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3.4 导数的综合应用（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·湖南）已知函数
.若存在
，使得
成立，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
成立，可得
，
设
，则存在
，使得
成立，即
，
又
，当且仅当
，即
时取等号，所以
，
所以实数a 的取值范围是
.故选：C.
2．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
，若方程
有三个不同根，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为R，且在R 上单调递增，
，即
，
方程
，即
，于是
，
即
，令
，依题意，直线
与函数
的图象有三个不同的交点，
求导得
，当
时，
，
当
时，
，函数
在
上递减，在
上递增，
当
时，
取极小值
；当
时，
取极大值为
，
而当
或
时，恒有
，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，
观察图象得
，原方程有三个不同实根，所以实数
的取值范围为
，
故选：A
3．（2025 福建龙岩·阶段练习）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
（
），所以
.
因为函数
有两个极值点，所以
有两个不同的正的变号根.
由
（
）.
设
（
），则
.
由
；由
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
且
，
，当
时，
.
所以要想方程
（
）有两个不同的解，须有
，
即
.
故选：D
4．（2025·重庆·二模）已知函数
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，符合题意；
当
时，存在
，使得
，即
，显然不满足题意；
当
时，由
得
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，
由
得
，
设
，则
，
所以
在
上单调递减，又
，所以
，
综上，
，即
的取值范围是
.
故选：B
5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数
存在唯一极值点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，求导可得
，
由题意可得函数
存在唯一变号零点，则方程
存在唯一解，
即方程
存在唯一解，
令
，求导可得
，由
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
当
时，
，则
，当
时，
，
易知当
，即
时，方程
存在唯一解，
当
时，
，易知方程
的解为
，
由当
时，
，
，则
，同理可得当
时，
，
所以此时函数
无极值点，不符合题意；
当
时，
，易知函数
在
上单调递增，符合题意.
故选：B.
6．（2025·江苏淮安·模拟预测）若函数
，
存在两个不同的零点，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，
存在两个不同的零点，
令
，
即
与
有两个不同的交点，
又
，
令
，即
，
此时
与
相切于点
，
又
，所以
既是
与
交点又是切点，
当
时，
当
时，
从
递减到
，
函数
从
递减到
，
由于
递减较快，在
处与
相交一次，
当
时，当
，
但
的增长速度比
快，因此两者会在
处相交一次，
所以在
和
各有一个交点，加上固定零点
，总共有两个不同的零点，
当
时，
当
时，
的递减速度比
慢，
因此
始终位于
上方，所以无交点，
当
时，
，
但
的增长速度比
慢，因此两者会在
处相交一次，
所以在
处有一个交点，加上固定零点
，总共有两个不同的零点.
当
时，
令
，即仅在
相交，
当
时，
当
时，
的递减速度比
慢，
因此
始终位于
上方，所以无交点，
当
时，
的增长速度进一步降低，无法与
交，
所以仅有一个零点，不满足题目要求，
数
的取值范围为
，
故选：A
7．（2024 高三·全国·专题练习）对于函数
，下列说法不正确的是（ ）
A．当
时，
B．若
是函数
的导数，则
C．对任意
都有
，则
D．设
在定义域上有两个不同的极值点
，则
【答案】A
【解析】对于函数
，定义域为
，所以
，
对于A，当
时，
，则
单调递减，
所以当
时，
，即
，所以A 错误；
对于B，令
，则
，
当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减，
所以
，即
，所以B 正确；
对于C，由题可得，对于任意
，
恒成立，
令
，
，则
，且
，
于是
，解得
，所以C 正确；
对于D，
，
，则
，
令
，得
，
由题可知
有两个不同的极值点，
所以直线
与函数
的图象有两个不同的交点，
对
求导得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
有最大值
，
且当
时，
，当
时，
，
所以
，由题可知
，
，
不妨设
，则
，要证明
，只需要证明
，
即证
，也就是证明
，
令
，
，
，
，
则
，即
在
上单调递增，
又
，所以
，所以
，即
，所以D 正确，
故选：A
8．（24-25 高二下·山东聊城·期中）已知
，且
，若
，则说法错误的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知
，且
，
，即
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
单调递增，在
单调递减，
，
结合
，
，即
，知
，A 正确；
令
，
，
由于
，则
，故
，
即
，故
在
单调递增，则
，
故
，结合
可得
，
由于
，故
，即
，B 错误；
先证明不等式
，
设
，则
即
，即证
；
设
，则
，
由于
，但
等号取不到，
故
，则
，则
在
上单调递增，
故
，即
成立，即
成立，
对于
两边取自然对数，得
，
即
，则
，
故
，则
，C 正确；
设
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
故
，则
，D 正确，
故选：B
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（24-25 四川凉山·期中）已知函数
有且仅有三个不同的零点分别为
，
，
，
则（ ）
A．a 的范围是
B．a 的范围是
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
，
令
，解得
或
，
当
时，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
所以
，
，
此时函数
只有一个零点，不符合题意；
当
时，
当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
，
在
单调递减，
所以
，要使
有三个不同的零点，
则
，解得
，即
的取值范围是
，故A 错误，B 正确；
因为函数
有且仅有三个不同的零点分别为
，
则
，
即有
，
，
，则
，故CD 正确；
故选：BCD．
10．（24-25 福建三明·期中）关于函数
，下列判断正确的是（ ）
A．函数
的极小值是2
B．函数
在
上有唯一零点
C．存在实数
，使得
成立
D．对任意两个正实数
，且
，若
，则
【答案】BD
【解析】对于A，因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
是
的极小值，所以A 错误；
对于B，函数
，则
，
由于
，
即
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递减，
又当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上有唯一零点，
即函数
有且只有1 个零点，故B 正确；
对于C，由
，
可得当x 且趋于无穷大时，
无限接近于0，
也无限趋于0，
故不存在实数
，使得
成立，
即不存在实数
，使得
成立，C 错误；
对于D，由
得
要证
，只要证
，即证
，
由于
，故令
，则
，
故
在
上单调递增，
则
，即
成立，故
成立，所以D 正确．
故选：BD．
11．（24-25 山西·期中）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
恰有3 个零点，则
B．若
恰有3 个零点，则
C．若
恰有4 个零点，则a 的取值范围是
D．若
恰有4 个零点，则a 的取值范围是
【答案】AD
【解析】函数
的定义域为R，当
时，
，
于是
，令
，
则函数
的零点个数即为直线
与函数
的图象交点个数，
求导得
，令函数
，
求导得
，令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递增，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，
则存在
，使得
，当
或
时，
，
当
时，
，于是函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
则存在
，使得
，
当
或
时，
；当
或
时，
，
于是函数
有4 个零点
，且
，
当
或
或
时
；当
或
或
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
因此当
时，直线
与函数
的图象最多两个交点；
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，函数
取得极大值
，
，
，
由
，得
，当
时，
取得极小值，
，同理
，
对于AB，
恰有3 个零点，即直线
与函数
的图象有3 个交点，则
，A 正确，B 错误；
对于CD，
恰有4 个零点，即直线
与函数
的图象有4 个交点，
则
，C 错误，D 正确.
故选：AD
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·四川达州·二模）已知函数
在
上存在零点，则实数
的最小值为
．
【答案】
【解析】由
可得
，其中
，
令
，其中
，
所以，实数
的取值范围即为函数
在
上的值域，
则实数
的最小值即为函数
在
上最小值.
则
，
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
故当
时，
，
因此，实数
的最小值为
.
故答案为：
.
13．（2025·河北张家口·二模）已知关于x 的方程
有两个不等实根，则正数a 的取值范围是
.
【答案】
【解析】由
，可得
，即
，
等价于
，变形得
，
令函数
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又因为当
时，
，
时，
，
所以若方程
有两个实根，由
，
只需满足
或
，
所以正数
的取值范围为
.
故答案为：
.
14．（2025·江西九江·二模）已知函数
恰好有3 个零点，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】解法一：
.
，
的零点等价于函数
的零点.
又
函数
定义域为
，且
是
上的奇函数，
只需要考虑
在
上有一个零点即可.
又
函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
当
时，
，
函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
的值域是
.
当
时，
，此时
在
上单调递增，
，无零点，不符合题意；
当
时，
，此时
在
上单调递减，
，无零点，不符合题意；
当
时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数
，使
.
当
时，
，此时
在
上单调递增，
，
；
当
时，
，此时
在
上单调递减；
又
，
，
，
，
在
上存在唯一零点，符合题意.
综上所述，实数
的取值范围是
.
解法二：
，
是
的一个零点.
当
时，由
，得
，令
，
.
函数
定义域为
，
为
上偶函数.
则问题转化为直线
与函数
的图象在
上有一个交点.
由
，可得
，设
，
则
.
在
上单调递增，
则
，即当
时，
，
在
上单调递减.
又
，
，
在
上的值域为
，
故
，即
，故实数
的取值范围是
.
解法三：令
，得
，设
.，
.
函数
的定义域为
，且
；
函数
的定义域为
，且
，
与
都是
上的奇函数，
则问题转化为函数
与
在
上恰有一个交点.
又
函数
在
上单调递增，
.
又
，
，
在
单调递减，
又
，作出函数
与直线
的图象，
，即
，故实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·安徽淮北·二模）已知函数
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)求证：当
时，
有且仅有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）若
，则
，
所以
，函数
在
处的切线方程为
；
（2）
的定义域为
，
当
时
有且仅有一个零点4：
当
时，
，函数
递增，由
，知
存在唯一零点
；
当
时，令
得
，
当
时
，函数
递增：
当
时
，函数
递减；
当
时
，函数
递增：
当
时，
，所以
，函数
无零点；
因为当
时
递减，当
时
递增，
且
，所以
存在唯一零点
.
综上所述，当
时，
有且仅有一个零点.
16．（2025·广东广州·二模）已知函数
（
，且
）.
(1)若
，直线
与曲线
和曲线
都相切，求
的值；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)8
(2)
【解析】（1）解法1：设直线
与曲线
的切点坐标为
，
由于
，则
，
解得
，
则切点坐标为
.
直线
，即
.
由
得
，
由
，解得
或
（舍去），
当
时，得
，符合题意，
所以
.
解法2：设直线
与曲线
的切点坐标为
，
由于
，则
，
解得
，
则切点坐标为
.
直线
，即
.
当
时，函数
的定义域为
，
设直线与曲线
的切点坐标为
，
由
，得
，得
.
得
，即
，
则
.
解得
.
（2）解法1：①当
时，则函数
的定义域为
.
由于
，
则
，不符合题意.
所以
不符合题意.
②当
时，则函数
的定义域为
.
显然
.
当
时，由
，得
，即
.
令
，则
.
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增.
则当
时，
取得最小值，其值为
.
则
，即
.
综上所述，
的取值范围为
.
解法2：当
时，由
，得
，即
，
得
.
令
，则
.
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增.
则当
时，
取得最小值，其值为
.
则
，即
.
综上所述，
的取值范围为
.
17．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
，
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）若
，则
，
，
，
所以切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）若对定义域内
，都有
恒成立，
即
恒成立，只需
即可，
设
，
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
，
故
的取值范围为
.
（3）由（2）得当
时，
恒成立，即
，
将
中的
替换为
，显然
，
则
，
故
，
即
.
故
.
18．（2025·天津·模拟预测）已知函数
，
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
，
（i）当
时，求函数
的最小值；
（ii）若
有两个实根
，
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)（i）1；（ii）证明见详解.
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
，又
，
所以函数
在
处的切线方程为：
，即
.
（2）（i）当
时，
，定义域为
，
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，
所以
使得
，即
，①
故当
时，
，即
，此时
在
上单调递减；
当
时，
，即
，此时
在
上单调递增，
所以当
时，函数
有最小值，
由①可得
，即
，
所以函数
的最小值为
.
（ii）由题意，
，定义域为
，
由题意
有两个不相等的实数根，
令
，则
，
所以
在
上递增，所以
，
令
，
所以
有两个不相等的正的零点
，且
，
即
，两式分别相加减得，
.
所以
②
要证
，只需证
，
即证
，即需证
，
由②知，
，
故只需证
，
不妨设
，令
，
则只需证
，即
，
故只需证
，
令
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
即当
时，
成立.
所以
，即
，故
.
19．（2025·浙江金华·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若方程
有且只有一个实数根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
或
.
【解析】（1）当
时，函数
的定义域为
，
求导得
，当
时，
，当
时，
，
所以当
时，函数
取得极小值
，无极大值.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数
取得极小值
，
①若
，当
时，
，函数
在
有唯一零点
；
当
时，
，函数
在
无零点，
因此当
时，
有唯一零点；
②若
，当
从大于0 的方向趋近于0 时，函数
的值趋近于负数
，
即当
时，
，函数
在
上无零点；
当
从大于
的方向趋近于
时，函数
的值趋近于正无穷大，
当
趋近于正无穷大时，函数
的值趋近于正无穷大，
则当且仅当
，
有唯一零点，由
，得
，即
，
令
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，因此
，
则方程
有唯一解
，于是
时，
有唯一零点，
所以实数
的取值范围为
或
.
