文档内容
5.3.2 极值与最值
思维导图
常见考法考点一 求极值及极值点
【例3】（2020·安徽滁州·高二期末（理））已知函数 在点 处的切线方
程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调区间和极值.
【答案】（1） ;（2）见解析.
【解析】（1） ，切线为 ，即斜率 ，纵坐标
即 ， ，解得 ，
解析式
（2） ，定义域为
得到 在 单增，在 单减，在 单增
极大值 ，极小值 .
【一隅三反】
1．（2020·重庆高二期末）函数 的极小值点为___________．
【答案】2
【解析】因为 ，所以 ，令 ，得
，
所以当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
所以 在 时取得极小值，
故填：2.
2．（2020·广东云浮·高二期末）函数 的极大值为__________．
【答案】
【解析】依题意得 .
所以当 时， ；当 时， ．
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
所以当 时，函数 有极大值 ．
故答案为： .
3．（2020·四川内江·高二期末（文））已知函数 .
（1）求 的单调区间和极值；
（2）若直线 是函数 图象的一条切线，求 的值.
【答案】（1）单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，极大值为 ，极小值为 ；（2） 或 .
【解析】（1） ，定义域为 ， .
令 ，解得 或 ；令 ，解得 .
所以，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
函数 的极大值为 ，极小值为 ；
（2）令 ，解得 或 ， ， ，
所以，切点坐标为 或 ，则有 或 ，解得 或 .
考点二 求最值点最值
【例2】．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（文））已知函数f（x）=x2（x-1）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．
【答案】(1) 的递增区间为 ，递减区间为 ．
(2) ， ．
最大值 最小值
【解析】（1）∵ ，
∴ ．
由 ，解得 或 ；
由 ，解得 ，所以 的递增区间为 ，递减区间为 ．
（2）由（1）知 是 的极大值点， 是 的极小值点，
所以 ， ，
极大值 极小值
又 ， ，
所以 ， ．
最大值 最小值
【一隅三反】
1．（2020·四川射洪中学高二期中（文））已知函数 ，曲线 在点
处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）求 在 上的最大值．
【答案】（1） ， ；（2）13
【解析】(1)依题意可知点 为切点，代入切线方程 可得， ，
所以 ，即 ，
又由 ，则 ，
而由切线 的斜率可知 ，∴ ，即 ，
由 ，解得 ，
∴ ， ．(2)由(1)知 ，则 ，
令 ，得 或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
－3 －2 1
＋ 0 － 0 ＋
8 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 4
∴ 的极大值为 ，极小值为 ，
又 ， ，所以函数 在 上的最大值为13．
2．（2020·霍邱县第二中学高二月考（文））已知函数 ( ).
（1）若 ，求 在 上的最小值和最大值；
（2）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）最小值是 ，最大值是 ；（2） .
【解析】（1） ，由 得 ，
解得 ，∴ ，
令 ，即 ，解得 或 ，极小值
∴ 在 上的最小值是 ，最大值是 ；
（2）由题意得： 在区间 上恒成立，∴ ，
又当 时， 是增函数，其最小值为 ，∴ ，
即实数 的取值范围是 .
3．（2020·山东中区·济南外国语学校高二月考）设函数 过点
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值.
【答案】（1）增区间 ， ，减区间 ，极大值 ，极小值 ．
（2）最大值 ，最小值 ．
【解析】（1）∵点 在函数 的图象上,∴ ,解得 ,∴
,∴ ,当 或 时, , 单调递
增;当 时, , 单调递减.∴当 时, 有极大值,且极大值为
,当 时, 有极小值,且极小值为（2）由1可得:函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.∴ ,
又 , ,∴
考点三 已知极值及最值求参数
【例3-1】（2020·霍邱县第二中学高二开学考试（文））已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a
的取值范围是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
【答案】B
【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（ ﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a= 时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜ 时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0， ）．
故选B．【例3-2】（2020·山东高三月考）已知函数 ．
（1）求 的极值；
（2）求 在 上的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
，
当 时， 恒成立，则 在 上是减函数，无极值；
当 时，令 ，解得 ，
则 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以当 时， 有极小值， ，无极大值，
综上，当 时， 无极值，当 时， 有极小值 ，无极大值；
（2）①当 时，由（1）知 在 上是减函数，
所以当 时， 有最大值 ；
②当 时，由（1）知 在 上是减函数，在 上是增函数，
（i）当 ，即 时， 在 上是增函数，
所以当 时， 有最大值 ；
（ii）当 即 时， 在 上是减兩数，在 上是增函数.若 ，即 时， 有最大值 ；
若 ，即 时， 有最大值 ；
（ⅲ）当 即 时， 在 上是减函数，
所以当 时， 有最大值 ，
综上所述，当 时， 有最大值 ；
当 时， 有最大值 .
【一隅三反】
1．（2020·重庆北碚·西南大学附中高二期末）已知函数 在 处取得极值，则 （
）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】C
【解析】 ，依题意 ，即 .
此时 ，所以 在区间 上递增，在区间 上递减，所以
在 处取得极大值，符合题意.
所以 .
故选：C2．（2020·山西应县一中高二期中（理））已知函数 的两个极值点分别在
（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，
f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，
由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，
即 ，令z＝2a﹣b，
∴转化为在约束条件为 时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），
目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（ ，0）处取得最大值 ，在（ ，0）处取得最小值
，
因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（ ， ）．
故选B．3．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））若函数 恰有
两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得： ，
因为函数 恰有两个极值点，
所以函数 有两个不同的零点.
令 ，等价转化成 有两个不同的实数根，
记： ，所以 ，
当 时， ，此时函数 在此区间上递增，
当 时， ，此时函数 在此区间上递增，
当 时， ，此时函数 在此区间上递减，
作出 的简图如下：要使得 有两个不同的实数根，则 ，即： ，
整理得： .
故选D
4．（2020·江苏溧水·高二期中）已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调增区间；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值．
【答案】（Ⅰ）(0， )，(1，＋∞) （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当 时， ，定义域为 ．
．
令 ，得 或 ．
列表如下＋ － ＋
↗ ↘ ↗
所以函数 的单调增区间为 和 ．
（Ⅱ） ．
令 ，得 或 ．
当 时，不论 还是 ，在区间 上， 均为增函数．
所以 ；
当 时，
－ 0 ＋
↘ 极小值 ↗
所以 ；
当 时，
1－
↘
所以 ．
综上， ．.
5．（2020·邢台市第二中学高二期末）设函数 （ ）.
（1）讨论函数 的极值；
（2）若函数 在区间 上的最小值是4，求a的值.
【答案】（1）当 时，函数 在R上无极值；当 时， 的极小值为 ，无极
大值.（2）
【解析】（1） .
当 时， ， 在R上单调递增；无极值
当 时， ，解得 ，
由 ，解得 .
函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，
的极小值为 ，无极大值
综上所述：当 时，函数 在R上无极值；当 时， 的极小值为 ，无极大值.
（2）由（1）知，当 时，函数 在R上单调递增，
∴函数 在 上的最小值为 ，即 ，矛盾.
当 时，由（1）得 是函数 在R上的极小值点.
①当 即 时，函数 在 上单调递增，
则函数 的最小值为 ，即 ，符合条件.
②当 即 时，函数 在 上单调递减，
则函数 的最小值为 即 ，矛盾.
③当 即 时，函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，
则函数 的最小值为 ，即 .
令 （ ），则 ，
∴ 在 上单调递减，
而 ，∴ 在 上没有零点，
即当 时，方程 无解.
综上，实数a的值为 .
