文档文本内容
3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理...............................................................................................................................3
知识点一、导数定义与几何意义........................................................................................................3
知识点二、导数的计算........................................................................................................................3
方法总结1：切线问题.........................................................................................................................4
03 真题回顾...........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结.........................................................................................................................14
题型一：导数的运算求解..................................................................................................................14
题型二：曲线切线方程的求解..........................................................................................................17
题型三：以值代参法解决切线问题..................................................................................................18
题型四：借助切线模型求解距离最值..............................................................................................20
题型五：曲线切线条数的判定..........................................................................................................23
题型六：切线背景下的弦长问题......................................................................................................27
题型七：曲线间的公切线问题..........................................................................................................30
题型八：切线相关的新定义问题......................................................................................................34
05 课后拓展精练.................................................................................................................................37
知识点一、导数定义与几何意义
1、①函数
从
到
的平均变化率为：
.
变式：
.
②函数
在
处附近的平均变化率为：
.
③平均变化率的几何意义：割线的斜率；
平均变化率的物理意义：平均速度（将
视为作直线运动时位移
关于时间的函数）.
2、函数
在
处的瞬时变化率（导数）：
.
几何意义：切线的斜率；
物理意义：瞬时速度（将
视为作直线运动时位移
关于时间的函数）.
变式：
①
，②
，③
3、导数的几何意义：函数
在
处的导数
就是曲线
上的点
处切线
的斜率
即
，因此切线方程是：
.
知识点二、导数的计算
1、基本初等函数的导数公式：①若
，则
，简记为
为常数)
②若
，则
，简记为
③若
，则
，简记为
④若
，则
，简记为
⑤若
，则
，简记为
⑥若
，则
，简记为
⑦若
，则
，简记为
⑧若
，则
，简记为
2、和差积商法则：①
；②
；
③
；④
．
3、复合函数的求导法则：
复合函数
的导数与函数
，
的导数间的关系是
方法总结1：切线问题
(1)在某点的切线方程
思路：函数
在点
处的切线方程为：
，关键
(2)过某点的切线方程
思路：设切点为
，则斜率
过切点的切线方程为
，又因为切线方程过点
所以
然后解出
的值带入切线方程即可．（
有几个值，就有几条切线）
过点
与在点
处的区别
在点
处的切线指的是
为切点的切线．
过点
的切线是指切线过点
，点
是否切点均可，切线可多条．
(3)公切线问题
若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，求公切线
思路：设直线
与
和
的切点分别为
和
，
写切线
，
，
化斜截：
，
斜率相等，截距相等：
两个方程解两个未知数，解出
，
带入所写切线即可．
(4)切线求参
①已知切线的斜率，则由
，可求出切点坐标．
②若
在点
处的切线过点
，则
．
③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法．
1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）设函数
，则曲线
在点
处的切
线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
则
，
即该切线方程为
，即
，
令
，则
，令
，则
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.
故选：A.
2．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，
所以
，
所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
故选：C
3．（2021 年全国新高考I 卷数学试题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知
.
故选：D.
4．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则
l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线
上的切点为
，则
，
函数
的导数为
，则直线的斜率
，
设直线的方程为
，即
，
由于直线与圆
相切，则
，
两边平方并整理得
，解得
，
（舍），
则直线的方程为
，即
.
故选：D.
5．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数
的图像在点
处的切
线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
.
故选：B.
6．（2026 年高考上海卷数学高考真题（网络 收集版））已知三角函数
（
，
，
，
），若
，当
或
时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达
到4 时用时为0.1 秒，则
__________．
【答案】
【解析】由题意知，
和
时，导数为0，即
的最小值为0，最大值为4，
又
，
所以
，解得
，故
；
已知初速度为0，则
，解得
，
已知
，则
，
速度第一次达到4 时用时
秒，则
，即
，
此时
．
7．（2025 年高考全国一卷数学真题）若直线
是曲线
的一条切线，则
_________.
【答案】
【解析】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
8．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切
线，则
__________.
【答案】
【解析】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
9．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分
和
两种情况，当
时设切点为
，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出
，即可求出切线方程，
当
时同理可得；
因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
故答案为：
；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
因为
是偶函数，图象为：
所以当
时的切线，只需找到
关于y 轴的对称直线
即可.
10．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________．
【答案】
【解析】∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
11．（2021 年全国新高考II 卷数学试题）已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是
_______．
【答案】
【解析】由题意，
，则
，
所以点
和点
，
,
所以
，
所以
，
所以
，
同理
,
所以
.
故答案为：
12．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为
．
故答案为：
．
13．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线
的一条切线的斜率为2，
则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为
，
，所以切点坐标为
，
所求的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
14．（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
，曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
【解析】（1）由题意知，
，
，
，则
在点
处
的切线方程为
，
即
，设该切线与
切于点
，
，则
，解得
，则
，解得
；
（2）
，则
在点
处的切线方程为
，整理得
，
设该切线与
切于点
，
，则
，则切线方程为
，整
理得
，
则
，整理得
，
令
，则
，令
，解得
或
，
令
，解得
或
，则
变化时，
的变化情况如下表：
0
1
0
0
0
则
的值域为
，故
的取值范围为
.
题型一：导数的运算求解
【典例1-1】（2026·高三·上海·阶段检测）已知
，则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【解析】
.
【典例1-2】求下列函数的导函数．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【解析】（1）因为
，所以
．
（2）因为
，所以
．
（3）因为
，所以
．
【变式1-1】求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
(3)
(4)
；
(5)
；
(6)
【解析】（1）由
，得
.
（2）由
为常数，得
.
（3）由
，得
.
（4）由
，得
.
（5）由
，得
.
（6）由
，令
，得
，
则
.
【变式1-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，则函数
的表达式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
.
选项A，
为
上的奇函数，且
，
，符合题意；
选项B，
是非奇非偶函数，不合题意；
选项C，
是定义在
上的偶函数，不合题意；
选项D，
是定义在
上的奇函数，
，
，不合题意.
【变式1-3】（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数
的图象如图所示，若
，则下列数值排序
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得：
，所以
，
所以
，
根据导数的几何意义得
，
所以
.
【变式1-4】已知函数
满足
，则
在
的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
所以
，
即
，
解得
．
【变式1-5】已知数列
中，
，若函数
的导
数为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
.当
时，
，
所以
.
因为
也满足，所以
.令
，
则
，
，所以
.
故选：B.
题型二：曲线切线方程的求解
【典例2-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知函数
，则曲线
在
处
的切线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，令
，则
，解得
，
则曲线
在
处的切线的倾斜角为
.
【典例2-2】曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于
，故
，
则
处的切线斜率为
，
又当
时，
，
故曲线
在
处的切线方程为
.
【变式2-1】过点
与曲线
相切的直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点为
，
，
切线斜率
，解得：
，
.
【变式2-2】过点
的直线与曲线
相切，则直线的斜率为（ ）
A．1
B．-1
C．3 或1
D．3 或
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
，
当
为切点时，
；
当
不为切点时，设切点为
，
，
所以
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，
所以
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），所以切点为
，
所以
．
综上所述，直线l 的斜率为3 或
．
【变式2-3】（2026·辽宁朝阳·二模）函数
在
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
，所以
，则在
处的切线斜率是
，
函数
过
，
在
处的切线方程是
，即得
.
题型三：以值代参法解决切线问题
【典例3-1】若曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
，求导得
，则
，而
，
曲线
在
处的切线方程为
，即
，
设曲线
在
处的切线与曲线
相切的切点为
，
而
，则
且
，于是
，
解得
，
，即
．
因此
，令函数
，
求导得
，由
，得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
，所以
的最大值为
.
【典例3-2】已知不等式
在
上恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
恒成立，则说明
始终在
上方或相切.
设曲线
与直线
切于点
，因为
，
则该点处切线斜率
，
，且
.
.
设
，则
，
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
所以
.
【变式3-1】函数
在
处的切线方程为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】
，
，
又函数
在
处的切线方程为
，
，解得
，则
，
，
将点
代入切线方程得
，即
，故
【变式3-2】若直线
与曲线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【解析】由
，求导得
.
因为直线
与曲线
相切，设切点为
，
则切线斜率
，解得
.
则切点为
，则
，解得
.
【变式3-3】已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
设切线斜率为
，则
，
又因为切线与直线
垂直，
所以
，即
，解得
.
【变式3-4】（2026·陕西西安·模拟预测）若直线
是曲线
的切线，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】设
，则
．
设直线与曲线相切于横坐标为
的点．
因为直线
的斜率为
，所以
，即
．
因此
，解得
．
切点同时在直线和曲线上，所以当
时，两者的函数值相等，即
．
整理得
，解得
．
题型四：借助切线模型求解距离最值
【典例4-1】点
为曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当过点
的切线与直线
平行时，点
到直线
的距离最小，
求导可得
，设
，
则
，解得
，代入可得
，
点
到直线
的距离为
，
所以点
到直线
距离的最小值为
.
【典例4-2】若实数a、b、c、d 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】A
【解析】因为
，所以点
在函数
的图象上，点
在直线
即
上，
当函数
的图象过
点的切线与直线
平行时，切点
到直线
的距离最小，也即为
的最小值，
，由
得
，
，
到直线
的距离为
，所以
，
所以
的最小值为2.
【变式4-1】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，
，
（其中是自然对数的底数），则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，进而
，
又
在
上，
故
的最小值可以看成是
图像上的点离直线
的最近距离的平方，
，
所以
图像上离直线
的最近的点为斜率为2 的切线的切点
令
， 即得
，令
，
单调递增且
，
所以
，即切点横坐标为
，切点为
，
所以
的最小值为
.
【变式4-2】已知A，B 分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
求导得
，直线
斜率为
，
当直线与曲线的切线平行时，
最小，此时
，解得
，
故切点为
，
则
的最小值为切点
到直线
的距离，
即
．
【变式4-3】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点
，
，定义
为
A，B 的“镜像距离”.若点A，B 在曲线
上，且
的最小值为2，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数得
，即
，
的反函数为
.
由点
在曲线
上，知点
在其反函数
上，
相当于
上的点
到曲线
上点
的距离，即
，
利用反函数性质可得
与
关于
对称，
当
与
垂直时，
取得最小值为2，
因此A，
两点到
的距离都为1.
过点
作切线平行于直线
，斜率为1，
由
，得
，可得
，
所以
，即
，
点
到
的距离
，解得
.
当
时，
与
相交，不合题意；
当
时，
与
不相交，符合题意.
综上，
.
题型五：曲线切线条数的判定
【典例5-1】已知函数
，若过点
可作曲线
的3 条不同切线，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，设切点坐标为
，求导得
，
则切线方程为
，由切线过点
，
得
，化简得
，
“过点
可作曲线
的3 条不同切线”等价于“关于
的方程
有3 个不同的实
根”，
即函数
的图象与直线
有3 个不同的交点，
求导得
，当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
，
，
所以当
时，直线
与函数
的图象有3 个交点，对应3 条不同的切线．
【典例5-2】若过
可作曲线
的三条切线，切点的横坐标分别为
，
，
，则的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点坐标为
，
曲线
的切线方程为
，
即
，
代入
，得
，该方程有三个不同的解
，
，
．
令
，
，
令
，则
或
，
当
和
时，
，当
时，
，
知
的增区间为
，
，减区间为
，
所以函数在
和
处分别取得极大值和极小值，要想函数
有三个不同零点，
则
．
所以的取值范围是
.
【变式5-1】已知函数
，过原点作函数
的切线，则可作的切线条数为（ ）
A．无数条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
【答案】B
【解析】设过原点作函数
的切线的切点为
，
而
，则
，
因此切线方程为
，
由切线过原点
，得
，
则
或
，当
时，切线方程为
；
由
，得
或
，
当
时，切线方程为
；
当
时，切线方程为
，
所以过原点可作函数
图象的切线条数为3.
【变式5-2】（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知函数
，若对任意
，过点
均仅
可作曲线
的一条切线，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】由
，定义域为
，
导数
，设切点为
，
切线斜率为
，
则切线方程：
，又切线过点
，
代入整理得：
由题意对任意
，方程关于
仅有一个解，
即函数
在
上单调，
求导得：
，又
，
符号由分子
决定，
要让
单调，需
恒正或恒负对所有
成立，
当
时，
恒成立，此时当
时，
恒正或恒负不成立，
当
时，若
恒正或恒负对所有
成立，
需满足
和
有相同零点，
有正根
，
，得
，
即
，解得
；
此时
对所有
恒成立，
仅
处等号成立，
在
单调递减，且
，
，
故对任意
，方程
仅有一个解，符合要求；
因此
.
【变式5-3】若曲线
（其中e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】对函数求导得
，设切点坐标为
，
则切线方程为
.因为切线经过原点，
将
代入得
，即
.
而
，那么
，化简得
，
由于曲线
（其中e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，
所以判别式
，解得
或
.
【变式5-4】若过点
可以作函数
的三条不同的切线，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，则
，
设切点坐标为
，切线斜率
，
则切线方程为
，
代入点
可得
，即
，
令
，原题意等价于
与
有3 个交点，
因为
的定义域为
，且
，
令
，解得
；令
，解得
或
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
的极小值为
，极大值为
，
当
趋近于
时，
趋近于
，当
趋近于
时，
趋近于
，
可得
，所以t 的取值范围是
.
题型六：切线背景下的弦长问题
【典例6-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数
，
，
，
（点
在直线
下方），过点
作
直线
，垂足为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，得
，直线
的方程为
，即
.
结合二次函数图像可知，当抛物线过点
的切线与直线
平行时，
最大．
已知
，则
，令
，则
.
又
，故切点坐标
，此时
.
即
的最大值为
.
【典例6-2】过点
作抛物线
的两条切线，切点分别为
，则直线
在
轴上的截距为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由题意得
，求导得
，
设
，则直线
的斜率为
，
所以切线
的方程为
，即
，
代入
化简可得，
，
同理，切线
满足
，
所以
是方程
两个相异的实数根，
所以
.
直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，则
，
由
可得
，即直线
的方程为
，
所以直线
在
轴上的截距为
.
【变式6-1】（2026·高三·重庆·开学考试）已知函数
，若直线
与
的图象分别交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】A
【解析】因为
，所以
.
设
，
对于
，在点
处的切线斜率为
，
则切线方程为
，即
.
对于
，在点
处的切线斜率为
，
则切线方程为
，即
.
当两切线平行且斜率相等时，
最小，即两切线与直线
垂直时，
最小.
所以令
，则
；令
，则
.
此时
.
所以
.
故选：A.
【变式6-2】（2026·高三·江苏·开学考试）若直线与曲线
相切于点
，与曲线
相切于点
，若
，则线段
的长度为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得曲线
在点
处的切线斜率为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，令
，得
，
由
，得曲线
在
处的切线斜率为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，令
，得
，
所以
，消去
可得
，
令
，
，则
，
令
，则
，
令
，得
，即
在
上单调递减，
令
，得
，即
在
上单调递增，
又
时，
，故
，即
，
所以函数
在
上单调递减，且
，所以
，则
，
所以
，
，
所以线段
的长度为
.
故选：C.
【变式6-3】（2026·广西南宁·三模）过点
的直线l 与曲线
相切于点B，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】依题意，设
，由
，
则
，
则
，
化简得
，解得
，故
，
故
．
故选：B．
题型七：曲线间的公切线问题
【典例7-1】若函数
的图象在点
处的切线恰好与函数
的图象切于
点
，则
________________．
【答案】3
【解析】
，则过点
的切线方程为
，
整理得
①，
，则过点
的切线方程为
，
整理得
②，
因为①②都是直线
的方程，且①在
轴上的截距为
，②在
轴上的截距为
，
所以
，即
.
【典例7-2】若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
_____
【答案】
/
【解析】设直线
与曲线
切于点
，
与曲线
切于点
，
则有
，
从而得到
，
，
，
．
所以切线方程
，所以
．
【变式7-1】已知两函数
，
的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a 的值为
______．
【答案】0 或1
【解析】设公共的切点为
，则在函数
中，当
时，
，
则在
点处的切线方程为：
，
在函数
中，当
时，
，
同理可得在P 点处的切线方程为：
，
又两个函数在公共点处的切线重合，所以
，
解方程组可得
或
，所以a 的值为0 或1．
【变式7-2】已知曲线
：
，
：
，若有且仅有一条直线同时与
，
都相切，则
______．
【答案】
【解析】设直线与曲线
相切于点
．
因为
，所以直线的斜率为
．
所以直线的方程为
联立
，整理得
所以
所以
有唯一解．
设
，则
有唯一零点．
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增；
在
处取得唯一极小值，
则
，
解得
．
【变式7-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线
和
有两条公切线，其中
一条为直线
，则另外一条公切线的方程为________．
【答案】
【解析】对
，求导得
，
设切点为
，切线斜率
，解得
，则切点为
，切线方程为
，满足条件.
对
，求导得
.
设切点为
，则切线斜率为
，所以
，故切点坐标为
，
代入切线
中得，
，则
.
设另一条公切线与
相切于
，则切线方程为
，
即
.
设该公切线与
相切于
，则切线方程为
，
即
.
所以
，解得
或
.
当
时，对应切线方程为
，即已知切线方程；
当
时，对应切线方程为
.
故另外一条公切线的方程为
.
【变式7-4】（2026·河南·模拟预测）已知直线l 与曲线
和
都相切，则直线l 的方程为_________．
【答案】
【解析】设
，与曲线
联立，得
，由
，得
．
直线l 与曲线
联立，得
，显然
，由
，得
．
所以
，
化简得
，又
，所以
，从而
．
所以直线l 的方程为
，即
．
【变式7-5】若曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，则
__________．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，导数值
，即切线斜率为；
由点斜式得切线方程为
，整理为
，
设直线
与
相切于点
，
对
，求导得
，
由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即
，解得
，
因此切点坐标为
，又切点在切线
上，
代入得：
，解得
.
【变式7-6】（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线
与曲线
有两条公切线，则
的取值
范围为______．
【答案】
【解析】设曲线
上的切点为
，求导得
，
则切线方程为
，即
，
设该切线与曲线
切于点
，求导得
，
则切线方程为
，即
，
，即
①，
②，
把①代入②消去
得
，由
得
，解得
，
令
，则
，代入①得
，
令
，问题转化为
有2 个不同解，
求导
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
最大值
，
和
时，
，
，
，
，即
．
题型八：切线相关的新定义问题
【典例8-1】牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程
求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程
的根，选取
作为的初始近似
值.过点
作曲线
在
处的切线，切线方程为，当
且
时，称
与
轴的交点的横坐标
是的一次近似值；过点
作曲线
在
处的切线，切
线方程为
，当
且
时，称
与
轴的交点的横坐标
是的两次近似值；重复以上过程，
得到的近似值序列
.这就是所谓的“牛顿迭代法”.
（1）当
时，的
次近似值
与
次近似值
可建立等式关系：
__________；
（2）若取
作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程
正实根的两次近似值为
__________（用分数表示）.
【答案】
/
【解析】第一空：由曲线
在
处的切线方程为：
，
令
，解得
，
又曲线
在
处的切线方程为：
，
令
，解得
，
由此推理得的
次近似值与的
次近似值的关系式为：
；
第二空：方程
正实根为
，
设函数
，则
，
由
，
当
时，
，
.
【典例8-2】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流
数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数
的
一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在点
处作曲线
的切线，设与
轴交
于点
，并称
为的1 次近似值；在点
处作曲线
的切线
，设
与
轴交于
点
，称
为的2 次近似值.一般地，在点
处作曲线
的切线
，记
与
轴交于点
，并称
为的
次近似值.若函数
，取
作为的初
始近似值，则的2 次近似值为______.
【答案】
【解析】由
得，
，又
，得
，
∴在
处的切线的方程为：
，令
，得到
；
所以
，得到
，所以
，
∴在
处的切线
的方程为：
，
令
，得到
，故的2 次近似值为
.
【变式8-1】在计算机科学中，闵氏距离是机器学习算法的基础，常用于测量数据点之间的相似性或差异
性．设两组数据分别为
和
，则这两组数据间的闵氏距离为
，其中
表示阶数．若
，
，
，则
的最小值为
______．
【答案】
【解析】由已知可得
，
所以
可看作平面上的动点
与动点
之间的距离．
设
，
，则点
在曲线
上，点
在直线
上．
设曲线
斜率为1 的切线对应的切点为
，则
，所以
，
，则切线方程
为
．
直线
与
间的距离为
，所以
的最小值为
．
故答案为：
.
【变式8-2】（2026·山西·模拟预测）已知点
，
，定义
为
的
“镜像距离”，若点
在曲线
上，则
的“镜像距离”的最小值为______.
【答案】
【解析】设
，
，
易知函数
的反函数为
，
由点
在曲线
上可知点
在函数
上，
所以
相当于
上的点
到曲线
上点
的距离，
又
与
的图象关于
对称，所以
的“镜像距离”的最小值为点
到
的距离的最小值的2 倍.
由
，得
，令
，解得
，
又点
到直线
的距离
，
所以
的“镜像距离”的最小值为
.
故答案为：
1．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数
在点
处的切线与直线
平行，则
该切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
．
切线与直线
平行，所以切线斜率为3．
于是
，解得
．又
．
切线方程为
，
即
．
2．如图，已知直线l 是曲线
在
处的切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知，曲线
在
处的切线过点
和点
，
则此切线的斜率为
．
3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
．若曲线
在
处的切线经过点
，
则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由
，得
，
在
处，
，
，
所以切线方程为
，
即
．
该切线经过点
，故
，
解得
．
4．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线
和曲线
的切线，则斜率的
最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设直线与
切于
，与
切于
.
求导得
，
，因此公切线斜率
，
整理得
①.
的切线方程为
；
的切线方程为
.
同一直线截距相等，消去同类项得
②，
将①代入②，得
关于
的函数
.
对
求导得
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因此
时
取最小值，即
.
5．已知函数
，若函数
在区间
上单调递增，且曲线
在区间
上任意
一点处的切线斜率均不大于2，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，则
，
若函数
在区间
上单调递增，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则
，
由
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以若函数
在区间
上单调递增，则
，
若曲线
在区间
上任意一点处的切线斜率均不大于2，
即
在
恒成立，等价于
在
恒成立，
也即
在
恒成立，
令
，则
，
因为
，所以
恒成立，即函数
在
上单调递增，
所以
，
所以若曲线
在区间
上任意一点处的切线斜率均不大于2，
则
，所以要满足题意则
，即实数
的取值范围是
.
6．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线
在
处的切线经过点
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由
求导得
.
则
，
.
所以曲线
在
处的切线方程为
.
即
.
该切线经过点
，则得
.
解得
.
7．（2026·湖南·模拟预测）已知直线
与曲线
相切，则实数b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
，得
，
设切点坐标为
，则切线的斜率
，
所以切线方程为
，其中
，
即切线方程为
.
整理可得
，
又因为直线
与曲线
相切，
所以
，
.
设
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
故函数
在
时取极小值
，
且当
时，
.
综上所述，函数
的值域为
，所以实数
的取值范围
.
8．若曲线
在
处的切线方程为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】设
，则
，
由题意得
，解得
.
9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
的定义域为
，
，当
时，
，则曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
的定义域为
，
，得函数
的图象关于直线
对称，
因此曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处切线关于直线
对称，
其斜率互为相反数，当
时，
，求导得
，则
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
.
10．（多选题）设函数
，则（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．直线
是曲线
的对称轴
C．直线
是曲线
的切线
D．
有三个零点
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，所以
，
当
时，
恒成立，则
在区间
上单调递增，故A 正确，
对于B，由题意得
，
，
得到
，则直线
不是曲线
的对称轴，故B 错误，
对于C，设切点为
，令
，
得到
，解得
，则切点为
，
可得切线方程为
，化简得
，
得到直线
是曲线
的切线，故C 正确，
对于D，令
，则
，
因式分解得
，解得
或
或
，
则
有三个零点，故D 正确.
11．（多选题）（2026·广东茂名·二模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法
——牛顿法．具体步骤如下：设是函数
的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在横坐标
为
的点处作曲线
的切线，直线与
轴交点的横坐标为
；用
代替
重复上面过程得到
；一
直进行下去，得到
，
，
，
，当
足够小时，我们可以把
的值作为函数
零点的近似
值．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线
的方程为
C．
D．设
，
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意得
，
，
则
，故的切点为
，
而
，由导数的几何意义得的斜率为
，
得到切线的方程为
，化简得
，
令
，解得
，故A 正确.
对于B，
，
，
则
的方程为
，即
，故B 错误.
对于C， 由题意得
在
处的切线方程为
，
而该方程必过
，代入得到
，
则
，得到
，C 选项正确.
对于D，
，
可得
，
由已知得
，则
单调递增，
而
，
，得到
，
由零点存在性定理得存在
作为
零点，
初始值
，且
（牛顿迭代值始终在零点右侧），故
，
所以
，
所以数列
单调递减且无限趋近于，
故
，
则
，得到
，
所以
，故D 正确.
12．（2026·山东聊城·二模）已知函数
，若
为偶函数，则
在
处的切线方程
为_________.
【答案】
【解析】由题得
，解得
，
可得
的定义域为
.
又因为
为偶函数，其定义域关于原点对称，
所以
，则
，
此时
，满足
为偶函数.
当
时，
，则
，
所以
，
则
在
处的切线方程为
.
13．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数
的图象在
处的切线过点
，则
_____________．
【答案】
【解析】
，当
时
，切点坐标为
，
求导得
，则
，
切线方程为：
，即
，
代入点
得，
，解得
．
14．（2026·河南南阳·三模）已知函数
的图象在点
处的切线也是函数
的图象的切线，则实数
_____.
【答案】
【解析】因为
，所以
，则
，
切线斜率
，切线方程：为
，即
，
设
与
相切于点
，
因此
，切点
在切线
上，
，
即
.
15．设函数
，曲线
在
处的切线方程为
，则
的值为
______．
【答案】2e
【解析】因为函数
，所以
，
曲线
在
处的切线方程为
，
所以有
，即
，解得
，
所以
．
16．若直线
是函数
图象的切线，则其切点坐标为________.
【答案】
【解析】设所求切点为
，由于
,
所以
，解得：
则其切点坐标为
17．（2026·云南昭通·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为______．
【答案】
【解析】由于
，则
，
故
，故
，所以
，
代入
，可得
．又
．故切线方程为
，则
．
18．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，设曲线
在点
处切线的斜率为
．若
均不相等，且
，则
的最小值为
__________________．
【答案】9
【解析】已知函数
，对函数求导得，
，
根据导数的几何意义，有
，
，
，
因为
，所以
，
令
，
，
则
，因此
，而
，所以
，
而
，
，
,
代入
，
得，
，
而由基本不等式得，
，
当且仅当
时取等，
故
的最小值为
19．（2026·安徽·模拟预测）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
________．
【答案】2
【解析】由
，则
，则
在点
处的切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
，
设切线与曲线
的切点为
，
又
，得
，
则切点处的斜率必为1，且切点在切线
上，
则
，解得
，
所以
．
