文档文本内容
3.4 导数的综合应用（精练题组版）
题组一 判断零点的个数
1．（2025·辽宁·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
在区间
上的单调性；
(2)证明：函数
在
上有两个零点．
【答案】(1)
在
单调递增，在
单调递减．
(2)证明见解析
【解析】（1）由函数
，可得
，
当
时，令
，可得
，
故当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
在
单调递增，在
单调递减．
（2）
，
则
，
当
时，
故
，此时
在
单调递增，
当
时，记
，则
，
由于
，则
故
，因此
在
单调递减，由于
，故存在唯一的
使得
，
当
单调递增，当
单调递减，
综上知：
在
单调递增，在
单调递减，
且
，
因此
在
上有两个零点.
2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
在
上有
个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
.
【解析】（1）依题意得
对
恒成立，
即
对
恒成立，
所以
，即
的取值范围是
.
（2）由题知，
的定义域为
，
又
，
当
时，
在
上单调递增.
当
时，令
，得
，令
，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）由（2）知，当
时，
在
上单调递增，
则
在
上至多有个零点，则
不符合题意.
当
时，要使得
在
上有
个零点，
则
，即
，
且
，
设函数
，
则
，
所以在
上
，
单调递增，
在
上
，
单调递减，
所以
.
由
，得
.
即
的取值范围为
.
3．（2024 山东日照·阶段练习）已知函数
．
（1）若
讨论
的单调性；
（2）当
时，讨论函数
的极值点个数．
【答案】（1）增区间为
，减区间为
；（2）答案见解析．
【解析】（1）由题意，函数
定义域为
，
可得
，
令
，可得
，
因为
所以
，所以
在
上为增函数，
又因为
，所以
，
，
，
，
所以
的增区间为
，
的减区间为
．
（2）①当
时，由（1）可知
在
上有唯一极小值
，
所以极值点个数为1 个．
②当
时，则
，得
，
当
时，
，
时，
，
所以
，
令
，
．
因为
，所以
，即
在
上单调递减，
所以
，
所以（ⅰ）当
时，
，在
上
恒成立，即
在
上恒成立，所以
无极值点．
（ⅱ）当
时，
，
，即
易知
，
所以存在唯一
使得
，且当
时，
，当
时，
，则
在
处取得极大值；
又
，所以当
时，
，当
时，
，
即
在
处取得极小值；故此时极值点个数为2，
综上所述：
当
时，
的极值点个数为0；
当
时，
的极值点个数为2；
当
时，
的极值点个数为1．
4．（24-25·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，切点为
．
，斜率
，
所求切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
，令
，则
，
，令
，解得
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
，
①当
时，
，函数
单调递增，
函数
无极值点；
②当
时，
，
，即
，因此函数
在
上有唯一零点
，
当
时，
，因此函数
在
上有唯一零点
，
当
时，
，即
函数
在
上单调递增；
当
时，
，即
函数
在
上单调递减；
当
时，
，即
函数
在
上单调递增．
又
当
时，函数
有两个极值点．
综上，当
时，函数
无极值点；当
时，函数
有两个极值点．
5．（2025·湖南郴州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，求
在
上的最小值；
(3)当
时，讨论
的零点个数.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(2)
.
(3)答案见解析
【解析】则
，
当
时，
，当
时，
，
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）当
时，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，
所以
在
上单调递减，所以当
时，
.
（3）令
，得
，即
，
所以
.
令
，则
，即
①，
当
时，由
，得
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，故方程①的解的个数即为
的零点个数.
令
，则
，当
时，
，当
时，
，所以
在
上
单调递增，在
上单调递减，
，当
时，
，且当
时，
.
因为
，所以
.
当
，即
时，方程①有两个不同的解，
的零点个数为2；
当
或
，即
或
时，方程①只有一个解，
的零点个数为
，即
时，方程①无解，
的零点个数为0.
综上，当
时，
的零点个数为2；
当
或
时，
的零点个数为1；
当
时，
的零点个数为0.
6．（2025·山东·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)判断函数
的零点个数并说明理由；
(3)若对于
，曲线
与曲线
有且仅有一个交点，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
.
【解析】（1）函数
，定义域为
，则
，
若
，则
，故函数
在
上单调递减，
若
，则
得
；
得
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，函数
在
上单调递减，且
，
故函数
仅有一个零点；
由（1）可知，当
时，函数
在
上单调递减，
又因为
，
所以函数
在
内仅有一个零点，即
仅有一个零点；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
的最小值为
，
若
，则
，故函数
没有零点；
若
，则
，故函数
仅有一个零点
；
若
，则
，
取
，则
，
又因为函数
在
上单调递减，所以函数
在
内仅有一个零点，
取
且
，可知
，
令
，则
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增，
因
，所以
，
又因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
内仅有一个零点，
故当
时，函数
有两个零点，
综上，当
时，函数
的零点个数是
；
当
或
时，函数
的零点个数是1；
当
时，函数
的零点个数是
.
（3）曲线
与曲线
的交点个数，
即方程
的正数解的个数，
令
，则当
时，
与
一一对应，
则原问题等价转化为对于
，方程
有且仅有一正数解，
令
，则
，
若函数
存在极值点
，则
在极值点
附近两侧单调性相反，
则必存在
，使得方程
有至少两个不同的解，
所以函数
在
上不存在极值点，
结合
，对于二次函数
，其图象开口向上，
所以对于
，
即
，即
在
恒成立，
因为
，所以
对于
成立，
转化为
，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
，
又当
时，有
成立，
，
，函数
在
上单调递增，
则方程
有且仅有一解.
综上，
的取值范围是
.
7．（2025·山东·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在区间
上的最值；
(2)讨论
的零点个数．
【答案】(1)
．
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得
的定义域为
，
当
时，
．
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以
在
处取得极小值，也即最小值，为
．
因为
，
，
所以
在
处取得最大值1．
综上，
．
（2）令
，得
．
令
，则
．
当
时，
在
上恒成立，所以
在区间
上单调递增．
又
，故此时
有唯一零点．
当
时，
．
令
，得
，所以
在区间
上单调递减；
令
，得
，所以
在区间
上单调递增．
所以
．
令
，则
．
令
，则
．
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减．又
，
所以当
时，
．
①当
，即
时，
，此时
有唯一零点
．
②当
，即
时，
．
因为
，所以
在区间
上有唯一零点
．
，
令
，则
，
所以
，
则
，
所以
在区间
上单调递减，
则
．
又
，
所以
在区间
上存在唯一零点，故
在区间
上有两个零点．
③当
，即
时，
，
由函数零点存在定理可得
在区间
上有唯一零点，
故
在区间
上各有一个零点．
综上，当
或
时，
有一个零点；当
且
时，
有两个零点．
题组二 已知零点个数求参数
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求证：
最大值小于
；
(2)若
有两个零点，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】（1）当
时，
，
先证明：
，令
，其中
，
则
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，即
，
则不等式
在
上恒成立，
再证明：
，令
，其中
，
则
，
则当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
即
，
则不等式
在
上恒成立，
所以有
，证毕；
（2）由
得：
，
构造函数
，由
，因为
，所以
，
即函数
在
上单调递增，
由
，根据单调性可得：
再构造
，则
，
则当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，即
当
时，由
，可知
，
当
，由对数函数没有一次函数增长得快，可知
，
而函数
有两个零点等价于直线
与函数
有两个交点，根据数形结合可得：
.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
且函数
在
上没有零点，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
；
易知
，则
；
因此切线方程为
，
即
；
（2）设函数
，
；
显然
；
令
，其中
，即
；
当
时，
，
则
时，
，
，此时
在
上单调递减；
当
时，
，
，此时
在
上单调递增；
因此
，可知
，因此
在
上存在零点，不合题意；
当
时，由
可得
；
所以
，使得
；
可得
时，
，此时
单调递增；
当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，此时
单调递增；
所以要使函数
在
上没有零点，只需
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.
3．（23-24 云南昆明·阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
，若
存在零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在
上单调递增，
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）令
，得
，
令
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取最小值
，
因为
存在零点，即方程
有实数根，
所以
．
即实数
的取值范围为
．
4．（2025·山东临沂·一模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在
上恰有两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，得
，
则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）令
，则
，
令
，
则
，
令
，则
，令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，当
时，
，
当
时，
，
如图，作出函数
的大致图象，
因为函数
在
上恰有两个零点，
所以函数
的图象恰有两个交点，
所以
的取值范围为
.
5．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有2 个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【解析】（1）由题意知，
，
令
，则
，
.
故
，
，即切点为
，
所求切线方程为
，即
.
（2）由题意得
，
当
时，
，故函数
没有零点；
当
时，令
，得
.
令
，则
，
，
因为
有2 个零点，所以
和
有2 个交点，
令
，
.
令
，得
.
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
，当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
且
.
实数
的取值范围为
.
6．（2025·广西 ）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，所以
,
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）
，
由
得
，
的图象有2 个交点，
令
，
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，所以
，
且
时，
，
，
所以
时，
，所以
的大致图象如下，
所以若函数
有两个零点，
则
，
所以实数
的取值范围为
.
7．（2025·河南开封·二模）已知函数
，
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
有唯一的零点，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）当
时，
，
，
所以
，
所以
在
处的切线方程为
，
即
．
（2）函数
的定义域为
，
，
令
，则
，
即
在
单调递增，当
时，
，当
时，
，
所以
，使得
，即
，
且当
时，
即
单调递减，
且当
时，
即
单调递增，
所以
在
处取得极小值，
又当
时，
时，
，
故若
有唯一的零点，则必有
，
即
，消去
可得
，
即
，又因为
，即
，
由②式可得：
，即
，
将
代入可得
，即
，
综上可知，若
有唯一的零点，则
.
8．（2025·山东日照·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若方程
有3 个不同的实数解，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
的定义域为
，
所以
，
，
又因为
，所以切点为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，
化简可得：
.
（2）令
，
函数
的定义域为
，
．
①当
时，
，函数
在区间
上单调递减，
函数
至多一个零点，不合题意；
②当
时，设函数
，
，
当
时，
，即
对任意的
恒成立，即
，
所以函数
在区间
上单调递增，函数
至多一个零点，不合题意；
当
时，因为
，所以方程
有两个实数根
、
，
且满足
，
，
不妨设
，则
，
、
的情况如下：
增
极大值
减
极小值
增
所以函数
的单调递增区间是
、
，单调递减区间是
．
因为
，所以为
的一个零点．
又
，
，且
，
所以存在唯一实数
，使得
．
又
，
，且
，
所以存在唯一实数
，使得
．
所以函数
有个不同的零点，方程
有3 个不同的实数解，
综上，
的取值范围为
．
9．（2025·江西萍乡·二模）已知函数
．
(1)证明：函数
有且只有一个极值点；
(2)若关于
的方程
在区间
上恰有两个实数根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）因为
，所以
，
显然
在
上单调递增．且
．
故根据零点存在性定理知
在
上有且仅有一个零点
，且在
上，
，在
上，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，即
在
上有且只有一个极值点
.
（2）设
，则
，记
，
当
时，
恒成立，则函数
在
上单调递增，
此时
在
上至多存在一个零点，不合题意，
当
时，函数
的对称轴为
，则函数
在
上单调递减，
（i）当
时，
恒成立，即
恒成立，
则函数
在
上单调递增，此时函数
在
上至多存在一个零点，不合题意；
（ii）当
时，
恒成立，即
恒成立，则函数
在
上单调递减，
此时函数
在
上至多存在一个零点，不合题意；
（iii）当
时，
，
，故存在
，使得
，即
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又由于
，
则
，若要满足题设，只需
，解得
,
又因为
，所以
取值范围是
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
10．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的图象在
处的切线方程；
(2)设
，若
在区间
上有且只有两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）函数
，则
，
所以
的图象在
处的切线斜率为
，
所以切线方程为
，
化简得，
.
（2）由已知可得
，若
在区间
上有且只有两个零点，
则
在区间
上有且只有1 个零点.
，
则
，
令
，
则
，
因为
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，
所以
的最小值
的最大值
，
①当
时，有
，则
恒成立，
则
在区间
上单调递增，
所以
，
所以
在区间
上无零点，舍去；
②当
时，
成立，
则
在区间
上单调递减，
所以
，
所以
在区间
上无零点，舍去；
③当
时，有
，
又
在区间
上单调递增，
根据零点存在定理可得，
，使得
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
又
，要使
在区间
上有且只有一个零点，
只需
，解得
，
又
，所以
.
题组三 恒（能）成立求参数
1．（2025·吉林长春）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
在
上有解，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
在
上单调递减，在
上单调递增，极小值
，无极大值；
(2)
【解析】（1）当
时，
，所以
当
时
；当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时函数
有极小值
，无极大值；
（2）当
，
在
上有解，即
在
上有解，
即
在
上有解，
令
，则
由（1）知
时
，即
，
当
时
；当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，所以
，
综上可知，实数a 的取值范围是
.
2．（2025·河北保定·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若关于
的不等式
有实数解，求
的取值范围.
【答案】(1)
的极大值为
，无极小值
(2)
【解析】（1）当
时，
，
则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值.
（2）由题得
2a），
当
时，
，不符合题意；
当
时，令
，得
；
令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
由
得
，解得
；
当
时，令
，得
；令
，得
，所以
在
上单调递
增，在
上单调递减，
所以
，
由
，
得
，解得
.
综上，
的取值范围为
.
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】（1）
，
，而
，
，
所以
在
处的切线方程为：
（2）由题意得：
恒成立，
因为
，所以问题等价于在
时
恒成立，
令
，
，
，
当
时，
，
为增函数；当
时，
，
为减函数，则函数
，故
．
4．（24-25 广东广州·阶段练习）已知函数
，
.
(1)当
时，求
的极值点；
(2)讨论
的单调性；
(3)若函数
在
上恒小于0，求a 的取值范围.
【答案】(1)极大值点
，无极小值点；
(2)当
时，函数单调递减；当
时，函数在
上单调递增，在
上单调递减；
(3)
.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
.
，
令
，得
,
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
在
时取得极大值，无极小值.
所以
的极大值点是
，无极小值点.
（2）
，则
，
，
当
时，
恒成立，函数单调递减；
当
时，
，
，
，函数
单调递增，
，
，函数
单调递减.
综上所述：当
时，函数单调递减；当
时，函数在
上单调递增，在
上单调递减.
（3）函数
在
上恒小于0，等价于
.
由（2）知，
当
时，函数单调递减，故
恒成立，故
符合题意；
当
时，若
，即
，函数在
上单调递减，
故
，成立，故
符合题意；
若
，即
，函数在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，即
，解得
，故
；
若
，即
，函数在
上单调递增，
故
，解得
，
故无解.
综上所述：
.
5．（2025·四川自贡·二模）已知函数
，
.
(1)若
存在极小值，且极小值为
，求
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
，
当
时，
，所以函数
无极值，
当
时，由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的极小值为
，解得
.
（2）由
，得
，即
，
，
设
，
，
则
，
当
时，
，即
单调递减，
当
时，
，即
单调递增，
所以
，则
，
所以
的取值范围为
.
6 ．（2025·陕西渭南·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围.
(3)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）当
时，
，所以
.
又
，所以
，则切线方程为
.
令
得
，令
得
，
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为
.
（2）由
得
，显然
不是方程的解，所以
.
设函数
，
则
，
令
得
或
；令
得
或
.
所以
在
上单调递增，在
和
单调递减，在
上单调递增.
又当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
.
所以
的大致图象如图：
若函数
有两个零点，则直线
与函数
的图象有两个交点，
由图象可知，
或
，即
的取值范围为
.
（3）由
得
，
显然当
时，
不等式恒成立.
当
时，有
恒成立，由（2）可得
；
当
时，有
恒成立，由（2）可得
.
综上，
，即
的取值范围为
.
7．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，
(1)当
时，讨论
的单调性;
(2)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数
在
上单调递增，在
上单调递减
(2)
【解析】（1）当
时，
（
），
则有
，
考虑函数
，因为
，
令
，
，
由
可得：
，
由
可得：
，
所以
在
上单减，在
上单增，
因为
，所以
，
则函数
在
上单增，
因为
，
则有
时，
，
时，
，
所以
时，
，
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）当
时，
成立，
则有
成立，
记
，则
在
成立，
，
记
，
①当
时，
，
当
时，
，
，
在
单调递减，
当
时，
，
，
在
单调递增，
故
，不满足条件；
②当
时，
在
成立，
故
在
单调递减，
，满足条件；
③当
时，
，由②知，此时
综上，
．
题组四 隐零点
1.（2024·广东深圳）已知函数
.
（1）求函数
在
上的零点之和；
（2）证明：
在
上只有1 个极值点.
【答案】（1）
（2）详见解析
【分析】（1）
得到
或
，据此计算答案.
（2）求导设
，则
，判断函数
在
上单调递减，在
上单调递
增，又
，
，得到答案.
【解析】（1）解：令
，得
或
，
即
或
，即
或
所以
在
上的零点之和为
（2）证明设
，
，
，
，
当
时，
，则
为增函数.
因为
，
，所以
，
所以当
时，
；当
时，
，
从而
的
上单调递减，在
上单调递增
又
，
，所以必存在唯一的
，使得
，
当
时，
；当
时，
故
在
上只有1 个极值点
2．（2024·江苏宿迁）已知函数
(1)若
求
的极值；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
的极小值为
，无极大值
(2)
【解析】（1）当
，
令
，解得
，
则当
单调递减，当
单调递增，
故
的极小值为
，无极大值；
（2）由题意可得
令
则
当
时，
则
时，
，不合题意；
当
时，设
，
，
，
所以存在
时，
，
因为
，所以
在
上单调递增，
所以当
，
；当
，
，
则当
，
；当
，
，
则
在
单调递减，在
单调递增，
所以
因为
，所以
，即
故
解得
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知
，函数
.
(1)若
是增函数，求
的取值范围；
(2)证明：当
，且
时，存在三条直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
的定义域为
令
，
令
，得
；令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
，故
的取值范围是
.
（2）设曲线
的切点为
，
则曲线
在点
处的切线方程为
.
联立
，得
，
必有
，
记函数
，由题
，
故当
时，
.
记
，
令
，得
；令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
，且
时，
，
当
时，
，故存在
，使得
，
当
，或
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减.
由
，得
，代入
并整理得：
同理
，
记
，由（1）知
为增函数，
，
，
又
，当
时，
，
有三个零点，
存在三条直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
所述，实数a 的取值范围
4．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程.
(2)证明：
无极值.
(3)若
对任意
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）
，
则
.
因为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）令
的导数为
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
，
所以
在
上为增函数，故
无极值.
（3）由
，得
.
设
，则
，
的导数为
，
所以
为增函数，所以
.
当
时，
，
，则
为增函数，则
，所以
符合题意.
当
时，
，
设
，
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，这与
矛盾，所以
不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
5．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)极大值为
，无极小值.
(2)
.
【解析】（1）若
，则
，所以
，
令
，解得
，令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值.
（2）
对任意的
恒成立，即
对任意的
恒成立，
令
，所以
，
令
，所以
，当
时，
，又
，所以
，
所以
在
上恒成立，
所以
即
在区间
上单调递增，
所以
，所以
在区间
上单调递增，
所以
，符合题意；
当
时，令
，解得
，
则
即
在区间
上单调递减；
所以当
时，
，所以
在区间
上单调递减，
所以当
时，
，不符合题意；
当
时，又
，所以
，所以
即
在区间
上单调递减，
所以
，所以
在区间
上单调递减，所以
，不符合题意.
综上，
的取值范围为
.
题组五 不等式的证明
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
的最小值；
(3)当
时，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
当
时，由
得
，由
，得
，
此时，函数
的减区间为
，增区间为
；
当
时，由
得
，由
，得
或
，
此时，函数
的减区间为
、
，增区间为
；
当
时，由
得
或
，由
可得
，
此时，函数
的减区间为
，增区间为
、
.
综上，当
时，函数
的减区间为
，增区间为
；
当
时，函数
的减区间为
、
，增区间为
；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
、
.
（2）函数
的定义域为
，
，
由
，得
，由
，得
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取得最小值
．
（3）当
时，
等价于
，
即
，即
，
即
，即
，
，
只需证明
，
当
，
时，
，
只需证明
，
由（1）知
，
时，
在
处取得最小值
，
综上所述，原不等式成立．
2．（2025 高三·全国·专题练习）设函数
，
．
(1)当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)当
，
时，求证：
．
【答案】(1)
．
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
．
设函数
，
则
．
令
，则
，
故函数
在
上单调递减．
因为
，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
所以
．
因为
恒成立，
所以
，所以
．
（2）因为
，
，所以
．
令
，则
在
上单调递减．
又
，
，
所以
在
上有唯一零点，设为
，即
．
当
时，
，所以
单调递增；
当
时，
，所以
单调递减，
所以当
时，
．
因为函数
在
上单调递增，
所以
，则
．
所以
．
3．（2025·河南·二模）已知
，且曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)设
的导函数为
，求
的单调区间；
(3)证明：当
时，
.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
；
(3)证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
因为曲线
在点
处的切线方程为
，
所以
，解得
；
（2）由（1）可得
，所以
，
则
，定义域为
，
所以
，
因为
，令
，即
，解得
；
令
，即
，解得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（3）由（2）可知
在
上单调递增，
又
，
，
又
，
所以
，即
，
所以
，使得
，
所以当
时
，即
，所以
在
上单调递减；
当
时
，即
，所以
在
上单调递增；
又
，
，
所以
，
所以当
时，
.
4．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，且
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，则
，
，则
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）令
，
则
，
因为
，所以
，
所以
恒成立，
所以
是
上的增函数.
因为
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
所以只需
，又
，
故
.
（3））因为
，所以要证
，
只需证
，
令
，该二次函数的图象的对称轴为直线
，
令
，则
，
令
，则
，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
在
上单调递增.
问题可转化为证明
，即证
，
即证
.
令
，
则
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，证毕.
题组六 极值点偏移
1．（2025·广东佛山·一模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，讨论关于
的方程
的实根个数；
(2)当
时，证明：对于任意的实数
，都有
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
方程
解的个数，转化为
与
有交点的个数，
的定义域为
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，且
，
当
时，方程有0 个解，
当
或
时，方程有1 个解，
当
时，方程有2 个解.
（2）要证
，即证
，
由于
，故只需证
，
不妨设
，即证
，
两边同时除以
并化简，即证
，
令
，则
，设
，
，由(1)知
在
上单调递增，
故
，故
在
上单调递增，
所以
，从而命题得证.
2．（24-25 内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数
，
为实数.
(1)当
时，求函数在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若函数
在
处取得极值，
是函数
的导函数，且
，
，证明：
.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
，故
，
故函数在
处的切线方程为
，即
；
（2）
定义域为
，
，
令
，解得
，令
，解得
，
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（3）由题意得
，解得
，
故
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
可知函数
在
处取得极值，故
符合题意，
因为
，
，
令
，
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
且当
时，
恒成立，
，当
时，
，
画出
的图象如下：
故
，
令
，
，
，
因为
，所以
，
，
故
在
上单调递减，
又
，故
在
上恒成立，
即
，
，
因为
，所以
，所以
，
其中
，故
，
其中
，
，
在
上单调递增，
所以
，即
.
3．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）已知函数
，
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
有两个实数解
，
，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）
，
，
，
所以
在
处的切线方程为
，
即
；
（2）由
可知，
，
，
即
在
上恒成立，
设
，
，
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增，
所以
时，
取得最小值，最小值为
，
由题意知
，即
，故
的取值范围为
；
（3）方程
有两实数解
，
，
即
有两实数解，不妨设
，
由（2）知方程
要有两实数解，则
，即
，
同时
，
，
，
，
则
，
在
单调递减，
欲证
，即证
，
，
等价于
，即
，
等价于
，
整理得
①，
令
，①式为
，
又
在
单调递增，
故①式等价于
，即
，
令
，
，
当
时，
，
在
单调递增，
又
，
，即
，
所以
，则
.
4．（2025·山西临汾·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)当
时，设
的两个零点为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
则
，即
，
故所求切线方程为
.
（2）由
，
，
则
，
令
，则
；
令
，则
，
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）当
时，
，
由（2）知
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
是
的一个较小的零点，不妨设
，
要证
，只需证
，
因为
，且
在
上单调递减，
从而只需证
即可.
，
令
，
在
上单调递增.
，即证
，即证
.
5．（2025·河南·二模）已知函数
.
(1)当
时，若不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，
，且
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【答案】(1)
(2)（i）
，（ii）证明见解析
【解析】（1）设
，
则
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，从而
.
①当
，即
时，
，则
在
上单调递增，从而
，符合题意；
②当
，即
时，
，则一定存在
，使得当
时，
，则
在
上单调
递减，从而
，合题意．
综上所述，
的取值范围为
．
（2）（i）由题意知，
的定义域为
．
当
时，
，所以
在
上单调递增，
从而
在
上至多有一个零点．7 分当
时，令
，得
．
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增．
所以
是
的极小值点，也是最小值点，
即
．
，则
．
所以当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
所以
是
的极大值点，也是
的最大值点．
即
，从而
．
一方面，由（1）可知，取
，当
时，
，即
，
即
，易知当
时，
也成立．
所以当
时，
．所以
，即
，从而
．
因为
，所以
在
内有一个零点
.
另一方面，由（1）知，
．
又
，
所以
，
所以
在区间
内有一个零点
．
综上所述，
的取值范围是
．
（ii）证明：由
，得
，
所以
，即
．
要证
成立，只需证
，
即证
，即证
．令
，则
．
即证
，即证
．
设
，则
，
所以
在区间
上单调递增，所以
，即
式成立．
所以不等式
成立.
题组七 放缩法证明不等式
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列
的首项
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
又因为
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，
所以
.
（2）因为
，
所以
等价于
，
即
，令
，则
，
所以当
时，
，
所以
为减函数，
而
，
又因为
恒成立，所以
，
所以实数的取值范围为
.
（3）令
，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以当
时，
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，
将上式累加，得：
，
所以
，
所以
.
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值;
(2)对于任意的正整数
(
)
ⅰ不等式
恒成立，求整数M 的最小值;
(
)
ⅱ证明：
为自然对数的底数
【答案】(1)有极小值
，无极大值
(2) ⅰ2；ⅱ证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
则
，
由
得
，
x
2
-
0
+
↘
极小
值
↗
因此，当
时，
有极小值
，
无极大值.
（2）(
)
ⅰ当
时，
，
，
则
，由
得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增;
当
时，
，所以
在
上单调递减;
所以
即
，
当且仅当
时取等号.
所以
，
所以
，
所以
，
当
时，
，
所以
所以整数M 的最小值为
(
)
ⅱ设
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
，
由(
)
ⅰ知
，
，
所以
，
，
令
，得
，
所以
，
所以
.
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
，
则
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）因为
，
恒成立，所以
恒成立.
令
，则
，
令
，则
且不恒为0，
即
在
上单调递减，则
，
所以当
时，
且不恒为0，
所以
在区间
上单调递减，故
，所以
，
综上，实数
的取值范围为
；
（3）取
，由（2）得当
时，
，所以
.
取
，则有
，
即
，
所以
，
，
，
，
将上述式子相加得
，得证.
4．（2025·天津红桥·一模）已知函数
，
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数a 的取值范围；
(3)已知
，证明：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）因为
，
则函数
在点
处的切线斜率为
，
又
，
所以函数
在点
处的切线方程
；
（2）设
，
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
则函数
，所以
，
当
时，
，即
，
当
时，取
，观察
的其中的一个零点为
，
由于
，
而
，得
，
即
，不合题意，
综上所述，实数
的取值范围是
；
（3）当
时，由（2）得
，
则
，所以
，即
，则
，
令
，得
，所以
，即
，
又
，
令
，则
，且
不恒为零，
所以
在
上单调递增，即
，则
，
所以
，
即
．
5．（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数
，
当
时，
.已知函数
，
.
(1)证明：
在区间
上单调递减；
(2)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)
，证明：
（附：
）.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）
，
令
，则
，
令
，则
，
若
，则
单调递减，
单调递减，
，
在
上单调递减，
若
，则
单调递增，
，即
存在唯一
，使得
，且在
上，
单调递减，在
上，
单调递增，
且
，
在区间
上单调递减，且
在
上连续，
综上，
在区间
上单调递减.
（2）当
时，
，成立.当
时，由
可得
，
令
，
由（1）可知
在
上单调递减，
.
由洛必达法则：
，
.
（3）当
且
时，
，令
，
则
，令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
在
上单调递增，
（当
时取等号），
，
，
，
，
即
.
6．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数
，
．
(1)证明：
有唯一零点；
(2)记
的零点为
．
（i）数列
中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析
【解析】（1）当
时，
，所以
在
上无零点，
因为
，所以
在
上单调递增，
所以
在
上至多一个零点，
当
时，
有唯一零点1．
当
时，因为
，
，
所以函数
有唯一零点，得证，
（2）（i）由（1）知，
，且
，
两边取自然对数，得
，（*）
所以
，
两式相减，得
，
所以
．
因为函数
在
上单调递增，
所以
，所以数列
单调递增．
假设数列
中存在
，
，
成等比数列，则
，
所以
．
由（*）式得，
，代入上式，得
，
．（**）
因为
，所以
，
又
，所以方程（**）无解．
所以数列
中不存在连续三项按某顺序构成等比数列．
（ii）先证明：
时，
，（***）
设
，则
，
所以当
时，
，
单调递减：
当
时，
，
单调递增，
所以
，当且仅当
时，等号成立．
由（***）式知，
，
所以
，所以
，
所以
．
在（***）式中，令
，得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
所以
，
，当且仅当
时等号成立．
当
时，在（***）式中，令
，得
，
所以
时，
．
当
时，
成立．
所以
，得证．
