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3.2 利用导数研究函数的单调性（精讲）
考向一 无参函数的单调区间
【例1-1】（1）（2025 河南）函数
的单调递减区间是
（2）（2025 北京）若函数
，则函数
的单调递减区间为
（3）（24-25 云南曲靖）设函数
，
的单调递减区间为
【答案】（1）
（2）
（3）
和
【解析】（1）由
，当
，得
，所以
的单调递减区间为
．
（2）
，函数定义域为
，
，
令
，解得
，则函数
的单调递减区间为
.
（3）函数
的定义域为
，求导得
，
由
，即
，解得
或
，
所以函数
的单调减区间为
和
.
【一隅三反】
（24-25 高三专题训练）求下列函数的单调区间：
(1)
； (2)
； (3)
.
(4)
； (5)
.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(2)单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
(3)单调递增区间是
，
，单调递减区间是
.
(4)单调递增区间为
；单调递减区间为
.
(5)单调递增区间为
；单调递减区间为
和
.
【解析】（1）易知函数
的定义域为
，
令
，得
或
，列表如下：
0
2
+
0
-
0
+
3
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）易知函数
的定义域为
.
令
，得
或
.列表如下：
+
0
-
0
+
1
所以函数
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
（3）
的定义域为
，且
，
令
，得
或
，列表如下：
+
0
-
-
0
+
所以
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
.
（4）函数
的定义域为
.
因为
，所以
，令
，解得
，所以函数
的单调递增区间为
；
令
，解得
，又
，所以函数
的单调递减区间为
.
（5）函数
的定义域为
.
.
因为
，所以
.
令
，解得
，所以函数
的单调递增区间为
；
令
，解得
，又
，
所以函数
的单调递减区间为
和
考向二 函数与导函数的图像关系
【例2-1】（24-25 宁夏石嘴山）已知函数
的导函数的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由导函数图象可知，当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
D 正确，其他选项不合题意.
故选：D
【例2-2】（2025 福建）已知函数
的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如下图所
示，则该函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由导函数图象知，
，
恒成立，即函数
在
上单调递增，
而函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此在
上，函数
的变化率逐渐增大，即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD 不满足，
在
上，函数
的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C 不满足，选项B 符合题意.
故选：B.
【一隅三反】
1.（24-25 湖南长沙）已知函数
的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如图所示，
则该函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，当
和
时，导函数
，函数
单调递减；
当
时，导函数
，函数
单调递增，故函数
的图象如图D．故选：D
2（24-25 湖北）已知函数
的导函数
的图象如图所示，那么函数
的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由导函数图象可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
结合选项，只有A 符合；
故选：A
3.（24-25 江苏无锡）已知
是
的导数，
的图象如图，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
的图象可知，
，所以
的图象单调递增，
因为
的值先增大后减小，所以
的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A 正确.
故选：A.
4．（24-25 吉林长春）已知函数
与
的图象如图所示，则函数
（ ）
A．在区间
上是减函数
B．在区间
上是减函数
C．在区间
上是减函数
D．在区间
上是减函数
【答案】B
【解析】由
得
，
由题中图象可知，当
时，
，所以
，则函数
单调递增；
当
时，
，所以
，则函数
单调递减；
当
时，
，所以
，则函数
单调递增；
当
时，
，所以
，则函数
单调递减；
故ACD 都错，B 正确，故选：B
考向三 无参函数在有参区间的单调性
【例3-1】（24-25 安徽）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，得
.
令
，得
，即函数
的减区间为
，
因为
在区间
上单调递减，所以
，
所以
，解得
.故选：B.
【例3-2】（2024 安徽）已知函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，当
，解得：
，
由条件可知
，所以
，解得：
.故选：B.
【一隅三反】
1.（23-24 四川内江）函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
令
，解得
，所以函数
的单调递减区间为
，
又函数
在
上单调递减，所以
.所以实数
的取值范围为
.故选：B.
2（24-25 江西）若函数
在区间
内单调递增，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知：
的定义域为
，且
，
令
，得
，可知
的单调增区间为
，
若函数
在区间
内单调递增，依题意
，解得
，
所以
的取值范围是
.故答案为：
.
3.（2024·广东茂名）若
是区间
上的单调函数，则实数
的取值范围
【答案】
或
【解析】由题意，
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递减，
若函数
在区间
上单调，
则
或
或
，解得
或
或
，
即
或
.
考向四 有参函数在无参区间的单调性
【例4-1】（24-25 高三上·青海）若函数
在
上单调递减，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
因为
在
上单调递减，所以
对
恒成立，
得到
，即
对
恒成立，
令
，则
对于
恒成立，
当
时，由反比例函数性质得
在
上单调递减，
得到
，即
，故D 正确.
故选：D
【例4-2】（24-25 湖南·期末）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
，求导得
，
由函数
在
上单调递减，得
，
，
则
，
，而
恒成立，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
【例4-3】（23-24 辽宁）若函数
在区间
上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，因为
在区间
上存在单调递减区间，
所以
在区间
上有解，即
在区间
上有解，
当
显然不出来；
当
时，
，即
，
故选:C．
【一隅三反】
1.（24-25 浙江宁波·期中）若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，
又
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，只需求出
的最小值即可，
又
在
单调递减，所以
，则
，
所以
，故
.
故选：D
2.（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数
在定义域上单调递增，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，解得
，
所以
的定义域是
，
依题意可知
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
由于
，
所以
的最大值为
，
所以
.
故选：D.
3.（24-25 北京）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域是
，
所以
.
当
时，
，则
在
上单调递增，符合题意.
当
时，由
，得
（负根舍去），
所以当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减.
依题意，函数
在区间
内存在单调递增区间，
所以
，解得
.
综上，
.
故选：C.
4．（2024 安徽宿州）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
，可得
，
因为函数
在区间
上单调递增，可得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，可得
，令
，可得
当
时，
，所以
单调递增，又因为
，
所以
，所以
在
上单调递减，所以
，即实数
的取值范围是
.
故选：C.
5.（23-24 河南）若函数
为定义域内的单调递增函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数求导得
由题意可知，
在
内恒成立，即
在
内恒成立，
故
，令
，
令
，得
，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
则函数
在
有最大值为
，
故
，故选：B.
考向五 函数在区间不单调
【例5-1】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江）已知函数
在区间
上不单调，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，又函数
的定义域是
，
当
时，
，当
时，
，故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，解得
.故选：C
【例5-2】（2024 高三·全国·专题练习）（多选）若函数
恰好有三个单调区间，则实数a
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】BD
【解析】当
时，
，显然不满足题意；
当
时，依题意知，
有两个不相等的零点，
所以
，解得
且
，
故选：BD．
【一隅三反】
1.（2025 北京）若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
的定义域为
，且
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
若函数
在
上不单调，即
，
，可得
，所以实数
的取值范围是
.故选：B
2.（24-25 高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，
则m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题得
定义域为R，
，
所以
时，
；
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又函数
在区间
上不单调，
所以
，故m 的取值范围是
.
故答案为：
.
3（24-25 上海）已知函数
有三个单调区间，则实数b 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由
求导得：
，
因该函数有三个单调区间，则方程
必有两相异实根，
则有
，解得
.故答案为：
.
4．（2025 哈尔滨）已知函数
在
上有三个单调区间，则实数
的取值范围
【答案
【解析】由题意可知函数在
上有三个单调区间，等价
在
有两个不同的根.
，令
，则
，
即
在
有唯不为1 的一根，则有
有唯一不为1 的根，
令
，则
，故当
单调递增，
当
单调递减，且
即
考向六 单调性应用一---比较大小
【例6-1】（23-24 天津）已知函数
，且
、
、
，则
、
、的大
小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，即
，则
，
所以
.故选：D
【例6-2】（2025 江苏）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
，所以构造函数
，
因为
，由
有：
，
由
有：
，所以
在
上单调递减，
因为
，
，
,
因为
，所以
，故A，B，D 错误.
故选：C.
【例6-3】（2024 广东）已知
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
，
，
因为
在
上单调递增，所以
，同理
，
所以
，故选：B
【例6-4】（2025 湖南）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
的定义域为
，
又
，所以
是偶函数，
又
，
令
，则
恒成立，所以当
时，
，即
，
又
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上恒成立，则
在
上单调递增，
构造函数
，则
，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，又
，
所以
，所以
，所以
，所以
.故选：B.
【一隅三反】
1.（2025 上海）已知函数f(x)=－
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小关系无法确定
【答案】C
【解析】由f(x)=-
求导得：
，当
时，
，
于是得f(x)在
上单调递减，因
，所以，
.故选：C
2（2025 浙江）已知
，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，且
，
则
，即
.故选：C.
3.（23-24 高三下·黑龙江·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】构造函数
，其中
，则
，
令
，则
对任意的
恒成立，
当
时，
，即
，
所以，函数
在
上单调递减，
因为
，
，
，
又因为
在
上单调递减，则
，
即
，故
.故选：C.
4.（2025 海南）已知函数
，若
，
，
，则a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，可得函数
为偶函数，
当
时，则
，可得
，
构建
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得
，
即
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
又因为
，且
，
所以
，即
.
故选：D.
5（2025 黑龙江 ）（多选）下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由于
，所以
，故
，A 不正确，
设
，则
，
当
时，
，此时
单调递减，当
时，
，此时
单调递增，
因此
，即
，故B 正确，
，C 正确，
由于
所以
，
，故D 错误，故选：B
考向七 单调性的应用二---解不等式
【例7-1】（2025 河北）已知函数
，则不等式
的解集是______.
【答案】
【解析】因为函数
，所以
，即函数
为奇函数，
且
，则函数
为增函数，则不等式
等价于
，即
，解得
，所以不等式的解集为
.
故答案为：
【例7-2】（2025·广东深圳）已知函数
，
，若
，则实数
的取值范围为______．
【答案】
【解析】由
，
函数
是定义在
上的偶函数，又
，
令
且
，则
，故
在
上递增，
所以
，即
在
上恒成立，所以
在
上恒成立，
所以
在
上递增，则
上递减，
，则
，
，即
，即
，
在
上单调递增，
，即
，解得
．故答案为：
．
【一隅三反】
1. （24-25 河北保定）已知函数
，
，若
，则
的取值范围为
【答案】
【解析】
，得
，
所以
，
，
，所以函数
在
单调递
增，所以
，即
，即
，
即
，且
，得
且
.
2.（2025 福建）已知函数
满足
，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数
，可得函数
的定义域为
，
且
，
所以函数
在区间
上为单调递增函数，
又由不等式
，可得
，即
，
解得
或
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
3（2025 甘肃）已知函数
，若
，则实数t 的取值范围
【答案】
【解析】根据题意，
，其定义域为
，
，则
为奇函数，
，则
在
上为增函数，
由
得
，则
，
则
，解得
4.（2025 山东）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是
【答案】
【解析】
，故
为偶函数，
当
时，
，故
在
上为增函数.
综上
为偶函数，且在
上为增函数.故
可得
.
即
，解得
或
考向八 导函数模型比大小解不等式
【例8-1】（23-24 广东东莞·阶段练习）已知
为函数
的导函数，当
时，有
恒
成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
因为当
时，有
恒成立，
所以当
时，
，
即
在
上单调递减，
所以
，即
，即
，A 错误，B 正确，
，即
，即
，CD 错误.
故选：B.
【例8-2】（24-25 安徽省）已知定义域为
的函数
满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，所以
在
上单调递减，
因为
，所以不等式
可变为
，
即
，所以
，即
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
【一隅三反】
1.（24-25 重庆）已知
为定义在
上的奇函数，
，且当
时，有
，则使
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
， 当
时，
，
所以，函数
在
上为增函数，且
，
故当
时，
，得
，
当
时，
，得
，
又
为定义在
上的奇函数，
故由
可解得
或
，
故选：B
2（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，则
在
上单调递增，
对于A，
，化简得
，错；
对于B，
，化简得
，错；
对于C，
，化简得
，对；
对于D，
，化简得
，错.
故选：C
3（2024·吉林长春·一模）已知定义在
上的函数
是
的导函数，满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
因为
，
，所以
，可得
在
上单调递减，
不等式
，即
，即
，所以
，
因为
在
上单调递减，所以
，解得：
，
所以不等式的解集为：
，
故选：D
4.（2024·吉林·模拟预测）定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
的定义域为
，且
，
因为
，即
，注意到
，可得
，
可知
在定义域
内单调递增，且
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
；
所以不等式
的解集为
.故选：B.
考向九 含参函数单调性的分类讨论
【例9-1】（24-25 高三上·安徽安庆·期末）已知函数
，
，
为函数
的导函数，讨
论函数
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为
，且定义域为
，
所以
，令
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，令
，得到
，令
，得到
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递增；
当
时
在
上单调递减，在
上单调递增．
【例9-2】（24-25 高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)试讨论
的单调性．
【答案】(1)
.(2)见解析
【解析】（1）当
，
，
所以
，
所以
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）因为
，
所以
.
当
时，
，令
，得
，
令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，令
，解得
或
.
当
时，
，所以
在
上单调递增.
当
时，
，令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，
，令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
【例9-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.讨论
的单调性.
【答案】答案见解析.
【解析】由题意，
的定义域为
，
因为
，且
，
当
时，
时
，
时
，
所以，
在
上单调递减，
在
上单调递增；
当
时，
时
，
时
，
时
，
所以，
在
、
上单调递增，
在
上单调递减；
当
时，
时
恒成立，故
在
上单调递增；
当
时，
时
，
时
，
时
，
所以，
在
、
上单调递增，
在
上单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增；
当
时，
在
、
上单调递增,
在
上单调递减；
当
时,
在
上单调递增；
当
时，
在
、
上单调递增，
在
上单调递减.
【例9-4】（2025 陕西）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，所以
，
所以
，又
，所以函数
在
处的切线方程为
，即
.
（2）
的定义域是
，
，
，
令
，则
．
①当
或
，即
时，
恒成立，所以
在
上单调递增．
②当
，即
时，由
，得
或
；
由
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减
【一隅三反】
1.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为
，定义域为
，求得
，
所以，当
时，
成立，此时
在
上单调递减；
当
时，
，
，
在
上单调递减；
，
，
在
上单调递增．
综上：当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上单调
递增．
2.（24-25 高三下·四川内江·阶段练习）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】由题意知
的定义域为
，
，
①若
，
恒成立，所以
在
上单调递减.
②若
，由
，得
，
所以
当时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
3.（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，则
，
从而
，
，
故所求切线方程为
，即
（或
）.
（2）由题意可得
.
当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
恒成立，则
在
上单调递增；
当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，则
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
4.（2025·山西晋中·模拟预测）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】
的定义域为
，
因为
，且
，
当
时，
时
，
时
，
所以，
在
上单调递减，
在
上单调递增；
当
时，
时
，
时
，
时
，
所以，
在
、
上分别单调递增，
在
上单调递减；
当
时，
时
恒成立，故
在
上单调递增；
当
时，
时
，
时
，
时
，
所以，
在
、
上分别单调递增，
在
上单调递减.
5.（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，讨论函数
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
的定义域为
，
，
①当
时，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，令
，得
或
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
③当
时，则
，所以在
上
单调递增；
④当
时，令
，得
或
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调选减；
综上所述，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
6.（2025 北京）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
的定义域为R，
，
，对于
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，由
得
，
当
和
时，
，
当
时，
，
在
单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，
在
上单增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；.
