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3.2 利用导数研究函数的单调性（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（24-25 山东泰安）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】定义域为
，
，则
，
则
得
；
得
，则
的单调递增区间为
，单调递减区间为
故选：C
2．（2025 山东临沂）若函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
当
，解得：
，由条件可知
，所以
，解得：
.
故选：D
3.（2025 云南）函数
在
单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题得
，
函数
在区间
单调递增，
在区间
上恒成立．
，而
在区间
上单调递减，
．
选项中只有
是
的必要不充分条件. 选项AC 是
的充分不必要条件，选项B 是充要条件.
故选：D
4.（2024 湖北·阶段练习）若函数
在其定义域的一个子区间
内不是单调函数，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
的定义域为
，所以
，即
，
，
令
，得
或
（舍去），因为
在定义域的一个子区间
内不是单调函数，
所以
，得
，综上，
，故选：A
5．（2025 陕西渭南·阶段练习）已知函数
在
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意
，故
在
上有零点，令
，令
，得
，令
，
则
，由
，得
，
单调递增，又由
，得
，
故
，所以，
的取值范围
故选：A
6．（2025 安徽）若函数
存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，且其导数为
．由
存在单
调递减区间知
在
上有解，即
有解．因为函数
的定义域为
，所以
．要使
有解，只需要
的最小值小于
，所以
，即
，所以实数
的取
值范围是
．
故选:B．
7．（2025 重庆）已知
为定义在
上的奇函数，
，且当
时，有
，则使
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
， 当
时，
，
所以，函数
在
上为增函数，且
，
故当
时，
，得
，
当
时，
，得
，
又
为定义在
上的奇函数，
故由
可解得
或
，
故选：B
8．（24-25 河南）已知函数
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，函数
的定义域为
.
因为
，所以函数
为奇函数.
，
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
又因为
，所以
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递增.
由
，得
，即
，
所以
，解得
.故选：D.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（24-25 河北保定）设函数
的导函数为
，已知函数
的图象如图所示，则
的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由题意知
与
轴有三个交点
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
则
在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增，故A，C 正确；B，D 错误．
故选：AC．
10（24-25 山东聊城）函数
，则（ ）
A．
B．
的单调递增区间为
C．
最小值为
D．
有两个零点
【答案】BCD
【解析】已知
，其定义域为
.对
求导可得：
，所以A 选项错误.
令
，因为
（
），所以
，解得
.
令
，因为
（
），所以
，解得
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，B 选项正确.
前面知
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值.将
代入
可得：
，C 选项正确.
因为
的最小值为
，当
趋近于
时，
趋近于
，
趋近于
，
趋近于
；当
趋近于
时，
趋近于
，
趋近于
，
趋近于
.
又因为
在
上单调递减，在
上单调递增，结合图象，
所以
与
轴有两个交点，即
有两个零点，D 选项正确.
故选：BCD.
11．（24-25 山西吕梁）关于函数
，
，下列说法不正确的是（ ）
A．当
时，
在
上单调递增
B．当
时，
恒成立
C．当
时，
在
上单调递增
D．当
恒成立，则
【答案】AB
【解析】对于A 选项，当
时，
，则
，解得
，
故当
时，函数
的增区间为
，A 错；
对于B 选项，当
时，由
可得
，解得
，B 错；
对于C 选项，当
时，则
对任意的
恒成立，
此时，函数
在
上单调递增，C 对；
对于D 选项，当
时，函数
在
上为增函数，
，
此时不等式
不恒成立；
当
时，
恒成立；
当
时，由
可得
，
由
可得
，由
可得
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，
所以，
，可得
，解得
.
综上所述，当
恒成立，
，D 正确.
故选：AB.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（24-25 湖北武汉）已知函数
在区间
上存在单调递减区间，则a 的取值范围为
【答案】
【解析】由函数
，可得
，
因为函数
在区间
上存在单调递减区间，
即
在
有解，即
在
有解，
设
，可得
，
所以函数
单调递增，所以
，即
．
故答案为：
．
13．（24-25 江苏）已知函数
，且
，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】令
，定义域为
，
，
所以
为奇函数，
又
，
当
时，令
，
则有
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，所以
在
上单调递增，
又因为
为奇函数，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
所以
，即
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
14（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集
为
【答案】
【解析】令
，
则
，
所以函数
关于
对称，
由
，得
，
即
，
因为函数
关于
对称，所以
，
则
，
，
因为
，
当且仅当
，即
时取等号，
又
，
所以
，
所以函数
在
上单调递增，
则
，即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25 河北）已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若关于
的不等式
有解，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）由题可知
在
上恒成立，所以
．
因为
，所以
，
则
，所以
的取值范围为
．
（2）由
，可得
．
令
，则
，
令
，可得
，令
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
16．（24-25 河北邯郸·阶段练习）已知函数
．
(1)讨论
的单调区间；
(2)若
在
上的最小值为10，求a 的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
．
【解析】（1）
的定义域为
．
当
时，
在
上单调递增．
当
时，令
，解得
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增．
综上，当
时，
单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）当
时，由（1）知，
在
上单调递增，
所以
，舍去．
当
时，
在
上单调递增，所以
，舍去．
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
，舍去．
当
时，
在
上单调递减，所以
，
解得
，符合题意．
综上，
．
17．（24-25 新疆）已知函数
.
(1)试讨论
的单调性；
(2)当
时，求
的单调区间.
【答案】(1)答案见解析
(2)单调增区间
【解析】（1）由
可得
，
，
令
，解得
或
，
①当
时，
在
小于0，即
，
单调递减，
在
大于0，即
，
单调递增，
②当
时，
在
，
大于0，即
，
单调递增，
在
小于0，即
，
单调递减，
③当
时，
在
恒成立，即
恒成立，当且仅当
时等号成立，
所以
在
单调递增，
④当
时，
在
，
大于0，即
，
单调递增，
在
小于0，即
，
单调递减，
综上所述，当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
当
时，
在
单调递减，在
，
单调递增，
当
时，
在
单调递增，
当
时，
在
单调递减，在
，
单调递增.
（2）当
时，
，
，
，
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
又因为
，所以当
时
恒成立，即
恒成立，
所以
在
上单调递增，
所以
的单调增区间为
.
18．（2025·广东·模拟预测）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的极值；
(3)讨论函数
在
上的单调性.
【答案】(1)
(2)极小值为
，无极大值
(3)减函数
【解析】（1）由于
定义域为
，
故曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.
（2）令
，则
，令
，则
，
则函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
故函数
的极小值为
，无极大值.
（3）由于函数
，令
，
则
在区间
上单调递减，且
，故
，使
，即
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上递增，在
上递减.
故
，当且仅当
，
即
时，等号成立，显然，等号不成立，故
，
故
在
上是减函数.
19（2025·北京平谷·一模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求
的单调区间；
(3)当
变化时，曲线
在点
处的切线斜率能否为1？若能，求
的值，若不能，说明理由.
【答案】(1)
(2)
的单调减区间为
，无增区间.
(3)能，
【解析】（1）当
时，则
，
，
，
所以在点
处的切线方程为
.
（2）当
时，函数
的定义域是
，
所以
，
令
，
所以
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
时为增函数，在
上为减函数，
在
处取得最大值，
又
，故
恒成立，
所以
的单调减区间为
，无增区间.
（3）由题意知，因为
，
所以
，即有
，
令
则
，
故
是
上的增函数，又
，因此0 是
的唯一零点，
即方程
有唯一实根0，所以
.
所以曲线
在点
处的切线斜率能为1，此时
.
