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第 9 练 导数的概念及运算
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数a
的值为（ ）
A． B．2e C． D．
【答案】D
【详解】
由 ，得 ，则 ，因为曲线
在点 处的切线与直线 垂直，所以 ，故 .
故选：D.
2．若点P是曲线 上任一点，则点P到直线 的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设与直线 平行的直线与曲线 切于 ，
由 定义域为 ，得 ，则 ，
由 ，解得 （舍去负值）．
，则点 到直线 的最小距离是 ．
故选：C．
3．曲线 在点 处的切线斜率是（ ）
A．9 B．6 C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵ ，
∴ ，∴ ，
由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的切线斜率是 ；
故选：A
4．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
对于A， ，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D错误.
故选：C.
5．已知函数 ，则 （ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】D
【详解】
解： ，
则 ，
解得 ，
所以 ，
故 ．
故选：D
6．方程 有两个不相等实根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】
方程 有两个不相等实根 有两个不同的交点，
令 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 与 的图象有
两个交点.
①当 时，如下图可知 与 的图象有一个交点，不满足.
②当 时，如下图，当 与 相切于点 ，所以 ，
则 ，解得： ，所以要使 与 的图象有两个交点，所以a
的取值范围是： .
故选：C.7．若 是 的切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设点 （ ）是函数 图象上任意一点，
由 ， ，
所以过点 的切线方程为 ，
即 ， ， ，
所以
令 ， ，
所以 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 ；
故选：C
8．已知曲线 在点P处的切线与直线 垂直，则点P的横坐标为
（ ）A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
设 ，点 ，
则 ，
由在点P处的切线与直线 垂直可得 ，即 ，
又 ，∴ ,
故选：B
9．已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，
排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除
B；
对于C， 为奇函数，则，当 时，，与图象相符；
对于D， ，是奇函数，，
当 时，，与图象不符，所以排除选项D.
故选：C.
10．已知函数 是定义在R上的可导函数，其导函数为 ．若 ，且
，则使不等式 成立的x的值可能为( )
A．－2 B．－1 C． D．2
【答案】D
【详解】
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 在定义域R上单调递减．
∵ ，∴ ，
∴不等式 等价于 ，即 ，解得 ，
结合选项可知，只有D符合题意．
故选：D．
二、多选题
11．函数 的导函数为 ，若已知 的图像如图，则下列说法正确的是（ ）
A． 一定存在极大值点 B． 有两个极值点
C． 在 单调递增 D． 在x＝0处的切线与x轴平行
【答案】ACD
【详解】
由导函数 的图象可知，当 时 ，当 时 ，当 或 时，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极大值，且只有一个极值点，故AC正确，B错误；
因为 ，所以曲线 在 处切线的斜率等于零，即 在x＝0处的切线
与x轴平行，故D正确.
故选：ACD.
12．若函数 ，则（ ）
A． 的定义域是
B． 有两个零点
C． 在点 处切线的斜率为
D． 在 递增
【答案】BCD
【详解】
对于A：函数的定义域是 ，故A错误；
对于B：令 ，即 ，解得： 或 ，故函数 有2个零点，
故B正确；
对于C：斜率 ，故C正确；
对于D： ， 时，
， ，故 ， 在 单调递增，故D正确.
故选：BCD.
13．下列求导运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】
解：对A： ，故选项A错误；对B： ，故选项B正确；
对C： ，故选项C正确；
对D： ，故选项D错误.
故选：BC.
14．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个
“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】
对于A， 由 解得 ，因此此函数有 “巧值点” 0，2；
对于B， 由 ，即 ，无解，因此此函数无 “巧
值”；
对于C， ，由 ，分别画出图象： ，由图象可
知：两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点” ；
对于D， ，由 ，解得 ，因此此函数有 “巧值点”
.
故选： ACD.
三、填空题
15．已知函数 ，则 在 处的切线方程为______.
【答案】【详解】
，易得 ， ，所以切线方程为 ，即
.
故答案为： .
16．已知函数 ，则 的值为______．
【答案】
【详解】
∵ ，∴ ，
∴ ∴ ．
故答案为： .
17．集美中学高101组高二（15）班小美同学通过导数的学习，对直线与曲线相切产生浓
厚兴趣，并试着定义：若曲线 与曲线 存在公共点 ，且 、 在点 处的切线重合，
称曲线 与 相切．现出一问题：若函数 与 相切，则
__________．
【答案】
【详解】
设切点为 ，则 ，则 ，即 ①
因为函数 与 的导数分别为
所以 ②，联立①②可得
因为函数 与 的图象关于 对称
所以 ③，所以 ，即 ，
代入③可得 ，
故答案为：
18．双曲正弦函数 和双曲余弦函数 在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线 与双曲余弦函数 和双曲正弦函数 的
图象分别相交于点 、 ，曲线 在 处的切线与曲线 在 处切线相交于点 ，则如下
命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．
① ， ；
② ；
③点 必在曲线 上；
④ 的面积随 的增大而减小．
【答案】①④
【详解】
对于①， ，
，①对；
对于②， 不恒为 ，②错；
对于③， 、 ，
所以，切线 的方程为 ，
切线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
所以，点 不在曲线 上，③错；
对于④， ，点 到直线 的距离为 ，则 ，
所以， 的面积随 的增大而减小，④对.
故答案为：①④.
四、解答题
19．求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)
因为 ，
所以 ；
(2)
因为 ，
所以 ；
(3)
因为 ，
所以 ；
(4)
因为
所以
20．已知函数 .
(1)求 的导数 ；
(2)求曲线 在 处切线的方程.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
函数 定义域为 ，
．
(2)
由（1）知， ，而 ，
于是得函数 的图象在点 处的切线方程是 ，
即 ．
