文档内容
9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 定点
【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，C的四个顶点围成的四
边形面积为 ．
（1）求C的方程；
（2）已知点 ，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且 ，证明：l过定点．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由离心率为 ，得 ，①
C的四个顶点围成的四边形面积为 ．②
由①②可得 ， ，
C的方程为 ．
（2）解：由 ，得 ．
因为Q不在l上，所以 ， 都不是零向量，故 ，
由题意可知l的斜率一定存在．
设l的方程为 ， ， ．
联立方程组得 ，消去y并整理得 ，由 ，得 ．
所以 ， ．
因为 ，
即
，
整理得 ，
因为 ，所以 ．
当 时，满足 ，此时直线l的方程为 ，
所以直线l过定点 ．
【一隅三反】
1．（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ， ，上下
顶点分别为 ， ，四边形 的面积为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过点 的直线l交椭圆于P，Q两点，直线 和直线 的斜率之和为2，证明：直线l恒过定
点．
【答案】（1） （2）【解析】（1）解：由题意可得 ， ，即 ，又
，解得 ， ， ，
则椭圆的方程为 ；
（2）证明：由（1）可得 ，
①当直线 的斜率存在时，设 ， ， ，
由 ，所以 ，
又 ， 代入整理得 ，
由 消去 整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
整理得 ，
当 时，直线 过 ，不符合题意，
所以 ，即 ，
故直线 的方程为 ，符合题意，
故恒过点 ；②当直线 的斜率不存在时，设 ， ，由 ，解得 ，
即直线 的方程为 ，必过定点 ，
综上可得，直线 恒过定点 ；
2．（2022·南开模拟）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为 的椭圆经过点 ，动点A，B
（不与点M重合）均在椭圆上，且直线 与 的斜率之和为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：设椭圆 ，
由离心率为 ，得 ，
又因为 ，
所以 ．
由 在椭圆上可得 ，
解得 ， ．
所以椭圆 的方程为
（2）证明：当直线 与x轴垂直时，设 ，则 ．由题意得： ，即 ．所以直线 的方程为 ．
当直线 不与x轴垂直时，可设直线 为 ， ， ，
将 代入 得 ，
所以 ， ．
由已知可得 ①，
将 和 代入①，
并整理得 ②，
将 ， 代入②，
并整理得 ，可得 ，
因为直线 不经过点 ，
所以 ，故 ．
所以直线 的方程为 ，经过定点 ．
综上所述，直线 经过定点 ．
考点二 定值
【例2】（2022·柳州模拟）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线
的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）解：Q（x，y），由题意，得 ，
化简得 ，所以Q的轨迹方程C为
法二：定义法依题意Q（x，y）到F（0，1）的距离与Q（x，y）到直线y＝－1的距离相等，由抛物线定
义知Q的
轨迹方程C为以F（0，1）为焦点以 为准线的抛物线
所以Q的轨迹方程C为
（2）证明：不妨设 ，因为 ，所以 ，
从而直线PA的斜率为 ，解得 ，即A（2，1），
又F（0，1），所以 轴．要使 ，只需
设直线m的方程为 ，代入 并整理，得 ．
首先， ，解得 或 ．
其次，设M（ ， ），N（ ， ），则
故存在直线m，使得 ，此时直线m的斜率的取值范围为
【一隅三反】
1．（2022·泰安模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，四个顶点组成的菱形
面积为 ，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过 上任意点P做 的切线l与椭圆E交于点M，N，求证 为定
值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由题意得 ， ，
可得 ，b＝2，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）证明：当切线l的斜率不存在时，其方程为 ，
当 时，将 代入椭圆方程 得 ，
∴ ， ， ，∴
当 时，同理可得 ，
当切线l的斜率存在时，设l的方程为 ， ， ，
因为l与 相切，所以 ，所以
由 ，得 ，
∴ ，
，∴ ，
∴ 或
∴
∴ 综上， 为定值 ．
2．（2022高三上·广州月考）已知双曲线 ，经过双曲线 上的点 作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线 于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、
OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点A作 （D为垂足），请问：是否存在定点E，使得 为定值？若存在，求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：设 、 ，线段AM、AN的中点分别为 、 ，
由已知，得 ； ，
两式相减，得 ，即 ①
根据中点坐标及斜率公式，得
， ， ， ．代入①，
得 ② 同理，得 ③，②③相乘，得 ．
∵ ， ，∴ ④
由 ，与④联立，得 ， ，
双曲线 的方程为： .
（2）解：①当 时，设 ， ， ， ，由AM、AN互相垂直，得 ，
由 解得 （此时 无实数解，故舍去），或 （此时M、N至少一个点与A重合，与条
件不符，故舍去）．综上，此时无符合条件的解．
②当 不成立时，设直线 ， 、 ，代入 得
， ，
且 ， ，
（*）
∵
∴（*）代入，得 即 ， 或
．
当 时， 过点 ，与条件不符，舍去．
∴ ， ，过定点 ，
∴AP中点 ，由于 （D为垂足），故 ．
综上所述，存在定点 ，使得 为定值 ．
考点三 最值
【例3】（2022高三上·湖北开学考）抛物线 的焦点为 ，准线为 A为C上的一点，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点，
（1）若 的面积为 ，求 的值及圆 的方程
（2）若直线 与抛物线C交于P，Q两点，且 ，准线 与y轴交于点S，点S关于直
线PQ的对称点为T，求 |的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由对称性可知： ，设 ，由焦半径可得：
， ，解得： 圆 的方
程为：
（2）解：由题意得：直线 的斜率一定存在，其中 ，设 关于直线 的对称点p
{ n+ b+p
2 1 { m=−
=− 1
m k k+
为 ，则 ，解得： k ，联立 与 得：
p
n− b+p p
2 m n= −
=k⋅ +b k2+1 2
2 2
，设 ，则 ，则
，则
，解得： （此时O与P或Q重合，舍去）或 ，
所以 ，
【一隅三反】
1．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）设 是椭圆上一点， ，则
故|PQ|的最大值是 .
（Ⅱ）设直线 ，直线与椭圆联立，得 ，
设 ，故
，与 交于C，则 ，
同理可得， .
则等号在 时取到.
2．（2022·鹤壁模拟）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在圆 上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（ 与PN的斜率
均存在），求△OMN面积的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意得， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
则椭圆C的标准方程为 ；
（2）解：设 ， ， ， ，再设 ，
联立 ，得 ，
由 ，得 ，此方程的判别式
则 ， ，即 ，
同理 ，
设 ， ， 在直线 ， 上，
即 ， ，
直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立，可得 ，
， ，
当 时， 且 ，
，
到 的距离 ，
，
令 ，则 ，则 ，结合对勾函数的性质可知，
在 递减，在 时递增，
故 ，而 ，故 ，；
当 时 ， ，故 方程为： ， ，则 ，
∴综上所述， ．
3．（2022·浙江模拟）如图，已知抛物线 和点 ，点P到抛物线C的准线的
距离为6．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点P作直线 交抛物线C于A，B两点，M为线段 的中点，点Q为抛物线C上的一点且始
终满足 ，过点Q作直线 交抛物线C于另一点D，N为线段 的中点，F为抛物线
C的焦点，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值．
【答案】见解析【解析】（1）解：由题知 ，解得 ，
所以抛物线C的标准方程为
（2）解：当 不经过点Q时， 等价于 ，
即 ．
因为 分别交C于A，B两点，
所以 不平行于x轴，
设 ， ， ， ，
联立 与C方程，得 ，
且 ，
由韦达定理，得 ， ，
又 ，
同理 ，
所以 ，
所以 ，
代入整理得 ，
要使该式恒成立，则 ，解得 ，又经检验，当 经过点Q时， 仍然成立，
所以存在定点 使得 ；
因为 分别交C于A，B两点，
所以 不平行于x轴，且 ，
又因为 ，设 ， ，
联立 与C方程，得 ，
且 ，所以 ；
因为N为 中点，所以 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，当 时取到等号，
所以折线 围成面积的最小值为2，
即 最小值为2．
