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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精讲）
考向一 无参函数的极值（点）
【例1-1】（2025 陕西）设函数
，则
A．
为
的极大值点
B．
为
的极小值点
C．
为
的极大值点
D．
为
的极小值点
【答案】D
【解析】因为
，所以
．
又
，所以
为
的极小值点．
【例1-2】（23-24 湖北）函数
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，
又
，
令
，则
或
，所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
．
故选：D．
【例1-3】（24-25 湖南）函数
的极值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】由题知
的定义域为
，且
.
当
时，
；
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的极小值为
，无极大值，
故选：A
【一隅三反】
1.（2024 云南）函数
的极值点为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
由
，即
，解得：
．由
，得
，由
，得
，
函数
在
处取得极大值，故选：A．
2.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．若
，求函数
的极值．
【答案】极小值为
，极大值为
【解析】
.
所以
或
时，
，
时，
，
则
在
上递减，在
递增，
所以
的极小值为
，极大值为
.
3.（24-25 宁夏）已知函数
.
(1)求
的图象在点
处的切线方程；
(2)求函数
的极值；
【答案】(1)
(2)极小值为
，无极大值
【解析】（1）
，
，故
的图象在点
处的切线为
，即
；
（2）
的定义域为
，由（1）知
，
令
得
，令
得
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
上取得极小值，极小值为
，无极大值；
4（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在点
处的切线与
轴垂直.
(1)求
的值；
(2)求
的极值.
【答案】(1)
(2)极大值
，
的极小值
【解析】（1）由题知
，
所以
.由题意可知
，解得
.
（2）由(1)知
，
，
令
，解得
，
易得当
时，
0；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
所以当
时，
取得极大值
，
当
时，
取得极小值
，
即
的极大值
，
的极小值
.
考向二 导函数图像与极值关系
【例2-1】（2024 陕西）已知函数
的导函数
的图象如图所示，那么对于函数
，下列
说法正确的是（ ）
A．在
上单调递增
B．在
上单调递减
C．在
处取得最大值
D．在
处取得极大值
【答案】D
【解析】由导函数图像可知，当
或
时，
，
当
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故选项A，B 错误；
在
处取得极大值，且
，故C 错误，D 正确；
故选：D.
【例2-2】（2025·辽宁）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间
上，
是增函数
B．在区间
上，
是减函数
C．
为
的极小值点
D．2 为
的极大值点
【答案】D
【解析】由导函数
的图像可知，
在区间
上为单调递减，在区间
上为单调递增，则选项
不正确；
在区间
上，
，则
是增函数，则选项
不正确；
由图像可知
，且
为单调递增区间，
为单调递减区间，则
为
的极大值点，则选
项
不正确；
由图像可知
，且
为单调递增区间，
为单调递减区间，则
为
的极大值点，则选项
正
确；
故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·广东·一模）已知函数
的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
是
的极大值点
C．当
时，
D．
在区间
上单调递减
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知：导函数在
，导函数的符号为正，函数
单调递增，A 正确；
时，
，函数
单调递增，
，
，函数
单调递减，
所以
是
的极大值点，B 正确；
在区间
上单调递减，D 正确；
当
时，函数
单调递增，可能
，所以C 不正确；
故选：C．
2．（23-24 高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数
的导函数
的图象，下列结论正确的是
（ ）
A．
在
处取得极大值
B．
是函数
的极值点
C．
是函数
的极小值点
D．函数
在区间
上单调递减
【答案】C
【解析】由图象可知：当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
故
是函数
的极小值点，
无极大值.
故选：C
3．（2025 北京）已知定义在R 上的函数f（x），其导函数
的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是
（ ）
A．
B．函数
在x＝c 处取得最大值，在
处取得最小值
C．函数
在x＝c 处取得极大值，在
处取得极小值
D．函数
的最小值为
【答案】C
【解析】由题图可知，当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
又a<b<c，所以
，故A 不正确．
因为
，
，且当
时，
；当c<x<e 时，
；
当x>e 时，
．所以函数
在x＝c 处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e 处取得极小值，不
一定是最小值，故B 不正确，C 正确．
由题图可知，当
时，
，所以函数
在[d，e]上单调递减，从而
，所以D 不正
确．
故选：C．
考向三 已知极值（点）求参数
【例3-1】（24-25 高三下·河北保定）已知
的一个极值点为2，则实数
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】
，令
0，得
或
，
又
的一个极值点为2，则
，解得
，经检验满足题意.故选：B.
【例3-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．6
B．12
C．24
D．12 或24
【答案】C
【解析】由题意知，
，又
在
处取得极值0，
则
，解得
或
，
当
时，
，
函数
在R 上单调递增，无极值，不符合题意；
当
时，
，
令
或
，
，
所以
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极小值，符合题意，
所以
，
，则
.故选：C.
【例3-3】（24-25 湖南）若
是函数
的极小值点，则
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
.
又
是函数
的极小值点，所以
，解得
或
.
当
时，
恒成立，函数
单调递增，不符合题意，舍去.
当
时，
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
是
的极小值点，所以
，
.
由以上分析知，当
时，
取得极大值，且
.故选：B.
【一隅三反】
1.（24-25 高三上·河北·期末）若函数
的极小值点为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，依题意
，所以
或
，
当
时，
，
为极大值点，
当
时，
，符合题意，故
，
故选：D.
2.（2025·江西·一模）已知
是函数
的极值点，则
（ ）
A．8
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设
，则
，可得
，
此时
且
，
所以
时
，
时
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
是
的极小值点，符合题意.
故
.
故选：D
3.（2025 湖北·阶段练习）若
在
处取得极大值
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
又
在
处取得极大值
，
，解得
或
，
当
，
时，
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
处取得极小值，与题意不符；
当
，
时，
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
处取得极大值，符合题意，则
，
故选：C.
4（24-25 高三上·江苏常州·期末）若函数
在
处取得极小值，则实数
（ ）
A．
B．2
C．2 或0
D．0
【答案】D
【解析】由
，则
，得
或2，
时，
，
在R 上单调递增，不满足；
时，
，在
上
，在
上
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，满足题设，
所以
.
故选：D
5.（24-25 河南商丘）已知函数
在
处取得极小值，则
的极大值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】由题得
，因为函数
在
处取得极小值，
所以
或
，
当
时，
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
处取得极小值，符合题意，
所以函数在
处取得极大值为
；
当
时，
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
处取得极大值，不符合题意；
综上
，
的极大值为4.
故选：A
6.（24-25 高三下·江苏南通·开学考试）已知函数
的极大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，
，
则
，
令
，解得
或
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，
在
上满足
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，
，解得
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，
在
上满足
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，
，不符合题意，
当
时，
，
在R 上单调递增，无极值，不符合题意，
综上所述，
.
考向四 已知极值点的个数求参
【例4-1】（24-25 高三下·四川乐山·期末）若函数
无极值，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
的导数为
，
函数
不存在极值点，
在R 上恒成立，即
恒成立，
，解得
，即实数a 的取值范围是
故选：B.
【例4-2】（2025·广东汕头·一模）设
，若函数
在
内存在极值点，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
在
内存在变号零点，而
不是
的零点，从而得
，
又
在
上递增，所以
.
故选：B
【例4-3】（2025·广东湛江·一模）已知函数
在区间
上存在唯一个极大值点，则m 的最
大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，由
在区间
上存在唯一个极大值点，
得
，解得
，所以m 的最大值为
.故选：A
【例4-4】（2025·河北邯郸·一模）已知函数
恰有一个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
因为函数
恰有一个极值点，所以
有一个变号实数根，
即
有一个变号的根，即
与
一个交点，且在该交点前后两函数的大小关系发生变
化，
令
，则
，
令
，函数单调递增，解得：
，
令
，函数单调递减，解得：
，则
，
有一根，即
，
当
，
时都有
当
时，
，所以
.综上所述，
的取值范围是
故选：C
【一隅三反】
1.（24-25 高三上·吉林长春·期末）已知函数
有两个极值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，且函数
有两个极值点，所以
有两个不等实
根，
所以
，解得
或
，故选：D
2．（24-25 高三下·浙江）若函数
在
上有且仅有两个极值点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，若
在
上有且仅有两个极值点，
则由
的图象可得
，解得
.故选：C.
3.（2025·陕西咸阳·一模）已知
在区间
内存在2 个极值点，则实数a 的取值范围为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，可知
在
内有2 个变号零点，
由
可得
，可知：
与
在
内有2 个交点，
又因为
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，则
，
且
，
，
结合图象可得
，所以实数a 的取值范围为
.故选：B.
4（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数
在
上无极值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得，
，故
，
因为函数
在
上无极值，所以
在R 上恒成立，
当
时，
，设
，则
，
当
时，得
，当
时，得
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
，故
，当
时，
，则
.综上，
.故选：D.
考向五 无参函数求最值
【例5】（24-25 高三上·江苏·期末）已知函数
，则
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以函数
的导函数为
，
令
，可得
或
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
。函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
又
，
，
所以
在区间
上的最大值为
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·甘肃兰州·一模）函数
在
上的最小值为 ．
【答案】
【解析】
，
令
，解得：
，
（舍），
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
则
，又因为
，
，
则函数
在
上的最小值为
.
故答案为：
.
2．（24-25 高三下·河南新乡·阶段练习）函数
的最大值是 ．
【答案】
【解析】由求导可得：
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上递减，在
上递增，
由于当
时，
，当
时，
，
所以可知函数
最大值为，
故答案为：.
3．（24-25 高三下·吉林长春·开学考试）函数
在区间
上的最大值为
【答案】
【解析】
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
∴函数
在
上递增，在
上递减，∴
的极大值为
，
又
，
，故所求最大值为
．
考向六 已知最值求参数
【例6-1】（2025 上海）若函数
在区间
上的最大值是4，则m 的值为( )
A．3
B．1
C．2
D．
【答案】B
【解析】
，令
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
或
，
故
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
从而
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，则
，
所以
在区间
上的最大值为
，解得
．
故选：B．
【例6-2】（24-25 高三·上海·随堂练习）函数
在区间
上存在最值，则实数a 的取值
范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
因为函数
，
在
上单调递增，
所以题中问题等价于
即
解得
，
故选：D.
【例6-3】（2025·江苏宿迁·二模）若函数
有最大值，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，则
，
当
时，
，此时，函数
单调递增，
当
时，
，此时，函数
单调递减，
则函数
在
处取得极大值，且极大值为
，
因为函数函数
有最大值，则
，解得
，
因此，实数
的最大值为
.
故选：
.
【一隅三反】
1．（2024 山东烟台·期末）若函数
在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a 的值为（ ）
A．－2
B．－1
C．2
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
当
时，
在
上恒成立，
所以
在
上递增，
所以
，解得
（舍去），
当
时，由
，得
或
，
当
时，
在
上恒成立，
所以
在
上递增，
所以
，解得
（舍去），
当
时，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以当
时，
取得最小值，所以
，解得
（舍去），
当
时，当
时，
，所以
在
上递减，
所以
，解得
，
综上，
，
故选：C
2（23-24 四川）若函数
在区间
上存在最值，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】
，
则当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
在
处取得最值，则有
，
解得
.
故选：C.
3.（23-24 高三下·福建·开学考试）已知函数
在区间
上存在最小值，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
．
当
时，得
或
，当
时，
，
可得函数的单调增区间为
，
．减区间为
，
即
时，函数取得极小值
，
当
时，即
，
解得
或
，
故要使函数
在区间
上存在最小值，
需有
，解得
，
即实数a 的取值范围为
故选：A．
4（2024·新疆·模拟预测）已知函数
存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，函数
单调递减，
无最小值；
当
时，函数
当
时，函数
，
所以
单调递增，当
时
，
要使函数
存在最小值，即
.
故选：C.
考向七 导数的综合运用
【例7-1】（24-25 高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数
在
处取得极大值，在
处
取得极小值，若
在
上的最大值为
，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
令
，可得
或
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以当
时，
取极大值，当
时，函数
取极小值，
所以
，
，故
，
又
，
，
，
当
时，令
可得，
，
所以
，
故
，解得
（舍去）或
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
【例7-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，当
时，记
在区间
的最
大值为
，最小值为
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由
求导得
，
若
，
在区间
单调递减，在区间
单调递增，
所以在区间
上的最小值为
，
而
，
，
所以在区间
上的最大值为
，
所以
，
设函数
，
，
当
时，
，从而
单调递减，
而
，所以
，即
的取值范围是
；
若
，
在区间
单调递减，在区间
单调递增，
所以在区间
上的最小值为
，
而
，
，所以在区间
上的最大值为
，
所以
，
而
，所以
，即
的取值范围是
，
综上得
的取值范围是
.
故答案为：
.
【一隅三反】
1.（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)求函数
在
上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
由
，得
，所以
；由
，得
，所以
，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最小值，
所以
的最小值为
，无最大值．
（2）由（1）知，函数
在
上单调递减，在
单调递增，
当
，即
时，
在
单调递减，
；
当
时，即
在
单调递减，
单调递增，
．
当
时，
在
单调递增，
；
综上所述
.
2.（2025 广东佛山）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)求
在
上的最小值.
【答案】(1)减区间
，增区间
，函数
有极小值
，无极大值
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
有极小值
，无极大值.
综上：
的减区间是
，增区间是
，极小值为0，无极大值.
（2）
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，所以
；
当
时，令
，得
，
（ⅰ）当
时，则
，所以
在
上单调递增，所以
；
（ⅱ）当
时，则
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
；
综上：当
时，
在
上的最小值为
；
当
时，
在
上的最小值为
.
3.（2024 吉林）已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
，求
在区间
的最小值.
【答案】(1)
，
(2)当
时
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
当
时
在R 上单调递增；
当
时
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
(3)
【解析】（1）当
时
定义域为R，
且
，
所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
即
，
；
（2）函数
定义域为R，则
，
令
，解得
或
，
①当
时，则当
或
时，
，
当
时，
，
所以
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
②当
时，
恒成立，所以
在R 上单调递增；
③当
时，当
或
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
综上可得当
时
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
当
时
在R 上单调递增；
当
时
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
（3）因为
，由（2）可得
的单调增区间为
，
，单调减区间为
，
若
，即
时
在
上单调递减，
所以
在
上的最小值为
，
若
，即
时，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
在
的最小值为
，
所以
.
