线有2 条.
故答案为：2.
考向九 已知切线的条数求参数
【例9-1】（2024·山东·模拟预测）若过点
可以作
的三条切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，设切点坐标为
，由
，求导得
，
则函数
的图象在点
处的切线方程为
，
由切线过点
，得
，
令
，依题意，直线
与函数
的图象有3 个公共点，
，当
或
时，
，当
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数
取得极小值
，而当
时，恒有
，
又
，因此当
时，直线
与函数
的图象有3 个公共点，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
【例9-2】（2024·四川内江·模拟预测）若过点
可以作两条直线与曲线
相切，则下列选项
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点
，
因为
，所以
，所以点P 处的切线方程为
，
又因为切线经过点
，所以
，即
，
令
，则
与
有两个不同的交点，
，
当
时，
恒成立，所以
单调递增，不合题意；
当
时，当
时，
，当
时，
，
所以
，则
，即
，故选：B
【一隅三反】
1.（23-24 辽宁本溪）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在曲线
上任取一点
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令函数
，
则
.
当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
所以
.
设
，
所以
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
所以
，
所以
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
的图象如图：
由题意可知，直线
与
的图象有两个交点，则
.
故选：B
2（2025·黑龙江·模拟预测）若过点
可作出曲线
的三条切线，则
的取值范围是
【答案】
【解析】
，则过
的切线为
，即
.
由过点
可作曲线
的三条切线得
有3 个不等实根.
令
，
，由
得
或
.
当
或
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减；
故当
时，函数
取得极大值为
；当
时，函数
取得极小值为
.
要使
有3 个不等实根，则
，即得
，即所求m 的取值范围是
.
故答案为：
.
3（24-25 高三上·广西·期中）已知函数
，过点
可作2 条与曲线
相切的直线，则实
数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
，设切点为
，
则切线方程为
，
将点
代入切线方程得，
，化简得
，
设
，则
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
在
，
上单调递减，在
上单调递增，且
，
作出函数
的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使直线
与
的图象有两个交点，则
，
故答案为：
．
考向十 切线方程的应用
【例10-2】（2024·河南）直线
分别与曲线
， 直线
交于
两点， 则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题，设
到直线
的距离为
，直线
的倾斜角为
，则
，
又
，
，故
最小即
最小，即为当过点
处的切线与直线
平行时最小，
由曲线
，得
，所以切点为
，
可求得点
到直线
的距离最小值为
故
，故选：C
【例10-2】（23-24 山东枣庄）若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的最小距离为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】直线
的斜率
，函数
定义域为
，
点
是曲线
上任意一点，设
，由
，
令
，解得
或
（舍去），
，此时
，∴曲线上与直线
平行的切线的切点为
，
所以曲线
上点
到直线
的最小距离，
为点
到直线
的距离
.
故选：C.
【例10-3】（2023·四川·校考模拟预测）若函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
当
时，
，当
趋向正无穷时，
趋向正无穷，故作出
的大致图象，如图所示．
由题知函数
恰有2 个零点，即函数
的图象与直线
的图象恰有2 个交点，
易知点
为
与直线
的公共点，又曲线
在点
处的切线方程为
，
所以当
，直线
与与曲线
有2 个交点；
当
时，直线
与曲线
有2 个交点．
综上所述，实数
的取值范围为
．
故选：C．
【一隅三反】
1.（2025 海南）已知P 是曲线
（
）上的动点，点Q 在直线
上运动，则当
取
最小值时，点P 的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】画出曲线
（
）和直线的
图象，如下图所示
若使得
取最小值，
则曲线
在点
处的切线与直线
平行，
对函数
求导得
，令
，可得
，
又
，解得
．
故选：C
2（2024·陕西）设
是曲线
上的动点，且
.则的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵
，∴
，
设点
，则
在点P 处的切线斜率为
，
∵
，即：当且仅当PA 垂直于切线时，
取得最小值
，
又∵
，
∴
，即：
，①
∴
，即：
，②
∴由①②得：
，解得：
或
，
又∵由①知，
，
∴
，即：
，解得：
，
∴
.
故答案为：
.
3.（2024·江苏淮安）已知函数
，
，若函数
恰有2 个零点，
则实数m 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由
得
，
由题意得，函数
与函数
的图象恰有2 个公共点，
作出函数
的图象，如图，
再作出直线
，它始终过原点，
设直线
与
相切，切点为
，
由
知
，切线斜率为
，切线方程为
，
把
代入得
，
所以切线斜率为
，
设
与
相切，则
，
所以，
，解得
舍去），
由图可得实数m 的取值范围是
或
.
故答案为：
