文档文本内容
3.4 导数的综合应用（精练题组版）
题组一 判断零点的个数
1．（2025·辽宁·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
在区间
上的单调性；
(2)证明：函数
在
上有两个零点．
2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
在
上有
个零点，求
的取值范围.
3．（2024 山东日照·阶段练习）已知函数
．
（1）若
讨论
的单调性；
（2）当
时，讨论函数
的极值点个数．
4．（24-25·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的极值点个数．
5．（2025·湖南郴州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，求
在
上的最小值；
(3)当
时，讨论
的零点个数.
6．（2025·山东·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)判断函数
的零点个数并说明理由；
(3)若对于
，曲线
与曲线
有且仅有一个交点，求
的取值范围.
7．（2025·山东·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在区间
上的最值；
(2)讨论
的零点个数．
题组二 已知零点个数求参数
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求证：
最大值小于
；
(2)若
有两个零点，求实数k 的取值范围.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
且函数
在
上没有零点，求实数a 的取值范围．
3．（23-24 云南昆明·阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
，若
存在零点，求实数
的取值范围．
4．（2025·山东临沂·一模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在
上恰有两个零点，求
的取值范围.
5．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有2 个零点，求实数
的取值范围.
6．（2025·广西 ）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围.
7．（2025·河南开封·二模）已知函数
，
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
有唯一的零点，求
的值．
8．（2025·山东日照·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若方程
有3 个不同的实数解，求a 的取值范围．
9．（2025·江西萍乡·二模）已知函数
．
(1)证明：函数
有且只有一个极值点；
(2)若关于
的方程
在区间
上恰有两个实数根，求实数
的取值范围．
10．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的图象在
处的切线方程；
(2)设
，若
在区间
上有且只有两个零点，求
的取值范围.
题组三 恒（能）成立求参数
1．（2025·吉林长春）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
在
上有解，求实数a 的取值范围.
2．（2025·河北保定·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若关于
的不等式
有实数解，求
的取值范围.
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
4．（24-25 广东广州·阶段练习）已知函数
，
.
(1)当
时，求
的极值点；
(2)讨论
的单调性；
(3)若函数
在
上恒小于0，求a 的取值范围.
5．（2025·四川自贡·二模）已知函数
，
.
(1)若
存在极小值，且极小值为
，求
；
(2)若
，求
的取值范围.
6 ．（2025·陕西渭南·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围.
(3)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
7．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，
(1)当
时，讨论
的单调性;
(2)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
题组四 隐零点
1.（2024·广东深圳）已知函数
.
（1）求函数
在
上的零点之和；
（2）证明：
在
上只有1 个极值点.
2．（2024·江苏宿迁）已知函数
(1)若
求
的极值；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知
，函数
.
(1)若
是增函数，求
的取值范围；
(2)证明：当
，且
时，存在三条直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
4．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程.
(2)证明：
无极值.
(3)若
对任意
恒成立，求
的取值范围.
5．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
题组五 不等式的证明
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
的最小值；
(3)当
时，证明：
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）设函数
，
．
(1)当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)当
，
时，求证：
．
3．（2025·河南·二模）已知
，且曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)设
的导函数为
，求
的单调区间；
(3)证明：当
时，
.
4．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，且
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
.
题组六 极值点偏移
1．（2025·广东佛山·一模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，讨论关于
的方程
的实根个数；
(2)当
时，证明：对于任意的实数
，都有
．
2．（24-25 内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数
，
为实数.
(1)当
时，求函数在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若函数
在
处取得极值，
是函数
的导函数，且
，
，证明：
.
3．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）已知函数
，
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
有两个实数解
，
，证明：
.
4．（2025·山西临汾·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)当
时，设
的两个零点为
，求证：
.
5．（2025·河南·二模）已知函数
.
(1)当
时，若不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，
，且
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
题组七 放缩法证明不等式
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列
的首项
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：
.
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值;
(2)对于任意的正整数
(
)
ⅰ不等式
恒成立，求整数M 的最小值;
(
)
ⅱ证明：
为自然对数的底数
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
.
4．（2025·天津红桥·一模）已知函数
，
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数a 的取值范围；
(3)已知
，证明：
．
5．（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数
，
当
时，
.已知函数
，
.
(1)证明：
在区间
上单调递减；
(2)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)
，证明：
（附：
）.
6．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数
，
．
(1)证明：
有唯一零点；
(2)记
的零点为
．
（i）数列
中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明：
．
