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第09 讲 函数模型及其应用
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：几类不同增长的函数模型....................................................................................................3
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）................................................5
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）................................................9
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题.......................................................................................12
第一部分：基础知识
1、常见函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
(
为常数，
)
反比例函数模型
(
为常数且
)
二次函数模型
（
均为常数，
）
指数函数模型
（
均为常数，
，
，
）
对数函数模型
（
为常数，
）
幂函数模型
（
为常数，
）
分段函数
2、指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
在(0，＋∞)上的
增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与
对数函数之间,相
对平稳
图象的变化
随x 的增大，图象与
轴接
近平行
随x 的增大，图象与
轴接
近平行
随n 值变化而各
有不同
值的比较
存在一个
，当
时，有
第二部分：高考真题回顾
1．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：几类不同增长的函数模型
典型例题
例题1．（多选）（25-26 高三上·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方
向运动，其路程
关于时间
的函数关系式分别为
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，甲在最前面
B．当
时，丁在最前面，当
时，丁在最后面
C．丙不可能在最前面，也不可能在最后面
D．如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）下列函数中，在
内增长速度越来越快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）下面关于函数
与
在区间
上的
递减情况说法正确的是（ ）
A．
递减速度越来越慢，
递减速度越来越快，
递减速度越来越慢
B．
递减速度越来越快，
递减速度越来越慢，
递减速度越来越快
C．
递减速度越来越慢，
递减速度越来越慢，
递减速度越来越慢
D．
递减速度越来越快，
递减速度越来越快，
递减速度越来越快
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d 所表示的函数
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）
典型例题
例题1．（2024 高三·全国·专题练习）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每
辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x 的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年
平均利润最大，每辆客车营运年数为 ．
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资
万元．根据行业规
定，每个城市至少要投资
万元，由前期市场调研可知：甲城市收益
与投入
（单位：万元）满足
，乙城市收益
与投入
（单位：万元）满足
设甲城市的投入为
（单位：万元），两个城市的总收益为
（单位：万元）．
(1)当投资甲城市
万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
精练高频考点
1．（24-25 高一下·海南·开学考试）某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产
千件，需另投入的
成本为
.当年产量不足80 千件时，
（万元）；当年产量不小于80 千件时，
（万元）.每件商品的售价为0.05 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售
完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
2．（2024 高三·全国·专题练习）市场营销人员对过去几年某产品的价格及月平均销售数量的关系作数据分
析时发现有如下规律：该商品的价格每上涨
（
），销售量就减少
，（其中
为正常数），目
前，该商品最初的定价为
元，月平均销售量为
个.
(1)写出销售额
与
的函数关系；
(2)当
时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额达到最大？
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）
典型例题
例题1．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为
出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习
率，
表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的
学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12 时，学习率衰减为0.5．则学习
率衰减到0.2 以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：
）（ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）人类已进入大数据时代，目前，数据量已经从
级
别跃升到
乃至
级别．国际数据公司研究表明，数
据量
与时间
（单位：年）之间满足关系式：
．已知第1 年（2008 年）全球产生的数据量
约为
，第2 年全球产生的数据量约为
．那么从第（ ）年开始全球产生的数据量不低于
．
A．19
B．18
C．17
D．16
例题3．（2025 高三·全国·专题练习）某地区在
年底森林覆盖面积为
，为贯彻落实“绿水青
山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，计划到
年底森林覆盖面积为
，
要求每一年森林覆盖面积的年平均增长率均相同，试问到
年底需要植树多少面积？（参考数据：
）
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）据统计，目前某市
基站的数量约
万座，计划到2024 年底，全市5G
基站数是目前的4 倍，到2026 年底，全市5G 基站数最终将达到
万座，则2024 年底到2026 年底，全
市5G 基站数量的年平均增长率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严
重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数
）与体重W（单位：
Kg）的
次方成反比．若A、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为2Kg、脉搏率为210 次
，B 的
脉搏率是70 次
，则B 的体重为（ ）
A．6Kg
B．8Kg
C．18Kg
D．54Kg
3．（2025 高三·全国·专题练习）据历史资料记载：“2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长
7.39%”，如果“十·五”期间（2001 年-2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·
五”末我国国内年生产总值约为（ ）
A．115000 亿元
B．120000 亿元
C．127000 亿元
D．135000 亿元
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题
典型例题
1．（23-24 高一上·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经
验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究
员在泡制茶水的过程中，每隔1min 测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85
79
73.6
68.74
64.34
60.24
设茶水温度从85°C 开始，经过min 后温度为
℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种
函数模型供选择：①
；②
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3 组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55°C 时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放
置多长时间才能达到最佳饮用口感？
（参考数据：
）
2．（24-25 高一上·云南大理·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内
细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量
（单位：百万
个）与培养时间
（单位：小时）的关系如下表：
2
3
6
9
12
15
3.2
3.5
3.8
4
4.1
4.2
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2 小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①
；②
；③
.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)请选取表格中的
，
两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小
时，细菌数量达到5 百万个.
精练高频考点
1．（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）某种蔬菜从1 月1 日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植
成本
（单位：元/
）与上市时间
（单位：10 天）的数据如下表：
上市时间
5
11
25
种植成本
15
10.8
15
(1)根据上表数据，从下列函数：
中（其中
），选取一
个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本
与上市时间
的变化关系，并简要说明理由；
(2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
2．（24-25 高一上·辽宁·期中）地下矿产资源勘探建模是一种重要的技术手段，用于帮助人们更好的了解
底下矿产资源的分布和特征.地球物理勘探技术包括地震勘探、电磁勘探和重力勘探等，可以通过测量地下
的物理参数来获取不同地理位置下矿产资源的信息.基于测量得到的物理参数，通过处理和分析，可以建立
底下矿产资源的分布模型，进而指导开采活动. 在某个矿藏区域，通过前期的勘探活动，测得了某物理指
标随着地理位置变化的数据，如下表所示.其中
表示采样点距离矿藏中心标记点的距离，
表示物理指标
的数值.
1
2
3
4
5
6
5.
7
4.
0
2.
8
2.
0
1.
4
1.
0
(1)根据矿藏分布可能的物理情况，数据分析人员估计物理指标
随着
变化的模型可能为两种，分别是①
，②
，请根据表格中的数据，在答题卡中绘制散点图，简要分析此矿藏区域应该用哪
一个模型来估计物理指标
随着
变化的趋势.
(2)根据（1）中的结论，选取表格中
，
的两组数据，建立数学模型描述物理指标
随着
变化的
趋势.根据既往经验，当物理指标
低于
时，则不具备开采条件，请问正整数
的范围应该如何选取，
方能保证范围内所有区域都具备开采条件.
