文档内容
2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 不等式的性质
【例1-1】（2022·浙江）已知 ， 是正实数，则下列式子中能使 恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，取 ，该不等式成立，但不满足 ；
对于C，该不等式等价于 ，取 ， ，该不等式成立，但不满足 ；
对于D，该不等式等价于 ，取 ， ，该不等式成立，但不满足 ；
下面证明B
法一：不等式等价于 ，而 .函数 在 上单增，故 .
法二：若 ，则 ，故 ，矛盾.故选：B
【例1-2】（2016·浙江）设实数 ， ， 满足 ， ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】选项A，要证 ，只需证 即可.
由题意可知 ，则 成立，则 成立.
要证 ，只需证
由题意可知 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ，即 成立
故选项A成立，不符合题意.
选项B，要证 ，只需证 即可.
由题意可知 ， 则 ， 成立.
所以 成立，即 .
要证 ，只需证 ，只需证
由题意可知 ， 则 ， ， ， .
所以 成立，即 成立.
故选项B成立，不符合题意.
选项C，要证 ，只需证 即可.
由题意可知 则 .
又因为 ，所以 .
所以 成立，即 .要证 ，只需证 即可
由题意可知 则 .
又因为 ，所以 .
所以 成立，即 成立.
故选项C成立，不符合题意.
选项D，令 ， ， 则
即 ，所以 不成立，符合题意.故选：D
【一隅三反】
1．（2022·福建·三模）若 ，则“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
对于A，当 ，取 ，明显可见， 不成立，故必要性不成立，A错误；
对于B，当 ， ，得 ，必要性成立；当 ，取 ，
，明显可见， ，则 不成立，充分性不成立；则B正确
对于C，当 ，取 ，明显可见， ，则 不成立，故必要性不
成立，则C错误；
对于D，当 成立，则 ，明显可见， 成立；当 ，两边平方，同样
有 ，充分性也成立，D错误；故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）若实数 ， ， 满足 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】实数 ， ， 满足 ，
所以对于 ：当 ， ， 时， 不成立，故 错误；
对于 ：当 ， ， 时， ，故 错误；
对于 ：由于 ，所以 ，故 ，故 正确；
对于 ：当 ， ， 时， 无意义，故 错误．故选： ．
3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 ，则 ，故A选项错误；
取 ， ， ，则B选项错误；
取 ， ，则 ， ，即 ，
故D选项错误；
关于C选项，先证明一个不等式： ，令 ， ，
于是 时 ， 递增； 时 ， 递减；
所以 时， 有极小值，也是最小值 ，于是 ，当且仅当 取得等号，
由 ，当 时，同时取对数可得， ，
再用 替换 ，得到 ，当且仅当 取得等号，
由于 ，得到 ， ， ，即 ，C选项正确. 故选：C.
考点二 不等式恒成立
【例2-1】（2022·海南·嘉积中学）对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，由 得： ， （当且仅当 ，即 时取等
号）， ，解得： ，即 的取值范围为 .选：D.
【例2-2】（2022·重庆·高三阶段练习）若关于 的不等式 对任意 恒成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 .
（1）当 时，则 ，
令 ， .故 .
（2）当 时，则 ，令①当 时， ，则
②当 时， ，则 故
（3）当 时，则 在 上恒成立，故 .综上所述： 故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，对一切 均大于0恒成立，
所以 ，或 ，或 ，
解得 或 ， ，或 ，综上，实数 的取值范围是 ，或 .故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 的解集为R，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵不等式 的解集为R，当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，
故a＝2符合题意；
当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式 的解集为R，则 ，解得 ，
综合①②可得，实数a的取值范围是 ．故选：B．
3．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若不等式 对一切 恒成立，则 ，即
， 在 单调递增， ，所以 .故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 对任意的 恒成立，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由选项可知 ，故原不等式等价于 ，
当 时，显然不满足题意，故 ，由二次函数的性质可知，此时必有 ，即 ，故选：B
考点三 一元二次方程（不等式）根的分布
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）关于 的一元二次方程： 有两个实数根 、 ，则
=（ ）A． B． C．4 D．-4
【答案】D
【解析】由 有两个实数根 ，可得 ，
所以 ．故选：D．
【例3-2】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，所以原不等式的解集
为 ，又解集中的整数有且仅有1，2，3，所以 解得： ，即
，
故答案为： ．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）若 和 分别是一元二次方程 的两根，则 的是
______.
【答案】
【解析】由韦达定理： ， ， 故答案为： .2．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 的解集中恰有 个正整数，则实数
的取值范围为______
【答案】
【解析】解：因为不等式 的解集中恰有 个正整数，
即不等式 的解集中恰有 个正整数，所以 ，所以不等式的解集为 ，
所以这三个正整数为 ，所以 ，故答案为： .
3．（2021·全国·专题练习）已知方程 有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于
2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令
由题可知：
则 ，即 故选：C
4．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知实数 ，关于 的不等式 的解集
为 ，则实数a、b、 、 从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由题可得： ， .由 ， ，设 ，则 .所以
，所以 ， .又 ，所以 ，
所以 .故 ， .又 ，故 .故选：A.
考点四 比较大小
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，构造函数 ， ，
令 ，则 ，∴ 在 上单减，∴ ，
故 ，所以 在 上单减，
∴ ，
同理可得 ，故 ，故选：C.
【例4-2】．（2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选）已知 ， ， （其中 为自然对数
的底数），则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】令 ， ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 ；故选：AD
【一隅三反】
1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
又因为 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 且 ，所以 ，所以 ，故选：B.
2．（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足 ，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .
取 ， ，得 ，故A选项不正确；
取 ， ，得 ，所以 ，故B选项不正确；取 ， ，得
，故C选项不正确；当 时，则 ，所以 ，所以 ，
当 时，则 ， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，综上得D选项正确，
故选：D.
3．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， 为单调递增函数，故 ，由于 ，故 ，或
，
当 时， ，此时 ；
，故 ；
， ；
当 时， ，此时 ， ，故 ；
， ；
故ABC均错误；
D选项， ，两边取自然对数， ，因为不管 ，还是 ，均有
，所以 ，故只需证 即可，
设 （ 且 ），则 ，令 （ 且 ），则，当 时， ，当 时， ，所以 ，所以
在 且 上恒成立，故 （ 且 ）单调递减，因为 ，所以 ，
结论得证，D正确故选：D
考点五 解含参的一元二次不等式
【例5】（2022·全国·高三专题练习）解关于 的不等式 ．
【答案】答案见解析
【解析】若 ，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1．
若 ，原不等式等价于 ，解得 或x>1．
若 ，原不等式等价于 ．
①当 时， ， 无解；
②当 时， ，解 ，得 ；
③当 时， ，解 ，得 ；
综上所述，当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为{x|x>1}；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式： ，当 时解不等式．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】原不等式可变形为： ，当 时， ，所以 ，即原不等式的解集为 ；
当 时， ，所以 ，即原不等式的解集为 ；
当 时， ，令 ，所以 ，
若 时， ，所以原不等式的解集为 ，
若 时， ，所以原不等式的解集为 ，
若 时， ，所以原不等式的解集为 ，
综上可知： 时，原不等式的解集为 ；
时，原不等式的解集为 ；
时，原不等式的解集为 ；
时，原不等式的解集为 ．
2．（2022·上海·高三专题练习）解关于 的不等式： .
【答案】答案见解析
【解析】当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ，或 ；
当 时， ，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，此时无解；
当 时， ，不等式化为 ，解得 ；
综上， 时，不等式的解集是 ；时，不等式的解集是 或 ；
时，不等式的解集是 ；
时，不等式无解；
时，不等式的解集是 .
3．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 （1） ， ，求 的最小值．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2） ．
【解析】（1）由题意可得 ，即为 ，
即 ，
当 时， ，由 ，解得 或 ；
当 时， ，可得 ；
当 时， ，由 ，解得 ；
当 时， ，由 ，解得 ．
综上可得， 时，解集为 或 ； 时，解集为 ；
时，解集为 ； 时，解集为 ；
（2）由 ， ，可得 ， ，
可得 ，当 时， ，可得 的最小值为 ，当且仅当 ， 时等号成立；
当 时， ，可得 的最小值为 ，当且仅当 ， 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
