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3.1.2 椭圆
思维导图常见考法
考点一 点与椭圆的位置关系
【例1】已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
【答案】 ∪
【解析】 依题意得，＋>1，解得k<－或k>.
【一隅三反】
1.已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
【答案】 9
【解析】 依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋
≥5＋2＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.
考点二 直线与椭圆的位置关系
【例2-1】（2020·上海高二课时练习） 为何值时，直线 和曲线 有两个公共点?
有一个公共点?没有公共点?
【答案】见解析
【解析】由 ，得 ，即
当 ，即 时，直线和曲线有两个公共点；当 ，即 时，直线和曲线有一个公共点；
当 ，即 时，直线和曲线没有公共点．
【例2-2】（2020·吉林长春.高二月考）直线 与椭圆 的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
【解析】由题意，直线 ，可得直线恒过点 ，
又由 ，所以点 在椭圆 的内部，
所以直线 与椭圆 相交于不同的两点，故选B．
对于含有一个参数的直线方程，往往是过定点的，找到这个定点后，只需要这个定点在椭圆内或是椭圆
上即可，也即是 .
【一隅三反】
1．（2019·全国高二课时练习）直线 与椭圆 恒有两个公共点，则m的取值范
围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】已知直线y＝kx＋1与椭圆 联立方程组可化为（m+5k2）x2+10kx+5-5m=0，要使得直线 与椭圆 恒有两个公共点，
则△=100k2-4（m+5k2）（5-5m）=20[m2-（1-5k2）m]＞0，m＞0，m≠5．
∴m＞1-5k2，m＞0，m≠5，又k∈R，∴m＞1，且m≠5．
∴m的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）故选C
2．（2020·全国高三课时练习（理））(2018·兰州一模)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)
恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
【答案】A
【解析】∵直线方程为 ∴直线恒过定点
∵曲线 的方程为 ∴曲线 表示椭圆
∵直线 与曲线 ： 恒有公共点
∴点 在椭圆内或椭圆上，即 .∴
故选A.
3.直线y＝x＋m与椭圆 有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－ ，或m＞
C．m＜ D．－ ＜m＜
【答案】D
【解析】由 ，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，
结合题意△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，
解得：－ ＜m＜ ，故选：D．考点三 弦长
x2 y2 3
【例3】（2020·云南省泸西县第一中学高二期中（文））已知椭圆 + =1及直线l：y= x+m
4 9 2
（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）当m=3时，求直线l被椭圆截得的弦长
【答案】（1）[-3❑√2,3❑√2]；（2）❑√13.
【解析】（1）由¿消去y，并整理得9x2+6mx+2m2-18=0……①
Δ=36m2-36(2m2-18)=-36(m2-18)
∵直线l与椭圆有公共点
∴Δ≥0，可解得：-3❑√2≤m≤3❑√2
故所求实数m的取值范围为[-3❑√2,3❑√2]
（2）设直线l与椭圆的交点为A(x ,y )，B(x ,y )
1 1 2 2
2m 2m2-18
由①得： x +x =- ， x x =
1 2 3 1 2 9
∴|AB|=❑√1+k2 ⋅❑√(x +x ) 2-4x x =❑ √ 1+ (3) 2 ⋅❑ √ ( - 6m) 2 -4× 2m2-18 = ❑√13 ⋅❑√-m2+18
1 2 1 2 2 9 9 3
当m=3时，直线l被椭圆截得的弦长为❑√13
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆C： 的焦距为 ，短半轴的长为2，过
点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】(1)已知椭圆焦距为 ，短半轴的长为2，即2c=4 ，b=2，结合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2
故C： .
(2)已知直线l过点P(－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，
直线方程与椭圆方程联立
得 . 设 ， ．
∴
∴
2．（2020·全国高二课时练习）斜率为1的直线与椭圆 相交于 两点，则 的最大值为
__________.
【答案】
【解析】
斜率是1的直线L:y=x+b代入 ,化简得 ，
设 ,则 ，且 ，解得 .
，∴b=0时,|AB|的最大值为 ，故答案为: .
考点四 点差法
【例4】（1）（2020·上海高二课时练习）直线 与圆 相交于两点 ， ，
弦 的中点为 ，则直线 的方程为__________．
（2）（2020·全国高二课时练习）已知椭圆E： ， 的右焦点为 ，过点F的直
线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为 ，则E的方程为__________.
（3）直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于 ，则
椭圆的离心率等于_________.
【答案】（1） .（2） （3）
【解析】（1）设圆心 ，直线 的斜率为 ，弦AB的中点为 ， 的斜率为 ， 则
，所以 由点斜式得 ．
（2）已知 ，设 ， ，则 ①， ②，
已知AB的中点坐标为 ， ，
①－②得 ，
∴ ，∵ ，∴ ，即 ，
又 ，
∴ ， ，即E的方程为 .
（3）设A(x，y)，B(x，y)，AB的中点为M(x，y)，x＝－ ，代入y＝x＋1得y＝ .
1 1 2 2 0 0 0 0
所以m x 2＋n y 2＝1，（1）m x 2＋n y 2＝1，（2）
1 1 2 2
由（1）-（2）得： ，
，∴ ，
∴e2 ，∴e＝ .故答案为： .
【一隅三反】
1．（2020·上海高二课时练习）如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是
________
【答案】 y=-0.5x+4
【解析】设弦为 ，且 ，代入椭圆方程得 ，两式作差并化
简得 ，即弦的斜率为 ，由点斜式得 ，化简得
.2．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为 +y2=1,则过点 且被P平分的弦所
在直线的方程为________.
【答案】
【解析】设这条弦与椭圆 交于点 ，
由中点坐标公式知 ,
把 代入 ,
作差整理得 ，
这条弦所在的直线方程为 ，
即 ，故答案为 .
3．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P，P 两点，线段PP 中点为P，设直线l的斜率为
1 2 1 2
k(k≠0)，直线OP的斜率为k(O为原点)，则k·k 的值为________.
1 1 2 1 2
【答案】－
【解析】设直线 的方程为： ，由 ，整理得
： ，所以 ， ，
所以 ，所以， ，所以
4．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为 的直线l被椭圆 截得的
弦恰被点 平分，则 的离心率是______．
【答案】 .
【解析】设直线l与椭圆的交点为
因为弦恰被点 平分，所以
由 ，两式相减可得：
化简可得： ，因为直线l的斜率为 ，所以
即 所以离心率 故答案为
5．（2018·河南高二月考（文））已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，过点 的直线
交椭圆交于 ， 两点，若 的中点 ，且直线 的倾斜角为 ，则此椭圆的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】∵ ，∴ ，令 ， ，则 ，
∴ ， ，∴ ， .故选A.
