专题3.5 导数之三次函数
3.5.1 三次函数的单调性、极值、零点
知识点梳理
1.三次函数的一般形式：f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0 )，其导函数为
f '( x)=3a x
2+2bx +c (a≠0 )，其Δ= 4 b
2−12ac = 4(b
2−3ac).
（1）三次函数的单调性、极值
①若b
2−3ac≤0，当a>0时，f ( x)在R上单调递增；当a<0时，f ( x)在R上单调递
减.f ( x)均无极值.
②若b
2−3ac>0
，记：x1= −b−
❑√b
2−3ac
3a
, x2= −b+
❑√b
2−3ac
3a
.
当a>0时，f ( x)在(−∞, x1), ( x2,+∞)上单调递增，在( x1, x2)上单调递减，
f ( x)极大值= f ( x1), f ( x)极小值= f ( x2).
当a<0时，f ( x)在(−∞, x1), ( x2,+∞)上单调递减，在( x1, x2)上单调递增.
f ( x)极小值= f ( x1), f ( x)极大值= f ( x2).
（2）三次函数的零点的判断
①若b
2−3ac≤0，则f ( x)为单调函数，故f ( x)在R上有且仅有一个零点.
②若b
2−3ac>0，
当f ( x1)f ( x2)>0，则f ( x)有且仅有一个零点.
当f ( x1)f ( x2)=0，则f ( x)有两个零点；且其中一个零点恰为极值点.
当f ( x1)f ( x2)<0，则f ( x)在三个单调区间各有一个零点，共三个零点.
2.三次函数的韦达定理：若三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)有三个零点
x1, x2, x3,则:{
x1+x2+x3=−b
a
x1x2+x2x3+x3x1=c
a
x1x2x3=−d
a
)
.
典型例题
例1.（多选）设函数f ( x)= 1
2 x
3−2 x
2+2 x，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0）
B．方程f（x）＝3 有唯一正实数解
C．方程f（x）＝﹣1 有唯一负实数解
D．f（x）＝1 有负实数解
解：由题意可知，函数f ( x)= 1
2 x
3−2 x
2+2 x = 1
2 x( x
2−4 x + 4)= 1
2 x( x−2)
2，
f'（x）= 3
2
x2﹣4x+2= 1
2
（3x﹣2）（x﹣2），
对于A，当x＝2 时，f（x）＝f'（x）＝0，故正确；
令1
2
x3﹣2x2+2x= 3
2
x2﹣4x+2，
因为f'（x）= 1
2
（3x﹣2）（x﹣2），
所以当x∈（﹣∞，2
3
）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（2
3
，2）时，f'（x）＜0，
所以函数y＝f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2
3
），（2，+∞），单调递减区间为（2
3
，
2），
如图所示：
所以f（x）极大值＝f（2
3）= 16
27 ，f（x）极小值＝f（2）＝0，
所以方程f（x）＝3 有唯一正实数解，故B 正确；
方程f（x）＝﹣1 有唯一负实数解，故C 正确；
f（x）＝1 有唯一正数解，故D 错误．故选：ABC．
例2.已知三次函数f(x)=2x
3+a x
2+6x+1的极小值点为b，极大值点为2b，则a+b等于
（ ）
A. 4 ❑√2 B.
4
−
❑√2 C. ±4 ❑√2 D. ±5❑√2
解：由题意，得f
′( x)=6 x
2+2ax +6.
关于x的一元二次方程6 x
2+2ax +6=0的两根为b,2b.
又极小值点为b，极大值点为2b，所以2b<b，即b<0.
由根与系数的关系得到{
3b=−a
3
2b
2=1 )
.
所以b=−
❑√2
2
，a=−9b，得到a+b=−8b= 4 ❑√2.故选：A.
例3.已知函数f(x)=a x
3+ bx
2+cx+d在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则
c
a+b
的取值范围是 .
解: ∵函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d 在R上是增函数,
∴f
′( x)=3a x
2+2bx +c ≥0恒成立,
∴a>0 且Δ= 4 b
2−12ac≤0, 即 b
2≤3ac,
∵ 存在垂直于y轴的切线,
∴f
′( x)=3a x
2+2bx +c =0有解,
∴Δ= 4 b
2−12ac≥0, 即b
2≥3ac,
∴b
2=3ac
, 且a>0,
∴
c
a+b =
b
2
3a
a+b =
1
3 ⋅b
2
a
2+ab
，
当b=0时, 此时c
a+b =0，当b≠0时,
c
a+b =
1
3 ⋅b
2
a
2+ab
= 1
3 ⋅
1
a
2
b
2 + a
b
，
设a
b =t,则a
2
b
2 + a
b =t
2+t =(t + 1
2)
2
−1
4 ≥−1
4 且≠0，
∴
1
a
2
b
2 + a
b
∈(−∞,−4 ]∪(0,+∞)，即c
a+b ∈(−∞,−4
3)∪(0,+∞),
综上所述c
a+b ∈(−∞,−4
3)∪[0,+ ∞).
故答案为: (−∞,−4
3)∪[0,+ ∞).
例4.已知f(x)={
|2x+1|,
x<1
log2(x
1),
−
x>1)，g(x)为三次函数，其图象
如图所示.若y=f(g(x))−m有9个零点，则m的取值范围是 .
解：作出f ( x)的图像如图所示，由g( x)的图像可知，
g( x) 的极大值为g(0)=m+2，极小值为g(2)=m−3，
y = f (g( x))−m有9 个零点，令t = g( x)，结合f ( x)和g( x)的图像可知，
f (t )=m有3 个解，
分别设为t1,t2,t3，且t1<t2<t3，
且每个t对应都有3 个满足g( x)=t，
欲使y = f (g( x))−m有9 个零点，
由图可知：0<m<3，
且t1∈(−2,−1
2)
，t2∈(−1
2 ,1)
，t3∈(2,9)，
由函数f ( x)的解析式知：t1=−m+1
2
,t2= m−1
2
,t3=2
m+1,
由g( x)图像可知，t1,t2,t3∈(m−3,m+2)，
则{
m−3<−m+1
2
<m+2
m−3< m−1
2
<m+2
m−3<2
m+1<m+2
0<m<3
)
解得{
−5
3 <m< 5
3
−5<m<5
0<m<1
0<m<3 )
.得0<m<1.
例5.( 多选题) 已知三次函数f(x)=a x
3+x
2+cx+1
27
有三个不同的零点
x1,x2,x3(x1<x2<x3),函数 g(x)=f(x) 1
−.则（ ）
A. 3ac<1
B. 若x1,x2,x3成等差数列,则a∈( 1,0)∪(0,1)
−
C. 若g(x)恰有两个不同的零点m ,n(m <n), 则2m +n=−1
3a
D. 若g(x)有三个不同的零点t1,t2,t3(t1<t2<t3), 则x1
2+x2
2+x3
2=t1
2+t2
2+t3
2
解:因为 f ( x)=a x
3+ x
2+cx + 1
27 ,所以 f
′( x)=3a x
2+2 x +c ,a≠0,
所以 f
″( x)=6ax +2, 令 f
″( x)=0 得 x =−1
3a ,所以对称中心为 (−1
3a ,f(−1
3a)).
对于 A:因为函数 f ( x) 有三个零点,所以 f ( x) 必有两个极值点,
所以 Δ= 4−12ac>0, 即 3ac<1, 故 A 正确;
对于 B:由 x1, x2, x3 成等差数列, 及三次函数的中心对称性可知 x2=−1
3a ,
所以 f ( x2)= f(−1
3a)= 2+a
2−9ac
27a
2
=0,又 ac< 1
3 ,所以 2+a
2=9ac<3,
所以 a
2<1,所以 a∈(−1,0)∪(0,1), 故 B 正确;
对于 C:g( x)=0, 即 a x
3+ x
2+cx−26
27 =0,
若 g( x) 恰有两个零点, 则零点中必有一个是极值点.
若 m 为极值点 (即 m 为重根), 则该方程的三个根为 m,m,n,
由一元三次方程的韦达定理可得 2m+n=−1
a ,
若 n 为极值点, 同理可得 m+2n=−1
a , 故 C 错误;
对于 D:由韦达定理可得{
x1+ x2+ x3=t1+t2+t3=−1
a
x1 x2+ x2 x3+ x3 x1=t1t2+t2t3+t3t1= c
a)
.
得:( x1+ x2+ x3)
2−2( x1 x2+ x2 x3+ x3 x1)=(t1+t2+t3)
2−2(t1t2+t2t3+t3t1).
即 x1
2+ x2
2+ x3
2=t1
2+t2
2+t3
2, 故 D 正确.
故选: ABD.
随堂演练
1.（多选）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（ ）
A．若f（x）min＝f（1），则a＝1
B．若f（x）min＝f（1），则a=−1
3
C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减
D．若a=−1
3
，则f（x）在（1，3）上单调递增
解：易知f（x）的定义域为[0，+∞），
可得f′（x）＝3x2﹣2x﹣a，
若f（x）min＝f（1），所以x＝1 是f（x）的极小值点，
此时f′（1）＝3﹣2﹣a＝0，解得a＝1，
则f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）（x≥0），
当0≤x＜1 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f（1），
则a＝1，故选项A 正确，选项B 错误；
若a＝1，此时f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），
当0＜x＜1 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故选项C 正确；
若a=−1
3
，此时f ′( x)=3 x
2−2 x + 1
3 = 1
3 (3 x−1)
2( x ≥0)，
当1＜x＜3 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故选项D 正确．
故选：ACD．
2.三次函数f(x)= m x
3−x在( ∞,+∞)
−
上是减函数，则m的取值范围是（ ）
A. m <0 B. m <1 C. m ≤0 D. m ≤1
解：对函数f ( x)=m x
3−x求导，得f
′( x)=3m x
2−1，
∴ 函数f ( x)在(−∞,+∞)上是减函数,
∴f
′( x)≤0在R上恒成立即3m x
2−1≤0恒成立,
∴{
3m<0
Δ=12m≥0)，解得m≤0,
又当m=0时, f ( x)=−x不是三次函数,不满足题意,
∴m<0故选: A.
3.函数f(x)=x
3
3
−x
2+1是减函数的区间为（ ）
A. ( ∞,2)
−
B. (0,2) C. ( ∞,0)
−
D. (2,+∞)
解：∵函数f ( x)= x
3−3 x
2+1,
∴f
′( x)=3 x
2−6 x,由f
′( x)<0即3 x
2−6 x<0
,解得0< x<2,
所以函数的减区间为(0,2),故答案为: (0,2).
4.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)
2(x−b)的极大值点，则（ ）
A. a<b B. a>b C. ab<a
2 D. ab>a
2
解: 令 f ( x)=0, 解得 x =a 或 x =b, 即 x =a 及 x =b 是 f ( x) 的两个零点.
当 a>0 时, 由三次函数的性质可知, 要使 x =a 是 f ( x) 的极大值点, 则函数 f ( x)
的大致图象如图1 所示，则 0<a<b.
图1 图2
当 a<0 时, 由三次函数的性质可知, 要使 x =a 是 f ( x) 的极大值点, 则函数 f ( x)
的大致图象如图2 所示:则 b<a<0.
综上, ab>a
2.故选: D.
5. 已知m ,n,p∈R, 若三次函数f(x)=x
3+ m x
2+nx+p有三个零点a,b,c, 且满足
f( 1)=
−
f(1)<−1, f(0)=f(2)> 1
3
,则1
a +1
b +1
c
的取值范围是（ ）
A. (
1
3 ,1)
B. (
1
4 , 1
3)
C. (
1
4 ,1
2)
D. (2,3)
解: ∵f (−1)= f (1)<−1,f (0)= f (2)> 1
3
，
∴{
−1+m−n+ p=1+m+n+ p
p=8+ 4 m+2n+ p
)
，解得：{
m=−3
2
n=−1)
，
代入得：f ( x)= x
3−3
2 x
2−x + p,从而{
p> 1
3
−1−3
2 +1+ p<−1)
,
解得：1
3 < p< 1
2 ,
设三次函数的零点式为 f ( x)=( x−a)( x−b)( x−c),
比较系数得: ab+bc +ca=−1,abc =−p,
故1
a + 1
b + 1
c = ab+bc +ca
abc
= −1
−p = 1
p ∈(2,3).故选: D.
6.一般地, 对于一元三次函数 f(x), 若f
″(x0)=0, 则(x0,f(x0))为三次函数f(x)
的对称中心, 已知函数f(x)=x
3+a x
2+1图像的对称中心的横坐标为x0(x0>0), 且f(x)
有三个零点,则实数a的取值范围是（ ）
A. (
∞,
−
−
3❑√2
2
) B. ( ∞,0)
−
C. ( 1,0)
−
D.
(−3❑√2
2
, 1
−)
解：f
′( x)=3 x
2+2ax，f
″( x)=6 x +2a，
令f
″( x)=0，解得x0=−a
3 >0，则有a<0，
又f
′( x)=3 x(x + 2a
3 )
，令f
′( x)>0
，解得当x<0或x>−2a
3
，令f
′( x)<0
，解得
0< x<−2a
3
，
∴函数f ( x)在(−∞,0), (−2a
3 ,+ ∞)
上单调递增，在(0,−2a
3 )
上单调递减，
∴f ( x)的极大值为f (0)=1，f ( x)的极小值为f(−2a
3 )= 4 a
3
27 +1，
又函数f ( x)有三个零点，即函数y = f ( x)的图象与x轴有三个公共点，
由三次函数图象与性质知，{
f (0)>0
f(−2a
3 )<0)
.
于是得4 a
3
27 +1<0，解得a<−3 ❑√2
2
.
综上得：a<−3 ❑√2
2
，即实数a的取值范围是(−∞,−3 ❑√2
2 )
．故选：A．
7.函数f(x)=x
3
15
−
x
2
33
−
x+6的单调减区间为 .
解：f
′( x)=3 x
2−30 x −33=3( x
2−10 x −11)=3( x +1)( x −11)<0,
解得−1< x<11，故减区间为(−1,11).
故答案为：(−1,11).
8. 已知函数f(x)=a(x−x1)(x−x2)(x−x3) (a>0) ，设曲线y=f(x)在点
(xi,f(xi))处切线的斜率为ki (i=1,2,3)，若x1,x2,x3均不相等，且k2= 2
−，则
k1+4k3的最小值为 .
解：f ( x)=a( x−x1)( x−x2)( x−x3)(a>0)，
即为f ( x)=a[x
3−x
2( x1+ x2+ x3)+ x( x1 x2+ x2 x3+ x1 x3)−x1 x2 x3),
可得f ( x)的导数为f
′( x)=a[3 x
2−2 x( x1+ x2+ x3)+( x1 x2+ x2 x3+ x1 x3)),
则k2=a[3 x2
2−2 x2( x1+ x2+ x3)+( x1 x2+ x2 x3+ x1 x3))=a( x2−x1)( x2−x3)=−2.
由a>0,可得( x1−x2)( x2−x3)>0,
k1=a( x1−x3)( x1−x2)= 2( x1−x3)
x2−x3
,
k3=a( x3−x1)( x3−x2)= 2( x1−x3)
x1−x2
,
则k1+ 4 k3= 2( x1−x3)
x2−x3
+ 8( x1−x3)
x1−x2
=2( x1−x3)(
1
x2−x3
+
4
x1−x2)
=2[( x1−x2)+( x2−x3))(
1
x2−x3
+
4
x1−x2)
=2[5+ x1−x2
x2−x3
+ 4( x2−x3)
x1−x2 )
≥2(5+ 4)=18.
当且仅当 x1−x2
x2−x3
= 4( x2−x3)
x1−x2
时，即x1−x2=2( x2−x3)=± 2❑√a
a
时, 取得等号.
故答案为: 18.
9.已知函数f(x)=x
3−x
2+ax+1.
（1）讨论f(x)的单调性.
（2）求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
解：(1)f
′( x)=3 x
2−2 x +a, Δ= 4−12a.
①当Δ≤0，即a≥1
3
时，由于f
′( x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f
′( x)≥0，则
f ( x) 在R上单调递增；
②当Δ>0，即a< 1
3
时，令f
′( x)=0，解得x1= 1−❑√1−3a
3
, x2= 1+ ❑√1−3a
3
.
令f
′( x)>0
，解得x< x1
或x> x2
；令f
′( x)<0
，解得x1< x< x2
.
∴f ( x)在(−∞, x1), ( x2,+ ∞)单调递增，在( x1, x2)单调递减.
综上，当a≥1
3
时，f ( x)在R上单调递增；当a< 1
3
时，f ( x)在(−∞, 1−❑√1−3a
3
)
,
(
1+ ❑√1−3a
3
,+ ∞)
单调递增，在(
1−❑√1−3a
3
, 1+ ❑√1−3a
3
)
单调递减.
(2) 设曲线y = f ( x)过坐标原点的切线为l，切点为( x0, x0
3−x0
2+a x0+1)，
f
′( x0)=3 x0
2−2 x0+a.则切线方程为y −( x0
3−x0
2+a x0+1)=(3 x0
2−2 x0+a)( x −x0).
将原点代入切线方程有2 x0
3−x0
2−1=0，解得x0=1.
∴ 切线方程为y =(a+1)x.
令x
3−x
2+ax +1=(a+1)x，即x
3−x
2−x +1=0
，解得x =1或x =−1.
∴ 曲线y = f ( x)过坐标原点的切线与曲线y = f ( x)的公共点的坐标为(1,a+1)和
(−1,−a−1).
10.已知三次函数f(x)的导函数f
′(x)=3x
2
3
−ax, f(0)= b, a,b为实数.
（1）若曲线y=f(x)在点(a+1,f(a+1))处切线的斜率为12, 求a的值.
（2）若f(x)在区间[ 1,1]
−
上的最小值、最大值分别为2
−、1,且1<a<2,求函数f(x)
的解析式.
解: (1) 由导数的几何意义可得：f
′(a+1)=12，
∴3(a+1)
2−3a(a+1)=12，则3a=9，∴a=3，
(2) ∵f
′( x)=3 x
2−3ax ,f (0)=b，
∴f ( x)= x
3−3
2 a x
2+b，
由f
′( x)=3 x( x−a)=0
得x1=0, x2=a
∵x∈[−1,1],1<a<2，
∴当x ∈[−1,0)时,f
′( x)>0,f ( x)递增;当x ∈(0,1]时,f
′( x)<0,f ( x)递减
.
∴f ( x)在区间[−1,1]上的最大值为f (0),
∵f (0)=b，∴b=1，
∵f (1)=1−3
2 a+1=2−3
2 a,f (−1)=−1−3
2 a+1=−3
2 a，
∵f (−1)<f (1)，∴f (−1)是函数f ( x)的最小值,
∵−3
2 a=−2，∴a= 4
3
，∴f ( x)= x
3−2 x
2+1.
3.5.2 三次函数的对称性
知识点梳理
三次函数是中心对称曲线，其图像关于点(−b
3a ,f(−b
3a))
中心对称.
相关性质：
①三次函数f ( x)的对称中心(−b
3a ,f(−b
3a))
的横坐标为二阶导数f
″( x)=6ax +2b
的零点,则点(−b
3a ,f(−b
3a))
为f ( x)拐点.
②若已知三次函数f ( x)的对称中心, 则其解析式可设为
f ( x)=a(x + b
3a)
3
+ k(x + b
3a)+ f(−b
3a)
.
典型例题
例1.（多选）设函数f ( x)=2 x
3−3a x
2+1,则（ ）
A. 当a>1时,f(x)有三个零点
B. 当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a,b, 使得x= b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
解：A 选项，f
′( x)=6 x
2−6ax =6 x( x−a)，由于a>1，
故x∈(−∞,0)∪(a,+ ∞) 时 f
′( x)>0，故f ( x) 在(−∞,0), (a,+∞)上单调递增，
x∈(0,a) 时，f
′( x)<0，f ( x)单调递减，则f ( x)在x =0处取到极大值，在x =a处取到
极小值，由f (0)=1>0，f (a)=1−a
3<0，则f (0)f (a)<0，根据零点存在定理f ( x)在
(0,a) 上有一个零点，又f (−1)=−1−3a<0，f (2a)= 4 a
3+1>0
，则f (−1)f (0)<0，
f (a)f (2a)<0，则f ( x)在(−1,0), (a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f ( x)有三个
零点，A 选项正确；
B 选项，f
′( x)=6 x( x −a)，a<0时，x∈(a,0)，f
′( x)<0，f ( x)单调递减，
x∈(0,+ ∞)时 f
′( x)>0，f ( x)单调递增，此时f ( x)在x =0处取到极小值，B 选项错
误；
C 选项，假设存在这样的a,b，使得x =b为f ( x)的对称轴，即存在这样的a,b使得
f ( x)= f (2b−x)，即2 x
3−3a x
2+1=2(2b−x)
3−3a(2b−x)
2+1，根据二项式定理，
等式右边(2b−x)
3展开式中x
3的项为−2 x
3，于是等式左右两边x
3的系数都不相等，原等
式不可能恒成立，于是不存在这样的a,b，使得x =b为f ( x)的对称轴，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简
f (1)=3−3a，若存在这样的a，使得(1,3−3a)为f ( x)的对称中心，
则f ( x)+ f (2−x)=6−6a.
事实上，f ( x)+ f (2−x)=2 x
3−3a x
2+1+2(2−x)
3−3a(2−x)
2+1
=(12−6a)x
2+(12a−24)x +18−12a
于是6−6a=(12−6a)x
2+(12a−24)x +18−12a.要使上式恒成立，
则{
12−6a=0
12a−24 =0
18−12a=6−6a)
，解得a=2，即存在a=2使得(1,f (1))是f ( x)的对称中心，D 选项
正确.
方法二： 直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
f ( x)=2 x
3−3a x
2+1,f
′( x)=6 x
2−6ax ,f
″( x)=12 x −6a，
由f
″( x)=0⇔x = a
2
，于是该三次函数的对称中心为(
a
2 ,f(
a
2))
.由题意(1,f (1))也是对称
中心，故a
2 =1⇔a=2，即存在a=2使得(1,f (1))是f ( x)的对称中心，D 选项正确.故选
AD.
例2.设函数y = f
″( x)是y = f
′( x)的导函数. 某同学经过探究发现, 任意一个三次函数
f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)的图像都有对称中心( x0,f ( x0)),其中x0
满足f
″( x0)=0. 已
知三次函数f ( x)= x
3+2 x +2
,若x1+ x2=0, 则f ( x1)+ f ( x2)= .
解：因为三次函数f ( x)= x
3+2 x +2，
所以f
′( x)=3 x
2+2，
所以f
″( x)=6 x，令f
″( x)=0得x =0，
所以三次函数f ( x)= x
3+2 x +2的图像的对称中心为(0,2)，
所以f (−x)+ f ( x)= 4，即若x1+ x2=0，则f ( x1)+ f ( x2)= 4.故答案为：4.
随堂演练
1.（多选）已知函数f ( x)= x
3−3 x +3，则（ ）
A. f ( x)有两个极值点 B. 点(0,3)是曲线y = f ( x)的对称中心
C. f ( x)有三个零点 D. 若方程f ( x)=k有两个不同的根，则k =1或5
解：由f
′( x)=3(x
2−1)，则x<−1或x>1时，f
′( x)>0，−1< x<1 时，f
′( x)<0，
所以f ( x)在(−∞,−1)、(1,+ ∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，
所以−1,1分别是f ( x)的极大值点、极小值点，A对；
f(−x)=−x
3+3x+3，则f ( x)+ f (−x)=6，故点(0,3)是曲线y = f ( x)的对称中心，B
对；
由f (−1)=5,f (1)=1,f (−3)=−15，结合单调性知：f ( x)在(−3,−1)存在一个零点，
其它位置无零点，C错；
若方程f ( x)=k有两个不同的根，由上分析知：k =1或5，D对.故选：ABD.
2.（多选）已知函数f(x)=x
3−x+1，则（ ）
A. f ( x)有两个极值点 B. f ( x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y = f ( x)的对称中心 D. 直线y =2 x是曲线y = f ( x)的切线
解: f ( x)= x
3−x +1⇒f
′( x)=3 x
2−1, 令f
′( x)=0得: x =±
❑√3
3
,
f
′( x)>0⇒x<−
❑√3
3 或x>
❑√3
3 ;f
′( x)<0⇒−
❑√3
3 < x<
❑√3
3
，
所以f ( x)在(−∞,−
❑√3
3 )
上单调递增,在(−
❑√3
3 ,
❑√3
3 )
上单调递减,在(
❑√3
3 ,+ ∞)
上单调递
增,
所以 f ( x) 有两个极值点 (x =−
❑√3
3
为极大值点, x =
❑√3
3
为极小值点), 故A 正确;
又f(−
❑√3
3 )=−
❑√3
9 −(−
❑√3
3 )+1=1+ 2❑√3
9
>0,f(
❑√3
3 )=
❑√3
9 −
❑√3
3 +1=1−2❑√3
9
>0,
而x→−∞时f ( x)→−∞; x→+ ∞时f ( x)→+ ∞;
所以f ( x)仅有1 个零点(如图所示), 故B 错;
又f (−x)=−x
3+ x +1⇒f (−x)+ f ( x)=2
, 所以f ( x)关于(0,1)对称, 故C 正确;
对于D 选项, 设切点 P( x0, y0), 在P处的切线为y −( x0
3−x0+1)=(3 x0
2−1)( x −x0),即
y =(3 x0
2−1)x −2 x0
3+1,若y =2 x−1是其切线,
则{
3 x0
2−1=2
−2 x0
3+1=−1)
，
则x0=1, 此时切点为(1,1), 切线方程直线y =2 x−1, 所以D 正确.故选: ACD.
3.（多选）函数f ( x)= x
3−a x
2−x +1，则下列结论正确的是（ ）
A. 若函数f ( x)在(−1
2 , 1
3)
上为减函数，则−1≤a≤1
4
B. 若函数f ( x)的对称中心为(1,−2)，则a= 3
2
C. 当a=1时，若f ( x)=m有三个根x1, x2, x3，且x1< x2< x3，则x1< 9m−16
16
D. 当a=1时，若过点(−1,n)可作曲线y = f ( x)的三条切线，则0<n< 64
27
解：对选项 A: f ( x)= x
3−a x
2−x +1, f
′( x)=3 x
2−2ax−1.
函数在(−1
2 , 1
3 )上为减函数, 则{
f
′(−1
2 )= 3
4 +a−1≤0
f
′( 1
3 )= 1
3 −2
3 a−1≤0)
解得−1≤a≤1
4
, 正确;
对选项B: 函数f ( x)的对称中心为(1,−2), 则f (1)=1−a+1+1=−2, a=3, 错误;
对选项C: f ( x)= x
3−x
2−x +1, f
′( x)=3 x
2−2 x−1=3( x + 1
3 )( x−1);
当x∈(−∞,−1
3 ) 时, f
′( x)>0, 函数单调递增;
当x∈(−1
3 ,1) 时, f
′( x)<0, 函数单调递减;
当x∈(1,+∞) 时, f
′( x)>0, 函数单调递增;
f (−1
3 )= 32
27
, f (1)=0, f (−1)=0, 故 0<m< 32
27
, x1∈(−1,−1
3 );
要证x1< 9m−16
16
, 即 16 x1<9( x1
3−x1
2−x1+1)−16;
整理得到( x1+1)(3 x1+1)(3 x1−7)>0, x1∈(−1,−1
3 ), 不等式成立, 正确;
对选项D: 设切点为( x0, y0), 则 y0= x0
3−x0
2−x0+1, k = f
′( x0)=3 x0
2−2 x0−1,
则切线方程为y −( x0
3−x0
2−x0+1)=(3 x0
2−2 x0−1)( x−x0),
将(−1,n)代入上式, 整理得n=−2 x0
3−2 x0
2+2 x0+2, 方程有三个不同解;
设g( x)=−2 x
3−2 x
2+2 x +2, 则 g
′( x)=−6 x
2−4 x +2=−2( x +1)(3 x −1);
当x∈(−∞,−1) 时, g
′( x)<0
, 函数单调递减;
当x∈(−1, 1
3 ) 时, g
′( x)>0, 函数单调递增;
当x∈( 1
3 ,+∞) 时, g
′( x)<0, 函数单调递减;
极小值g(−1)=0, 极大值g( 1
3 )= 64
27
, 故n∈(0, 64
27 ), 正确.故选: ACD.
4.（多选）已知三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx −1，若函数g( x)= f (−x)+1的图象关于
点(1,0)对称，且g(−2)<0，则（ ）
A. a<0
B. g( x)有3 个零点
C. f ( x)的对称中心是(−1,0)
D. 12a−4 b+c<0
解: 由题设可知:g( x)=−a x
3+b x
2−cx，且g( x)+ g(2−x)=0,
所以a x
3−b x
2+cx +a(2−x)
3−b(2−x)
2+c(2−x)=0,
整理得(3a−b)x
2+2(b−3a)x + 4 a−2b+c =0,
故{
3a=b
4 a+c =2b),可得b=3a,c =2a,故g( x)=−ax( x−1)( x−2),
又g(−2)=24 a<0,即a<0, A 正确;
g( x)有3 个零点, B 正确;由g( x)+ g(2−x)= f (−x)+1+ f ( x−2)+1=0,
则f (−x)+ f ( x−2)=−2,所以f ( x) 关于(−1,−1)对称, C 错误;
12a−4 b+c =12a−12a+2a=2a<0, D 正确.故选: ABD.
5.( 多选题) 定义：f
″( x)是函数f
′( x)的导数，若方程f
″( x)=0有实数解，则称点
( x0,f ( x0))为函数y = f ( x)
“
”
“
”
“
的拐点．经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点且拐
”
点就是三次函数图象的对称中心．已知函数 f ( x)=a x
3−b x
2+ 1
3 (ab≠0)的对称中心为
(−1,−1).
则下列选项正确的有（ ）
A. a= 1
3 ,b=−1
B. f (0)+ f(−1
10)+ f(−2
10)+⋯+ f(−19
10)+ f (−2)的值是−21
C. 函数f ( x)有一个零点
D. 过(−3, 1
6)
可以作三条直线与y = f ( x)图象相切
解：易知f ( x)的定义域为R，可得f
′( x)=3a x
2−2bx, f
″( x)=6ax−2b,
令f
″( x)=0,解得x = b
3a
,因为函数f ( x)=a x
3−b x
2+ 1
3
的对称中心为(−1,−1),
所以b
3a =−1,又f (−1)=−a−b+ 1
3 =−1，解得a=−2
3 ,b=2, 故选项A 错误;
因为f ( x)=a x
3−b x
2+ 1
3
的对称中心为(−1,−1)即f ( x)+ f (−2−x)=−2,
令S = f (0)+ f(−1
10)+ f(−2
10)+…+ f(−19
10)+ f (−2),
则S = f (−2)+ f(−19
10)+…+ f(−1
10)+ f (0),
所以2S =[f (0)+ f (−2))+[f(−1
10)+ f(−19
10))+…+[f (−2)+ f (0))=−2×21=−42,
解得S =−21, 故选项B 正确;由选项知, f ( x)=−2
3 x
3−2 x
2+ 1
3
,
可得f
′( x)=−2 x
2−4 x =−2 x( x +2),
当x<−2时, f
′( x)<0,f ( x)单调递减;
当−2< x<0时, f
′( x)>0,f ( x)单调递增;
当x>0时, f
′( x)<0,f ( x)单调递减,
则函数f ( x)的极大值为f (0)= 1
3
, 极小值为f (−2)=−7
3
,
又f (1)=−7
3 ,f (−3)= 1
3
,即f (−2)f (0)<0,f (0)f (1)<0,f (−3)f (−2)<0,
所以f ( x)在(−3,−2),(−2,0)和(0,1)上存在零点,则函数f ( x)有三个零点, 故选项C 错
误;
设切点为T ( x0, y0),则切线方程为y −(−2
3 x0
3−2 x0
2+ 1
3)=−2( x0
2+2 x0)( x−x0),
因为切线过(−3, 1
6)
,所以1
6 −(−2
3 x0
3−2 x0
2+ 1
3)=−2( x0
2+2 x0)(−3−x0),
化简得8 x0
3+ 48 x0
2+72 x0+1=0,令 g( x)=8 x
3+ 48 x
2+72 x +1, 函数定义域为R ,
可得g
′( x)=24 x
2+96 x +72=24( x +1)( x +3),
当x<−3 时, g
′( x)>0, g( x)单调递增;
当−3< x<−1 时, g
′( x)<0, g( x)单调递减;
当x>−1 时, g
′( x)>0, g( x)单调递增,
因为g(−3)=1>0, g(−1)=−31<0,
当x→−∞ 时, g( x)→−∞; 当x→+ ∞ 时, g( x)→+ ∞,
所以g( x)有3个零点,即方程8 x0
3+ 48 x0
2+72 x0+1=0有3个不等实根,
所以过(−3, 1
6)
可以作三条直线与y = f ( x)图象相切, 故选项D正确.故选: BD .
6.对于三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)给出定义:设f
′( x)是函数y = f ( x)的导数，
f
″( x)是f
′( x)的导数，若方程f
″( x)=0有实数解x0
，则称点( x0,f ( x0))为函数y = f ( x)的
“
”
“
”
拐点，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中
心，且拐点就是对称中心，若f ( x)= 1
3 x
3−1
2 x
2+3 x−5
12
，请你根据这一发现计算:
f(
1
2024)+ f(
2
2024)+ f(
3
2024)+⋯+ f(
2023
2024)=（ ）
A. 2021
B. 2022
C. 2023
D. 2024
解: 由题意可知f
′( x)= x
2−x +3, f
″( x)=2 x −1.令f
″( x)=2 x −1=0, 则x = 1
2
.
所以f(
1
2)= 1
3(
1
2)
3
−1
2(
1
2)
2
+3(
1
2)−5
12 =1. 由题意可知函数f ( x)的对称中心为(
1
2 ,1)
.
所以f(
1
2 + x)+ f(
1
2 −x)=2, 即f ( x)+ f (1−x)=2.
所以f(
1
2024)+ f(
2023
2024)= f(
2
2024)+ f(
2022
2024)=⋯= f(
2023
2024)+ f(
1
2024)=2.
所以2[f(
1
2024)+f(
2
2024)+f(
3
2024)+
+
⋯f(
2023
2024))
=[f(
1
2024)+f(
2023
2024))+[f(
2
2024)+f(
2022
2024))+
+
⋯[f(
2023
2024)+f(
1
2024))=2×2023=4046
.
所以f(
1
2024)+ f(
2
2024)+ f(
3
2024)+⋯+ f(
2023
2024)= 4046× 1
2 =2023.故选: C.
7.已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数f ( x)= x
3+a x
2+bx +c，
M ( x0,f ( x0))为曲线y = f ( x)的对称中心，则必有g
′( x0)=0(其中函数g( x)= f
′( x)).若实
数m,n满足{
m
3+6m
2+13m=10
n
3+6n
2+13n=−30)
，则m+n=（ ）
A. -4 B. -3 C. -2 D. -1
解: 令f ( x)= x
3+6 x
2+13 x, 则f
′( x)=3 x
2+12 x +13, f
″( x)=6 x +12=0,
解得x =−2, f (−2)=(−2)
3+6×(−2)
2+13×(−2)=−10.
∴ 函数f ( x)的图像关于点(−2,−10)成中心对称.
{
m
3+6m
2+13m=10
n
3+6n
2+13n=−30)
.
∴f (m)+ f (n)=−20,∴m+n=2×(−2)=−4,故选: A.
