文档内容
1.6 完全平方公式
第1课时 完全平方公式的认识
教学内容 第 1 课时 等腰三角形的性质 课时 1
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力.
核心素养 2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算.
目标
3.了解(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2的几何背景，发展几何直观.
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点；
知识目标 2.会运用公式进行简单的运算；
教学重点 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.
教学难点 会运用公式进行简单的运算.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？ 设计意图：本堂课的学习
方向仍是引导鼓励学生通
过已学习的知识经过个人
思考、小组合作等方式推
导出本课新知，进一步发
展学生的符号感和推理能
力.而这个过程离不开旧
平方差公式：(a + b)(a－b) = a2－b2 知识的铺垫，平方差公式
的学习有很多教学环节和
2.公式的结构特点：
形式与本节的学习是类似
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两
的，其中包含的基本知识
数差的积；右边是两数的平方差.
与基本能力也仍是本节的
精神主旨，因而复习很有
师生活动：学生举手回答问题.
必要.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质 设计意图：完全平方公式
合作探究 是多项式乘多项式运算的
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现? 直接结果，是多项式乘多
(1) (m + 3)2 项式运算的一种特殊情
= (m + 3)(m + 3) 况.
= m2 + 3m + 3m + 9 这两个具有相同特征的等
= m2 + 2×3m + 9 式，即(a＋b)2 = a2 +
= m2 + 6m + 9. 2ab + b2的形式，与引人
(2) (2 + 3x)2 平方差公式的想法一样，
= (2 + 3x)(2 + 3x) 让学生观察等式的特点，
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2 通过对比等式两边代数式
= 4 + 2×2×3x + 9x2 的结构，得到一般性的结
= 4 + 12x + 9x2. 论.
发现：(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2 . 再让学生自己举例加深对
公式的体会.
想一想：
你能根据图中的面积解释完全平方公式吗? 设计意图：几何直观的方
法对(a＋b)2 = a2 + 2ab
+ b2进行解释，不仅使学
生更清晰地“看到”公式
的结构，同时感受这样的
抽象代数运算也有直观的
1背景.
设计意图：议一议是让学
生从代数运算的角度，推
导出两数差的完全平方公
式，培养学生有条理的思
和的完全平方公式：(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2
考和语言表达能力.
议一议
(a－b)2 = ？你是怎样做的？
答案：(1) (a－b)2 = (a－b)(a－b)= a2－2ab＋b2
(2) (a－b)2 = [a＋(－b)]2= a2＋2a(－b)＋(－b)2=
a2－2ab＋b2
发现：(a－b)2 = a 2 － 2 ab + b 2 .
师生活动：教学中可以先让学生自己计算并比较 设计意图：做一做使学生
结果与方法，方法1与法2依教学需要而呈现， 再次从几何的角度来验证
如教学中已出现这两种方法，则不必重复. 两数差的完全平方公式.
从而学生经历了几何解释
到代数运算，再到几何解
做一做
释的过程，学生的数形结
(a－b)2 = a2－2ab + b2
合意识得以培养，并且从
请你设计一个图形解释这一公式.
不同的角度推导出了公
式，并且加以巩固.
(a − b)2 = a2 − ab − b(a − b) = a2－2ab + b2
师：播放PPT——验证平方差公式，展示图形拼
接过程.
生：
1. 认真观察教师所展示的图片拼接过程；
2. 独立思考并完成问题； 设计意图：知识要点是在
3. 同桌间交流，积极举手发言. 前面的基础上，加以总
结，使得学生从形式上初
步地认识了完全平方公
知识要点
式. .
完全平方公式
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方
和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公
式叫做完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中间”
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
23. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符
号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多
项式.
典例精析
例1 利用完全平方公式计算：
设计意图： 理解公式的
(1) (2x－3)2； 结构特征， a和b可以表
示什么？经过思考和讨论
让学生探宄并建构自己的
知识结构和能力结构，老
师再适当引导和精讲，使
全体学生真正理解和的完
全平方公式的结构特征.
(2) (4x＋5y)2；
(3) (mn－a)2.
解：(3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2•mn•a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
师生活动：采用先独立完成，再小组合作探究学
习.
想一想
思考：(a + b)2 与 (－a－b)2 相等吗? 设计意图： 通过符号不
(a－b)2 与 (b－a)2 相等吗? 同的完全平方形式，进一
(a－b)2 与 a2－b2 相等吗? 为什么? 步理解完全平方公式. 同
解：(－a－b)2 = (－a)2－2·(－a)·b + b2 = a2 + 时让学生体会两数差的完
全平方与平方差之间的区
三、当堂 2ab + b2 = (a + b)2.
别.
练习，巩 (b－a)2 = b2－2ba + a2 = a2－2ab + b2 = (a－
固所学 b)2.
(a－b)2 与 a2－b2 不一定相等，
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a－b)2 = a2－b2.
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平
方式，求 m 的值．
方法总结：两数的平方和
解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2
加上或减去它们积的 2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
倍，就构成了一个完全平
∴ (m＋1)xy＝±2·6x·5y.
方式．注意积的 2 倍的
∴ m＋1＝±60.
符号，避免漏解．
∴ m＝59或－61.
师生活动：学生独立思考，学生代表讲述思路，
教师整理板书并引导学生总结：
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2
倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的
符号，避免漏解．
三、当堂练习，巩固所学
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果
应当怎样改正？
设计意图：巩固对完全平
(1) (x + y)2 = x2 + y2；
方公式的理解和加强公式
(2) (x－y)2 = x2－y2；
的运用.
3(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2；
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2.
2. 运用完全平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2；
(2) (4x－3y)2；
(3) (2m－1)2；
(4) (－2m－1)2.
1.6.1完全平方公式的认识
完全平方公式
板书设计 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .
简记为：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中间”
课后小结
本节课是整式一章中是个重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便
运算. 学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度. 在教学
过程中，应注重引导学生归纳公式的等号两边的结构特征，特别注意让学生
用自己的语言描述公式的结构特征，同时引导学生在运用公式过程中容易出
教学反思
现的问题和注意的细节，比如二倍乘积在中央的时候，符号问题. 然后再通过
逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用. 为完全平方公式第二节
课的实际应用和提高应用做好充分的准备.
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