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3.4 导数的综合应用（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·湖南）已知函数
.若存在
，使得
成立，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
，若方程
有三个不同根，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 福建龙岩·阶段练习）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·重庆·二模）已知函数
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数
存在唯一极值点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·江苏淮安·模拟预测）若函数
，
存在两个不同的零点，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 高三·全国·专题练习）对于函数
，下列说法不正确的是（ ）
A．当
时，
B．若
是函数
的导数，则
C．对任意
都有
，则
D．设
在定义域上有两个不同的极值点
，则
8．（24-25 高二下·山东聊城·期中）已知
，且
，若
，则说法错误的（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（24-25 四川凉山·期中）已知函数
有且仅有三个不同的零点分别为
，
，
，
则（ ）
A．a 的范围是
B．a 的范围是
C．
D．
10．（24-25 福建三明·期中）关于函数
，下列判断正确的是（ ）
A．函数
的极小值是2
B．函数
在
上有唯一零点
C．存在实数
，使得
成立
D．对任意两个正实数
，且
，若
，则
11．（24-25 山西·期中）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
恰有3 个零点，则
B．若
恰有3 个零点，则
C．若
恰有4 个零点，则a 的取值范围是
D．若
恰有4 个零点，则a 的取值范围是
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·四川达州·二模）已知函数
在
上存在零点，则实数
的最小值为
．
13．（2025·河北张家口·二模）已知关于x 的方程
有两个不等实根，则正数a 的取值范围是
.
14．（2025·江西九江·二模）已知函数
恰好有3 个零点，则实数
的取值范围是
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·安徽淮北·二模）已知函数
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)求证：当
时，
有且仅有一个零点.
16．（2025·广东广州·二模）已知函数
（
，且
）.
(1)若
，直线
与曲线
和曲线
都相切，求
的值；
(2)若
，求
的取值范围.
17．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
，
.
18．（2025·天津·模拟预测）已知函数
，
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
，
（i）当
时，求函数
的最小值；
（ii）若
有两个实根
，
，且
，证明：
.
19．（2025·浙江金华·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若方程
有且只有一个实数根，求实数
的取值范围.
