文档文本内容
第09 讲 函数模型及其应用
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：几类不同增长的函数模型....................................................................................................3
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）................................................5
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）................................................9
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题.......................................................................................12
第一部分：基础知识
1、常见函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
(
为常数，
)
反比例函数模型
(
为常数且
)
二次函数模型
（
均为常数，
）
指数函数模型
（
均为常数，
，
，
）
对数函数模型
（
为常数，
）
幂函数模型
（
为常数，
）
分段函数
2、指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
在(0，＋∞)上的
增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与
对数函数之间,相
对平稳
图象的变化
随x 的增大，图象与
轴接
近平行
随x 的增大，图象与
轴接
近平行
随n 值变化而各
有不同
值的比较
存在一个
，当
时，有
第二部分：高考真题回顾
1．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式
【分析】根据题意可知
，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：几类不同增长的函数模型
典型例题
例题1．（多选）（25-26 高三上·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方
向运动，其路程
关于时间
的函数关系式分别为
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，甲在最前面
B．当
时，丁在最前面，当
时，丁在最后面
C．丙不可能在最前面，也不可能在最后面
D．如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲
【答案】BCD
【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异
【详解】对于A，当
时，
，所以A 错误；对于B，根据四种函数的变化特点，对数
型函数的变化是先快后慢，当
时，甲、乙、丙、丁四个物体的位置重合，从而可知，当
时，
丁在最前面，当
时，丁在最后面，所以B 正确；对于C，结合对数型和指数型函数的图象变化情况，
可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，所以C 正确；对于D，指数型函数变化是先慢后快，当运动
的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）下列函数中，在
内增长速度越来越快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异
【详解】选项D，一次函数的增长速度不变，不符合题意；选项A，C，函数的增长速度越来越快，符合题
意；选项B，对数函数的增长速度越来越慢，不符合题意．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）下面关于函数
与
在区间
上的
递减情况说法正确的是（ ）
A．
递减速度越来越慢，
递减速度越来越快，
递减速度越来越慢
B．
递减速度越来越快，
递减速度越来越慢，
递减速度越来越快
C．
递减速度越来越慢，
递减速度越来越慢，
递减速度越来越慢
D．
递减速度越来越快，
递减速度越来越快，
递减速度越来越快
【答案】C
【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异
【详解】观察函数
与
在区间
上的图象（如图）可知，函数
的图象在区间
上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间
上递减较慢，且越来越慢．同样，函
数
的图象在区间
上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数
的图象在区间
上递减较
快，但递减速度变慢；在区间
上递减较慢，且越来越慢．
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d 所表示的函数
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数图象选择解析式、指数、对数、幂函数模型的增长差异
【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c 对应的函数分别是幂指数大于
1 和幂指数大于0 小于1 的幂函数，b，d 对应的函数分别为底数大于1 和底数大于0 小于1 的指数函数．
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）
典型例题
例题1．（2024 高三·全国·专题练习）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每
辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x 的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年
平均利润最大，每辆客车营运年数为 ．
【答案】5
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题
【分析】根据题意，由图象可得二次函数解析式，从而可得年平均利润与营运年数的关系式，再由基本不
等式代入计算，即可得到结果.
【详解】根据图象，设
．代入点
，解得
．
∴
．
因此，年平均利润
．
∵
，∴
，当且仅当
，即
时，等号成立．
故要使平均利润最大，则客车营运年数为5．
故答案为：5
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资
万元．根据行业规
定，每个城市至少要投资
万元，由前期市场调研可知：甲城市收益
与投入
（单位：万元）满足
，乙城市收益
与投入
（单位：万元）满足
设甲城市的投入为
（单位：万元），两个城市的总收益为
（单位：万元）．
(1)当投资甲城市
万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
【答案】(1)总收益为
万元
(2)当甲城市投资
万元，乙城市投资
万元时，总收益最大
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用
【分析】（1）依题意可知乙城市投资
万元，再根据所给关系式求出
即可；
（2）依题意甲城市投资
万元，则乙城市投资
万元，根据每个城市至少要投资
万元求出
的取
值范围，分
、
两种情况分别求出
解析式，从从而求出
的最大值，即可
得解.
【详解】（1）当
，即甲城市投资
万元时，乙城市投资
万元，
所以
（万元）．
因此，此时公司的总收益为
万元．
（2）由题意知，甲城市投资
万元，则乙城市投资
万元，
依题意得
，解得
，由
，则
；
当
，即
时，
，
则
在
上单调递增，所以
；
当
，即
时，
，
令
，则
，
所以
．
当
，
取最大值
，即
时，
取最大值
；
因为
，故
的最大值为
．
因此，当甲城市投资128 万元，乙城市投资112 万元时，总收益最大，且最大收益为
万元．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·海南·开学考试）某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产
千件，需另投入的
成本为
.当年产量不足80 千件时，
（万元）；当年产量不小于80 千件时，
（万元）.每件商品的售价为0.05 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售
完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
【答案】(1)
(2)100 千件，1000 万元
【知识点】基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）根据已知条件列出函数解析式；
（2）根据函数解析式分别求分段函数的最值，
时利用二次函数求最值，
时利用基本不等
式求最值即可.
【详解】（1）因为每件商品售价为0.05 万元，
所以
千件商品的销售额为
（万元）.
依题意得当
时，
；
当
时，
.
所以
；
（2）当
时，
当
时，
取得最大值
（万元）.
当
时，
.
当且仅当
，即
时，
取得最大值1000 万元.
由于
，所以当年产量为100 千件时，
该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1000 万元.
2．（2024 高三·全国·专题练习）市场营销人员对过去几年某产品的价格及月平均销售数量的关系作数据分
析时发现有如下规律：该商品的价格每上涨
（
），销售量就减少
，（其中
为正常数），目
前，该商品最初的定价为
元，月平均销售量为
个.
(1)写出销售额
与
的函数关系；
(2)当
时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额达到最大？
【答案】(1)
；
(2)上涨
.
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题
【分析】（1）根据题意，由条件即可得到函数关系式；
（2）根据题意，由二次函数的最值，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意，
设月平均销售总额为
，由已知条件知
；
（2）当
时，
，
显然，当
时，
.
当价格上涨
时，销售总额最大值为
.
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）
典型例题
例题1．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为
出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习
率，
表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的
学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12 时，学习率衰减为0.5．则学习
率衰减到0.2 以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：
）（ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应
用（2）
【分析】根据已知条件列方程，可得
，再由
，结合指对数关系和对数函数的性质求
解即可．
【详解】由于
，所以
，
依题意
，则
，
则
，
由
，即
，
所以
，
所以所需的训练迭代轮数至少为
次．
故选：C.
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）人类已进入大数据时代，目前，数据量已经从
级
别跃升到
乃至
级别．国际数据公司研究表明，数
据量
与时间
（单位：年）之间满足关系式：
．已知第1 年（2008 年）全球产生的数据量
约为
，第2 年全球产生的数据量约为
．那么从第（ ）年开始全球产生的数据量不低于
．
A．19
B．18
C．17
D．16
【答案】D
【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）
【分析】先根据关系式和题设条件求出参数
，依题列出不等式，运用指对数互化和对数的运算性质计
算即得．
【详解】由题意得
解得
所以
，令
，
则
，两边同时取以10 为底的对数可得
，
即
，所以
，所以取
，
即从第16 年开始全球产生的数据量不低于
．
故选：D
例题3．（2025 高三·全国·专题练习）某地区在
年底森林覆盖面积为
，为贯彻落实“绿水青
山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，计划到
年底森林覆盖面积为
，
要求每一年森林覆盖面积的年平均增长率均相同，试问到
年底需要植树多少面积？（参考数据：
）
【答案】
【知识点】指数函数模型的应用（2）
【分析】设每年平均增长率为
，由条件可得方程
，解方程求
，由此可得结论.
【详解】设每年平均增长率为
，
则以2020 年底为基础，到2030 年底的森林覆盖面积为
，
故
，所以
，
解得
，
所以到2021 年底需要植树的面积为
．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）据统计，目前某市
基站的数量约
万座，计划到2024 年底，全市5G
基站数是目前的4 倍，到2026 年底，全市5G 基站数最终将达到
万座，则2024 年底到2026 年底，全
市5G 基站数量的年平均增长率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】指数函数模型的应用（2）
【分析】设
年底到
年底，全市的
基站数量的年平均增长率为
，由条件关系列方程可得
，解方程求
即可.
【详解】设
年底到
年底，全市的
基站数量的年平均增长率为
，
由已知到2024 年底，全市5G 基站数是
万座，
所以到2026 年底，全市5G 基站数最终将达到
万座，
所以
，所以
，
解得
，即2024 年底到2026 年底，全市5G 基站数量的年平均增长率为
，
故选：D．
2．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严
重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数
）与体重W（单位：
Kg）的
次方成反比．若A、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为2Kg、脉搏率为210 次
，B 的
脉搏率是70 次
，则B 的体重为（ ）
A．6Kg
B．8Kg
C．18Kg
D．54Kg
【答案】D
【知识点】幂函数模型的应用
【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得.
【详解】依题意，设
，由
，得
，则
，
当
时，
，所以
．
故选：D
3．（2025 高三·全国·专题练习）据历史资料记载：“2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长
7.39%”，如果“十·五”期间（2001 年-2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·
五”末我国国内年生产总值约为（ ）
A．115000 亿元
B．120000 亿元
C．127000 亿元
D．135000 亿元
【答案】C
【知识点】指数函数模型的应用（2）
【分析】由指数函数增长模型列式求解即可.
【详解】由题意
.
故选：C.
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题
典型例题
1．（23-24 高一上·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经
验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究
员在泡制茶水的过程中，每隔1min 测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85
79
73.6
68.74
64.34
60.24
设茶水温度从85°C 开始，经过min 后温度为
℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种
函数模型供选择：①
；②
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3 组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55°C 时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放
置多长时间才能达到最佳饮用口感？
（参考数据：
）
【答案】(1)因为随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，且不再升高，所以选择模型①
；解析式为
(2)
.
【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（2）、运用换底公式化简计算
【分析】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得
的值，即可得解析式；
（2）根据（1）的解析式，将
代入解析式求的值即可.
【详解】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度
后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，代入前三组数据
解得
，所以函数模型解析式为
.
（2）由（1）知
，即
，所以
，
，
所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5 分钟才能达到最佳饮用口感.
2．（24-25 高一上·云南大理·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内
细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量
（单位：百万
个）与培养时间
（单位：小时）的关系如下表：
2
3
6
9
12
15
3.2
3.5
3.8
4
4.1
4.2
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2 小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①
；②
；③
.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)请选取表格中的
，
两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小
时，细菌数量达到5 百万个.
【答案】(1)模型①，理由见解析
(2)
，81 个小时
【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在
有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，
繁殖速度增长缓慢，故只有函数模型①
符合；
（2）将数据带入即可计算出
，则当
时即可求出答案.
【详解】（1）最符合实际的函数模型为①
，理由如下：
根据图象知函数解析式需满足函数在
有定义，所以②
不满足；
又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，所以③
不符合，
只有①
满足，故
最符合.
（2）将
，
代入
，
得
，即
，解得
.
则
.
当
时，
，即
，解得
.
所以可预测至少需培养81 个小时，细菌数量达到5 百万个.
精练高频考点
1．（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）某种蔬菜从1 月1 日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植
成本
（单位：元/
）与上市时间
（单位：10 天）的数据如下表：
上市时间
5
11
25
种植成本
15
10.8
15
(1)根据上表数据，从下列函数：
中（其中
），选取一
个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本
与上市时间
的变化关系，并简要说明理由；
(2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
【答案】(1)
，理由见解析；
(2)上市时间为150 天时，种植成本最低为10 元/
.
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、根据实际问题增长率选择合适的函数模型
【分析】（1）根据表格数据的变化趋势确定函数模型；
（2）根据数据有
，则
，再把数据代入求参数，应用二次函数性质求结果.
【详解】（1）由表格数据知，种植成本随着上市时间先减后增，显然只有
合适；
（2）由题设
是
的对称轴，则
，
所以
，且
，可得
，
所以
，
所以上市时间为150 天时，种植成本最低为10 元/
.
2．（24-25 高一上·辽宁·期中）地下矿产资源勘探建模是一种重要的技术手段，用于帮助人们更好的了解
底下矿产资源的分布和特征.地球物理勘探技术包括地震勘探、电磁勘探和重力勘探等，可以通过测量地下
的物理参数来获取不同地理位置下矿产资源的信息.基于测量得到的物理参数，通过处理和分析，可以建立
底下矿产资源的分布模型，进而指导开采活动. 在某个矿藏区域，通过前期的勘探活动，测得了某物理指
标随着地理位置变化的数据，如下表所示.其中
表示采样点距离矿藏中心标记点的距离，
表示物理指标
的数值.
1
2
3
4
5
6
5.
7
4.
0
2.
8
2.
0
1.
4
1.
0
(1)根据矿藏分布可能的物理情况，数据分析人员估计物理指标
随着
变化的模型可能为两种，分别是①
，②
，请根据表格中的数据，在答题卡中绘制散点图，简要分析此矿藏区域应该用哪
一个模型来估计物理指标
随着
变化的趋势.
(2)根据（1）中的结论，选取表格中
，
的两组数据，建立数学模型描述物理指标
随着
变化的
趋势.根据既往经验，当物理指标
低于
时，则不具备开采条件，请问正整数
的范围应该如何选取，
方能保证范围内所有区域都具备开采条件.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
.
【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、指数函数模型的应用（2）
【分析】（1）根据表格数据绘制散点图，由数据的变化趋势选择合适的模型即可；
（2）根据（1）所选模型结合数据求出解析式，由模型的单调性求正整数
的范围.
【详解】（1）根据题设表格数据，散点图如下，
由于随
变大
的递减趋势变缓，应选模型（2）
来估计物理指标
随着
变化的趋势.
（2）依题意知，
，解得
，
随
变化的趋势可表示为
，在定义域
内单调递减.
又
时
，
时
，
正整数
的范围为
.
