专题3.4 导数之极值点偏移
3.4.1 极值点偏移-对称化构造
知识点梳理
1.极值点偏移：是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函
数图像没有对称性.
若函数y=f(x)是连续函数，在区间(x1,x2)内有且只有
一个极值点x0，且f(x1)=f(x2)，若极值点左右的“增减速度”
相同，常常有极值点x0=x1+x2
2
，称这种状态为极值点不偏移
（二次函数，如图1 所示）；若极值点左右的“增减速度”不 图1
同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点x0≠x1+x2
2
的情况，这种状态称为“极值点
偏移”.
图2 图3 图4 图5
2.（1）极值点偏右（如图2、图3 所示）：x1+ x2<2 x0，x = x1+ x2
2
处切线与x 轴不
平行；若f(x)上凸（f '( x)递减），则f '( x1+ x2
2
)>f '( x0)=0，若f(x)下凸（f '( x)递
增），则f '( x1+ x2
2
)<f '( x0)=0.
（2）极值点偏左（如图4、图5 所示）：x1+ x2>2 x0，x = x1+ x2
2
处切线与x 轴不平
行；若f(x)上凸（f '( x)递减），则f '( x1+ x2
2
)<f '( x0)=0，若f(x)下凸（f '( x)递
增），则f '( x1+ x2
2
)>f '( x0)=0.
3.常见题型解决方法
（1）若需要判断x1+x2与2x0的大小关系，则就需要判断x2与2x0−x1的大小关系，也
就需要判断f(x2)与f(2x0−x1)的大小关系．而f(x1)=f(x2)，因此就需要判断
f(x1)−f (2x0−x1)与0 的大小关系，于是就构建函数g(x)=f(x)−f (2x0−x)，再分
析函数g(x)的单调性即可．
（2）若需要判断x1x2与x0
2的大小关系，则就需要判断x2与2x0
x1
的大小关系，也就需
要判断f(x2)与f(2x0
x1
)的大小关系．而f(x1)=f(x2)，因此就需要判断
f(x1)−f (2x0
x1
)与0 的大小关系，于则需要构建函数g (x)=f(x)−f(
x0
2
x )，再分析函数
的g(x)单调性即可．
典型例题
例1.已知函数f(x)=xlnx+ 1
2 x
2−x．若f'(x0)（f'(x)为f(x)的导函数），方程
f(x)= m有两个不等实根x1、x2，求证：x1+x2>2x0．
例2.已知函数f ( x)= x−alnx，a∈R.
（1）研究函数f ( x)的单调性.
（2）设函数f ( x)有两个不同的零点x1、x2，且x1<x2.
（i）求a的取值范围；（ii）求证：x1x2>e
2.
随堂演练
1.已知函数f ( x)=e
x−ax有两个不同的零点x1、x2.
（1）求a的取值范围.
（2）求证：x1+x2>2．
2.已知函数f ( x)= 1−x
1+ x
2 e
x.
（1）求f ( x)的单调区间；
（2）证明：当f(x1)=f(x2) （x1≠x2）时，x1+x2<0．
3.已知函数f ( x)= e
x
x −ln x + x−a.
（1）若f ( x)≥0, 求a的取值范围;
（2）证明: 若f ( x)有两个零点x1, x2, 则x1 x2<1.
4.已知函数f ( x)=( x −2)e
x+a( x −1)
2有两个零点.
（1）求a的取值范围;
（2）设x1, x2是f ( x)的两个零点,证明:x1+ x2<2.
5.已知函数f ( x)= x−ln x−a有两个不同的零点x1, x2.
（1）求实数a的取值范围;
（2）求证:x1+ x2>2.
6.已知函数f ( x)= x(1−ln x).
（1）讨论f ( x)的单调性;
（2）设a,b为两个不相等的正数,且b ln a−a ln b=a−b,证明: 2< 1
a + 1
b <e.
3.4.2 极值点偏移-比值或差值换元
知识点梳理
比值或差值换元的一般步骤：
（1）根据f ( x1)= f ( x2)写出等式（等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有
指数式，可考虑两边取对数）.
（2）根据函数形式预选比值t = x1
x2
或差值t = x1−x2(或均值、差值组合).
（3）利用原等式解出x1, x2关于t的表达式(可能显式或隐式含参).
（4）将待证不等式用t表示.
（5）构造关于t的单变量函数利用导数证明.
（6）注意定义域t的范围(由x1≠x2及大小关系得t >1或0<t <1等).
典型例题
例1.已知函数f ( x)= x e
−x ( x ∈R).若x1≠x2，且f ( x1)= f ( x2)，证明：x1+ x2>2.
例2.已知函数f ( x)= ln x−ax,a为常数.若函数f ( x)有两个零点x1, x2,试证明x1 x2>e
2.
例3.已知函数f ( x)= x(1−ln x).
（1）讨论f ( x)的单调性;
（2）设a,b为两个不相等的正数,且b ln a−a ln b=a−b,证明: 2< 1
a + 1
b <e.
随堂演练
1.已知函数f ( x)=aln( x +2)−x (a∈R).
（1）讨论f ( x)的单调性和最值.
（2 ）若关于x的方程e
x= 2
m −1
m ln m
x +2 (m>0)有两个不等的实数根x1, x2,求证:
e
x1+e
x2> 2
m.
2.已知函数f ( x)=ax ln x + 3
10 a (a≠0).
（1）讨论f ( x)的单调性.
（2）若函数f ( x)有两个零点x1, x2,且x1< x2,证明: x1+ x2> 3
10.
3.已知函数f ( x)= x
e
ax + ln x−ax,其中e为自然对数的底数.
（1）当a=1时, 求f ( x)的单调区间;
（2）若函数g( x)= f ( x)−x
e
ax 有两个零点x1, x2(x1< x2),证明:x1⋅x2>e
2.
4.已知函数f ( x)= ln x−ax +b(a,b∈R)有两个不同的零点x1, x2.
（1）求f ( x)的最值.
（2）证明:x1 x2<1
a
2 .
5.已知函数f ( x)=1−ln x−a
x (a∈R).
（1）求f ( x)的单调区间;
（2）若f ( x)有两个零点x1, x2,且x1< x2,求证:x1 x2
2<e−a.
6.已知函数f ( x)= x(ln x−a), g( x)= f ( x)
x
+a−ax.
（1）当x ≥1时,f ( x)≥−ln x−2恒成立,求a的取值范围.
（2）若g( x)的两个相异零点为x1, x2, 求证:x1 x2>e
2.
3.4.3 极值点偏移-对数平均不等式
知识点梳理
基本均值不等式: 若a>0,b>0, 那么：
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
.
当且仅当a=b时取等, 即: 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
对数平均不等式: 当a≠b 时, 定义
a−b
ln a−ln b为a,b的对数平均数, 且若a>b>0, 那
么：b<
2
1
a + 1
b
<❑√ab<
a−b
ln a−ln b < a+b
2
<
❑√
a
2+b
2
2
<a.即除去a,b外, 调和平均数≤几何平
均数≤对数平均数≤算术平均数≤平方平均数.
其中几何平均数≤对数平均数≤算术平均数这部分比较常用,
即：
❑√ab<
a−b
ln a−ln b < a+b
2
.
常见等价变形: ①ln a−ln b≥2(a−b)
a+b
(a≥b>0);
②ln a−ln b≤❑√
a
b −❑√
b
a (a≥b>0)；
③令 a=e
x ,b=e
y, 可得：e
x + y
2 < e
x−e
y
x−y < e
x+e
y
2
，此式也被称为指数平均不等式.指
数平均不等式与对数平均不等式本质上是同一个不等式.
利用对数平均不等式求证极值点偏移问题的步骤:
（1）f ( x1)= f ( x2)建立等量关系;
（2）等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数;
（3）通过恒等变形转化出对数平均数(的值或仍用x1, x2表示), 证明对数平均不等式,
然后代入对数平均不等式求解.
注意：对数平均不等式还能用来解决部分不等式证明题、比大小题等.
典型例题
例1.已知函数f ( x)= e
x
x −ln x + x−a.
（1）若f ( x)≥0,求a的取值范围:
（2）证明:若f ( x)有两个零点x1, x2,则x1 x2<1.
例2.已知函数f ( x)= ln x−ax,a为常数.若函数f ( x)有两个零点x1, x2,试证明x1 x2>e
2.
随堂演练
1.已知函数f ( x)= ln x−a x
2.
（1）讨论函数f ( x)的单调性.
（2）若x1, x2是方程f ( x)=0的两不等实根,求证:x1
2+ x2
2>2e.
2.已知f ( x)=2 x−sin x−❑√a ln x.
（1）当a=1时,讨论函数f ( x)的极值点个数.
（2）若存在x1, x2(0< x1< x2),使f ( x1)= f ( x2),求证:x1 x2<a.
3.已知函数f ( x)=ax−a
x −ln x(a>0)
（1）已知f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为y = x−1,求实数a的值;
（2）已知f ( x)在定义域上是增函数, 求实数a的取值范围.
（3）已知g( x)= f ( x)+ a
x 有两个零点x1, x2,求实数a的取值范围并证明x1 x2>e
2.
4.已知函数f ( x)=2 x−sin x−a ln x.
（1）当a=0时, ∀x∈(0, π
2 ],f ( x)≤mx,求实数m的取值范围,
（2）若∃x1, x2∈(0,+ ∞), x1≠x2,使得f ( x1)= f ( x2),求证:x1 x2<a
2.
5.已知函数f ( x)= ln x−a x
2.
（1）讨论函数f ( x)的单调性.
（2）若x1, x2是方程f ( x)=0的两不等实根，求证:x1
2+ x2
2>2e.
3.4.4 拐点偏移
知识点梳理
1.拐点指函数图像凹凸性改变的点，若函数的二阶导数在某一点左右异号，那么该点
即为函数图像的拐点，即若函数f(x)在定义域内连续且二阶可导，且f
″(x0)=0，则
(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点.
2.（1）若函数图像在拐点两侧的变化速度相同，那么函数图像关于拐点中心对称，这
种称为拐点不偏移.即若f(x1)+f(x2)=2f(x0)，有x0=x1+x2
2
，则拐点不偏移.
（2）若变化速度不同，则图像会出现偏移，我们把这种称为拐点偏移.
①若f(x1)+f(x2)=2f(x0)，有x0<x1+x2
2
，则拐点左偏.
②若f(x1)+f(x2)=2f(x0)，有x0>x1+x2
2
，则称拐点右偏.
3.解此类问题和极值点偏移相似，相当于前面所讲对称化构造，而且一阶导f
′(x)
极值点右偏（左偏）对应拐点右偏（左偏），偏移方向是相同的，所以一般的解题步骤如
下：
（1）讨论函数f(x)单调性，也就是讨论f
′(x).
（2）求解函数拐点，即令f
″(x)=0求出拐点x0.
（3）构造函数F(x)=f(x)+f(2x0−x)，证明F(x)≥或≤2f(x0)恒成立.
（4）得出结论.
典型例题
例1.已知函数f(x)=2lnx+x
2
1
−.
（1）求f
′(x)的最小值.
（2）若x1，x2是两个不相等的正数，且f(x1)+f(x2)=0，证明：x1+x2>2.
随堂演练
1.已知函数f(x)=2lnx+x
2+x,若正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)=4.证明：x1+x2≥2.
2.已知函数f ( x)=e
x(x−a
x −2)，其定义域为(0,+∞).
（1）求函数f ( x)的单调递增区间.
（2）若函数f ( x)为定义域的增函数，且f ( x1)+ f ( x2)=−4 e，证明：x1+ x2≥2.
3.f ( x)=e
x−1
2 x
2+ax +1,a∈R .
（1）若f ( x)为R上的增函数,求a的取值范围;
（2）若a>0, x1≠x2,且f (x1)+ f (x2)= 4,证明:f (x1+ x2)<2.
4. 已知函数f ( x)= 1
2 e
2( x−1)−x
2+e⋅f
′(
1
2)x.
（1）求f ( x)的单调区间;
（2）若存在x1, x2(x1< x2),使得f (x1)+ f (x2)=1,求证:x1+ x2<2.
