文档文本内容
3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理...............................................................................................................................3
知识点一、导数定义与几何意义........................................................................................................3
知识点二、导数的计算........................................................................................................................3
方法总结1：切线问题.........................................................................................................................4
03 真题回顾...........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结...........................................................................................................................8
题型一：导数的运算求解....................................................................................................................8
题型二：曲线切线方程的求解............................................................................................................9
题型三：以值代参法解决切线问题..................................................................................................10
题型四：借助切线模型求解距离最值..............................................................................................10
题型五：曲线切线条数的判定.......................................................................................................... 11
题型六：切线背景下的弦长问题......................................................................................................12
题型七：曲线间的公切线问题..........................................................................................................12
题型八：切线相关的新定义问题......................................................................................................13
05 课后拓展精练.................................................................................................................................15
知识点一、导数定义与几何意义
1、①函数
从
到
的平均变化率为：
.
变式：
.
②函数
在
处附近的平均变化率为：
.
③平均变化率的几何意义：割线的斜率；
平均变化率的物理意义：平均速度（将
视为作直线运动时位移
关于时间的函数）.
2、函数
在
处的瞬时变化率（导数）：
.
几何意义：切线的斜率；
物理意义：瞬时速度（将
视为作直线运动时位移
关于时间的函数）.
变式：
①
，②
，③
3、导数的几何意义：函数
在
处的导数
就是曲线
上的点
处切线
的斜率
即
，因此切线方程是：
.
知识点二、导数的计算
1、基本初等函数的导数公式：①若
，则
，简记为
为常数)
②若
，则
，简记为
③若
，则
，简记为
④若
，则
，简记为
⑤若
，则
，简记为
⑥若
，则
，简记为
⑦若
，则
，简记为
⑧若
，则
，简记为
2、和差积商法则：①
；②
；
③
；④
．
3、复合函数的求导法则：
复合函数
的导数与函数
，
的导数间的关系是
方法总结1：切线问题
(1)在某点的切线方程
思路：函数
在点
处的切线方程为：
，关键
(2)过某点的切线方程
思路：设切点为
，则斜率
过切点的切线方程为
，又因为切线方程过点
所以
然后解出
的值带入切线方程即可．（
有几个值，就有几条切线）
过点
与在点
处的区别
在点
处的切线指的是
为切点的切线．
过点
的切线是指切线过点
，点
是否切点均可，切线可多条．
(3)公切线问题
若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，求公切线
思路：设直线
与
和
的切点分别为
和
，
写切线
，
，
化斜截：
，
斜率相等，截距相等：
两个方程解两个未知数，解出
，
带入所写切线即可．
(4)切线求参
①已知切线的斜率，则由
，可求出切点坐标．
②若
在点
处的切线过点
，则
．
③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法．
1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）设函数
，则曲线
在点
处的切
线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2021 年全国新高考I 卷数学试题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则
l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
5．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数
的图像在点
处的切
线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026 年高考上海卷数学高考真题（网络 收集版））已知三角函数
（
，
，
，
），若
，当
或
时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达
到4 时用时为0.1 秒，则
__________．
7．（2025 年高考全国一卷数学真题）若直线
是曲线
的一条切线，则
_________.
8．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切
线，则
__________.
9．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
10．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________．
11．（2021 年全国新高考II 卷数学试题）已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是
_______．
12．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线
在点
处的切线方程为__________．
13．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线
的一条切线的斜率为2，
则该切线的方程为______________.
14．（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
，曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
题型一：导数的运算求解
【典例1-1】（2026·高三·上海·阶段检测）已知
，则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【典例1-2】求下列函数的导函数．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【变式1-1】求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
(3)
(4)
；
(5)
；
(6)
【变式1-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，则函数
的表达式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数
的图象如图所示，若
，则下列数值排序
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-4】已知函数
满足
，则
在
的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-5】已知数列
中，
，若函数
的导
数为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
题型二：曲线切线方程的求解
【典例2-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知函数
，则曲线
在
处
的切线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】过点
与曲线
相切的直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】过点
的直线与曲线
相切，则直线的斜率为（ ）
A．1
B．-1
C．3 或1
D．3 或
【变式2-3】（2026·辽宁朝阳·二模）函数
在
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：以值代参法解决切线问题
【典例3-1】若曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3-2】已知不等式
在
上恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】函数
在
处的切线方程为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式3-2】若直线
与曲线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【变式3-3】已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-4】（2026·陕西西安·模拟预测）若直线
是曲线
的切线，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
题型四：借助切线模型求解距离最值
【典例4-1】点
为曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【典例4-2】若实数a、b、c、d 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【变式4-1】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，
，
（其中是自然对数的底数），则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知A，B 分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点
，
，定义
为
A，B 的“镜像距离”.若点A，B 在曲线
上，且
的最小值为2，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：曲线切线条数的判定
【典例5-1】已知函数
，若过点
可作曲线
的3 条不同切线，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5-2】若过
可作曲线
的三条切线，切点的横坐标分别为
，
，
，则的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】已知函数
，过原点作函数
的切线，则可作的切线条数为（ ）
A．无数条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
【变式5-2】（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知函数
，若对任意
，过点
均仅
可作曲线
的一条切线，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式5-3】若曲线
（其中e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【变式5-4】若过点
可以作函数
的三条不同的切线，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：切线背景下的弦长问题
【典例6-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数
，
，
，
（点
在直线
下方），过点
作
直线
，垂足为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6-2】过点
作抛物线
的两条切线，切点分别为
，则直线
在
轴上的截距为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式6-1】（2026·高三·重庆·开学考试）已知函数
，若直线
与
的图象分别交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【变式6-2】（2026·高三·江苏·开学考试）若直线与曲线
相切于点
，与曲线
相切于点
，若
，则线段
的长度为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式6-3】（2026·广西南宁·三模）过点
的直线l 与曲线
相切于点B，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
题型七：曲线间的公切线问题
【典例7-1】若函数
的图象在点
处的切线恰好与函数
的图象切于
点
，则
________________．
【典例7-2】若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
_____
【变式7-1】已知两函数
，
的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a 的值为
______．
【变式7-2】已知曲线
：
，
：
，若有且仅有一条直线同时与
，
都相切，则
______．
【变式7-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线
和
有两条公切线，其中
一条为直线
，则另外一条公切线的方程为________．
【变式7-4】（2026·河南·模拟预测）已知直线l 与曲线
和
都相切，则直线l 的方程为_________．
【变式7-5】若曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，则
__________．
【变式7-6】（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线
与曲线
有两条公切线，则
的取值
范围为______．
题型八：切线相关的新定义问题
【典例8-1】牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程
求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程
的根，选取
作为的初始近似
值.过点
作曲线
在
处的切线，切线方程为，当
且
时，称
与
轴的交点的横坐标
是的一次近似值；过点
作曲线
在
处的切线，切
线方程为
，当
且
时，称
与
轴的交点的横坐标
是的两次近似值；重复以上过程，
得到的近似值序列
.这就是所谓的“牛顿迭代法”.
（1）当
时，的
次近似值
与
次近似值
可建立等式关系：
__________；
（2）若取
作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程
正实根的两次近似值为
__________（用分数表示）.
【典例8-2】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流
数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数
的
一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在点
处作曲线
的切线，设与
轴交
于点
，并称
为的1 次近似值；在点
处作曲线
的切线
，设
与
轴交于
点
，称
为的2 次近似值.一般地，在点
处作曲线
的切线
，记
与
轴交于点
，并称
为的
次近似值.若函数
，取
作为的初
始近似值，则的2 次近似值为______.
【变式8-1】在计算机科学中，闵氏距离是机器学习算法的基础，常用于测量数据点之间的相似性或差异
性．设两组数据分别为
和
，则这两组数据间的闵氏距离为
，其中
表示阶数．若
，
，
，则
的最小值为
______．
【变式8-2】（2026·山西·模拟预测）已知点
，
，定义
为
的
“镜像距离”，若点
在曲线
上，则
的“镜像距离”的最小值为______.
1．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数
在点
处的切线与直线
平行，则
该切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知直线l 是曲线
在
处的切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
．若曲线
在
处的切线经过点
，
则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线
和曲线
的切线，则斜率的
最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．已知函数
，若函数
在区间
上单调递增，且曲线
在区间
上任意
一点处的切线斜率均不大于2，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线
在
处的切线经过点
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2026·湖南·模拟预测）已知直线
与曲线
相切，则实数b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若曲线
在
处的切线方程为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
的定义域为
，
，当
时，
，则曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
10．（多选题）设函数
，则（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．直线
是曲线
的对称轴
C．直线
是曲线
的切线
D．
有三个零点
11．（多选题）（2026·广东茂名·二模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法
——牛顿法．具体步骤如下：设是函数
的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在横坐标
为
的点处作曲线
的切线，直线与
轴交点的横坐标为
；用
代替
重复上面过程得到
；一
直进行下去，得到
，
，
，
，当
足够小时，我们可以把
的值作为函数
零点的近似
值．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线
的方程为
C．
D．设
，
，则
12．（2026·山东聊城·二模）已知函数
，若
为偶函数，则
在
处的切线方程
为_________.
13．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数
的图象在
处的切线过点
，则
_____________．
14．（2026·河南南阳·三模）已知函数
的图象在点
处的切线也是函数
的图象的切线，则实数
_____.
15．设函数
，曲线
在
处的切线方程为
，则
的值为
______．
16．若直线
是函数
图象的切线，则其切点坐标为________.
17．（2026·云南昭通·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为______．
18．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，设曲线
在点
处切线的斜率为
．若
均不相等，且
，则
的最小值为
__________________．
19．（2026·安徽·模拟预测）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
________．
