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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精练题组版）
题组一 无参函数的极值（点）
1.（24-25 甘肃）函数
的极大值为（ ）
A．
B．0
C．e
D．1
【答案】D
【解析】因为
，令
，得
时；令
，得
，
所以当
时，函数
取得极大值
．
故选：D.
2.（2025·陕西）已知函数
，则
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，
,
令
，解得
或
，故
单调递增
极大值
单调递
减
极小值
单调递增
所以
的极大值为
，故选：B.
3.（2024 湖北）已知函数
是自然对数的底数），则
的极大值为
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】
，故
，故
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
故
在
递增，在
递减，
时，
取得极大值
，故选：
．
4.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．当
时，求
的极小值 ．
【答案】
【解析】当
时，函数
定义域为
，
求导得
，
当
时，
，
当
时，
，
所以函数
在
上递减，在
上递增，
所以当
时，
取得极小值
.
5（2025·青海海东·二模）函数
的极小值是 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为R，求导得
，
由
，得
；由
，得
或
，
因此当
时，
取得极大值，当
时，
取得极小值，
所以函数
的极小值为
.
故答案为：
6（2025·陕西宝鸡·二模）若函数
的极大值点为
，则
．
【答案】
/0.8
【解析】由函数
，
求导可得
，
令
，则
，
由题意可得
，
由函数
可知当
（
）时，
，
当
（
）时，
，且
为函数
的极大值点，
则可得
（
），解得
（
），
所以
.故答案为：
.
7.（2025·湖北武汉·二模）已知函数
，曲线
在点
处的切线与
平行．
(1)求
的值；
(2)求
的极值．
【答案】(1)2(2)极小值为
，无极大值.
【解析】（1）因为
，
.所以
，
.
由题意
.
（2）因为
，
.所以
，
.
由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以当
时，函数取得极小值，且
.
8（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知函数
，其中
为非零常数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若函数
的图象在点
处的切线斜率为
，求
的极值．
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)极大值为
，无极小值
【解析】（1）当
时，
定义域为
，
又
，当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
即
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）因为
，所以
，解得
，
所以
，则
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
所以
在
处取得极大值，且极大值为
，
无极小值．
9.（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数
的图象与
轴相交于点
，
的图象在点
处的切线方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)求函数
的单调区间和极值．
【答案】(1)
，
；
(2)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；极大值
，极小值
；
【解析】（1）由已知可得
，
因为直线
的斜率为
，所以
，所以
．
令
中
得
，故
，
又
，所以
，所以
．
（2）函数
的定义域为
．
由（1）知
，
，
令
，解得
或
，
由
得函数
的单调递增区间为
和
；
由
得函数
的单调递减区间为
所以当
时，函数
取得极大值
；
当
时，函数
取得极小值
.
题组二 导函数与极值的图像关系
1.（24-25 四川广元·阶段练习）如图是
的导函数
的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断
是（ ）
A．当
时，
取得极大值
B．
在
上是增函数
C．当
时，
取得极大值
D．
在
上是增函数，在
上是减函数
【答案】D
【解析】根据导函数
的图象可知，
当
时，
，当
时，
，
可知
在
内单调递减，在
单调递增，
所以当
时，
取得极小值，当
时，
取得极大值，当
时，
取得极小值，
故ABC 错误，D 正确.
故选：D.
2.（2024 浙江）若
为函数
的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于
，
，
则
为函数
的一个极值点等价条件为：
，
且
在
的左右两侧取值异号.
对于选项A，
，
，
，
且
在
的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数
的图象.
对于选项B，
，
，
，且
在
的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数
的图象.
对于选项C，
，
，
，在
的左右两侧可取异号，故可能符合条件.
对于选项D，
，
，因此
，不满足条件.
故选：D.
3.（2024·贵州黔南·一模）三次函数
的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】D
【解析】函数
，求导得
，
观察函数图象，得函数
有异号两个极值点
，且
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，排除A；
由
，得则
，
，得
，排除C；
由不等式
的解集为
，得
，即
，排除B；
又
是方程
的二根，
，则
，选项D 符合题意.
故选：D
4（2025 高三下·全国·专题练习）（多选）函数
的导函数
的图象如图所示，下列命题中正确
的是（ ）
A．
是函数
的极值点
B．
在区间
上单调递增
C．
是函数
的最小值点
D．
在
处切线的斜率小于零
【答案】AB
【解析】根据导函数图象可知：当
时，
，在
时，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故B 正确；
则
是函数
的极小值点，故A 正确；
在
上单调递增，
不是函数
的最小值点，故C 不正确；
函数
在
处的导数大于
切线的斜率大于零，故D 不正确．
故选：AB
5.（24-25 高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数
，
的图象是一条连续不断的曲线，设其导
数为
，函数
的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取最大值
B．
是
的极大值点
C．
没有极小值点
D．
可能不是导函数
的极大值点
【答案】ACD
【解析】当
时，
，
函数
单调递增，
同理可得：当
时，
，函数
单调递减，
所以
为函数
的极大值，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
函数
单调递减，
所以函数
在
上单调递减，
从而
在
处取最大值，且没有极小值点，故A,C 正确，B 错误；
又
和
时，
，
，而
在
时等于0，所以
不一定等于0，
当
时，
是导函数
的极大值点，
当
时，
不是导函数
的极大值点，所以D 正确.
故选：ACD.
6．（2024 吉林长春·期中）（多选）已知定义在R 上的可导函数
和
的导函数
、
图象如图
所示，则关于函数
的判断正确的是（ ）
A．有1 个极大值点和2 个极小值点
B．有2 个极大值点和1 个极小值点
C．有最大值
D．有最小值
【答案】BC
【解析】根据
的图象可得，
与
的图象有三个不同的交点，
设这些点的横坐标依次为
，满足
，其中
.
由图可知，当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递减，
当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递减.
综上所述，函数
分别在
时取得极大值，在
时取得极小值,
即函数
有2 个极大值点和1 个极小值点,故B 项正确，A 项错误；
因
时，
的趋近值未知，
时，
的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得，
但因函数
分别在
时取得极大值，
故可取
与
中的较大者作为函数的最大值，故C 项正确，D 项错误.
故选：BC.
7（2024 重庆）（多选）设函数
在
上可导，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数
在
上为增函数
B．函数
在
上为增函数
C．函数
有极大值
和极小值
D．函数
有极大值
和极小值
【答案】AD
【解析】由图可知当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
所以
在
上为增函数，在
上为减函数，在
上为减函数，
在
上为增函数，故A 正确，B 错误，
则
在
处取得极大值，
处取得极小值，
即函数
有极大值
和极小值
，故C 错误，D 正确.
故选：AD
8.（2025 江苏）（多选）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数
在
处取得极大值
B．函数
在
处取得极小值
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象在
处的切线斜率小于零
【答案】CD
【解析】对A，根据
的图象可得：
在
上单调递减，
故
不是
的极大值，故A 错误；
对B，根据
的图象可得：
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
不是
的极小值，故B 错误；
对C，
在
上，
，
在区间
上单调递减，故C 正确；
对D，根据
的图象可得：
，
即
的图象在
处的切线斜率小于零，故D 正确.
故选：CD．
9（2024 海南）（多选）如果函数
的导函数
的图象如图所示，则以下关于函数
的判
断正确的是（ ）
A．在区间
内单调递减
B．在区间
内单调递增
C．
是极小值点
D．
是极大值点
【答案】BD
【解析】
．函数
在区间
内
，则函数单调递增；故
不正确，
．函数
在区间
的导数为
，
在区间
上单调递增，
正确；
．由图象知当
时，函数
取得极小值，但是函数
没有取得极小值，故
错误，
．
时，
，
当
时，
，
为增函数，
，
此时
此时函数
为减函数，
则函数
内有极大值，
是极大值点；故
正确，
故选：
．
题组三 已知极值（点）求参数
1.（23-24 高三上·陕西·阶段练习）若函数
在
处取得极小值，则
（ ）
A．4
B．2
C．-2
D．-4
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
，解得
.
当
时，
，
当
或
时，
，则
在
，
单调递增，
当
时，
，则
在
单调递减，
所以，函数
在
处取得极小值，此时
.
故选：A
2.（2025·贵州）函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】
，所以
，解得
，
经检验，
满足题意，所以
.故选：A
3（24-25 高三上·广东潮州·期末）已知函数
在
处取得极大值，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
，（
）
则
，令
得
或
，
当
时，
不在函数
的定义域内，不符合条件；
当
时，若
，在
，
上
，
单调递增，在
上
，
单调递减，此
时
为
的极小值，不符合；
若
，在
上
，
单调递增，不存在极值，不符合；
若
，在
，
上
，
单调递增，在
上
，
单调递减，此时
为
的极大值.
故选：B
4.（2025·吉林长春·一模）已知函数
的极大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，
，
则
，
令
，解得
或
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，
在
上满足
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，
，解得
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，
在
上满足
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，
，不符合题意，
当
时，
，
在R 上单调递增，无极值，不符合题意，
综上所述，
.
故选：D.
5.（23-24 天津滨海新·期中）函数
在
处有极小值
，则
的值等于（ ）
A．0
B．
C．
D．6
【答案】A
【解析】由题意得
，因为
在
处有极小值
，
所以
，解得
，
所以
，
令
，解得
或
，
故函数
在
和
上为增函数，
令
，解得
，
故函数
在
上为减函数，
所以
在
处有极小值，符合题意，
所以
，
故选：A.
6.（2024·宁夏银川·一模）若函数
在
处取得极大值，则
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
在
处取得极大值，
则
，
且
，
即
，所以
；
所以
，
，
令
，则
或
，
由
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取得极大值，
.
故选：C.
7.（2024 海南）已知
在
处的极大值为5，则
（ ）
A．
B．6
C．
或6
D．
或2
【答案】B
【解析】函数
，求导得
，
依题意，
，即
，解得
或
，
当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，因此
在
处取得极小值，不符题意；
当
时，
，
当
时，
，当
或
时，
，因此
在
处取得极大值，符合题意，
所以
，所以
.
故选：B
8（2025 山东聊城·期中）函数
在
时有极小值－4，那么
的值为（ ）
A．6
B．6 或32
C．2 或42
D．6 或30
【答案】D
【解析】
，由题意得
，
即
，
且
，
，代入
，
得
，解得
或
，
当
时，
，
，令
得
或
，
令
得
，
故
为极小值点，满足要求，故
，
当
时，
，
，令
得
或
，
令
得
，故
为极小值点，满足要求，故
，
综上，
的值为6 或30.故选：D
9．（24-25 陕西榆林·期末）已知函数
在
处取得极大值，则实数
的值是 .
【答案】3
【解析】由
得
，
因为函数
在
处取得极大值，
所以
是方程
的根，因此
或
，即
或
；
①若
，则
，
当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增；
此时函数
在
处取得极小值，不符合题意；
②若
，则
，
当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增；
此时函数
在
处取得极大值，符合题意；
故答案为：3
10（23-24 湖北武汉·期中）已知函数
在
处取得极小值
，则
的值为
．
【答案】
【解析】由
求导，
，
依题意，
，即
，解得
或
.
当
，
时，
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递减，当
时，
，
在
单调递增，
即
时，函数
取得极小值
，符合题意，此时
；
当
，
时，
，
，
因
，
即函数
在
上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.
故答案为：
.
题组四 已知极值点的个数求参
1.（2024 四川成都·期中）已知
没有极值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
；
在
上没有极值，
，即
，
解得：
，即实数
的取值范围为
.故选：C.
2.（23-24 江苏无锡·阶段练习）已知函数
在
上无极值，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
在
上无极值,
所以
在
上无变号零点
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故选：C.
3（2024·重庆·模拟预测）若函数
有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，且
，
因为函数
有极值，所以
在
上有变号零点，
即
在
上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数
的对称轴为
，开口向上，
所以只需
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：C
4．（2024·广东佛山·二模）若函数
（
）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，
，
又函数
既有极大值也有极小值，所以函数
在
上有两个零点，
由
，所以方程
有两个不同的正实数
，
所以
，即
.
故选：B
5.（2025·吉林·模拟预测）若函数
既有极大值也有极小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知：
的定义域为
，且
，
若函数
既有极大值也有极小值，则
有2 个不相等的正根
，
则
，解得
，所以实数
的取值范围为
.故选：D.
6.（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数
在区间
上有极值，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
因为函数
在区间
上有极值，所以
在区间
上有变号根，
即
在区间
上有变号根，令
，则
，
令
，得
或
（舍去），
当
时，
，
递减；
当
时，
，
递增；
所以当
时，
取得极小值
，又
，
，
所以
，则
，
又当
时，
，
递增，无极值，所以实数
的取值范围是
，故选：B
7.（2025 湖北）已知函数
，则“
有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的定义域为
，则
，
因为
有两个极值，所以
有两个不等的实数解，
由
，得
，
令
，
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
因为
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
的图象如图所示，
由图可知当
时，
的图象与
的图象有两个不同的交点，即
有两个极值，
因为
是
的真子集，
所以“
有两个极值”的一个必要不充分条件是
，
故选：A
8（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上仅有一个极值点，且
，则
的值为（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，
因为函数
在
上仅有一个极值点，
可得
，所以
．
由于
，故有两种情况：
①
的图象关于直线
对称，可得
，
解得
，又
，所以
；
②
的最小正周期
满足
，
解得
，由于
，故不存在满足条件的
．
综上，
．
故选：C．
9.（24-25 高三上·安徽马鞍山·期末）设函数
，若
在
上有且只有
个零点，
且对任意实数
，
在
上存在极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，当
时，
，
因为函数
，若
在
上有且只有
个零点，
则
，解得
．
又对任意实数
，
在
上存在极值点，且
的长度为
，
而函数
的最小正周期为
，则
，解得
，
综上，
的取值范围是
.
故选：D
10.（24-25 高三上·天津·期中）已知函数
在
有且仅有
个极小值点，且在
上单调递增，则ω 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于函数
，极小值点为
.
，令
.
因为
有且仅有
个极小值点.
当
时，
；当
时，
；当
时，
.
所以
，解不等式得
.
因为
的单调递增区间为
.
对于
，令
，
则
.
因为
在
上单调递增，所以
.
当
时，
，当
时，
，
故
，则
且
.
解不等式得
.
综合以上两个条件，
的取值范围是
.
故选：D.
11（2025·四川成都·二模）若函数
有极值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，
则
，
令
，
，
则
，
当
时，
恒成立，则
，
即函数
在
上单调递增，此时函数
无极值，不符合题意；
当
时，令
，得
，
当
时，
，则
，得函数
在
上单调递减，
又
时，
；
时，
，
所以存在
，使得
，则函数
存在极值；
当
时，
，
则
时，
；
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
设
，
，则
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，且
时，
，
则
时，
，此时函数
无极值，不符合题意；
当
时，
，且
时，
；
时，
，
此时函数
存在极值.
综上所述，
的取值范围为
.
故选：A.
12（2025·上海·模拟预测）设
为常数，
，若
，且函数
在区间
上
恰有一个极小值点，无极大值点，则
的值为 .
【答案】11
【解析】
在区间
上恰有一个极小值点，无极大值点，
，
故
为函数位于递减区间上的零点，
故
，解得
，
，
，解得
，
故
，
，只有当
时，满足要求，
故
.
故答案为：11.
13（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
有两个极值点
，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，则
.
由题意可知
有且仅有两个零点，
则
在
上有唯一的极值点且不等于零.
①当
时，
，
单调递增，则
至多有一个零点，不符合题意.
②当
时，令
，解得
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以
是函数
的极大值点，则
，
即
，解得
,
而当
时，
，当
时，
，
故
符合题意.
综上所述，实数a 的取值范围是
.
故答案为：
14．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
【解析】因为函数
有两个不同的极值点，
所以得
有两个变号零点.
令
，定义域为
，则
.
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，不会有两个零点，舍去；
当
时，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最 小值，
当
趋向于负无穷大时，
趋向于正无穷大，当
趋向于正无穷大时，
趋向于正无穷大，
有2 个变号零点，
所以
，即
.
令
，则
令
，得
令
，得
则g(a)在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，也是最大值.又
，
故
的解集为
故答案为：
15（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，若
在
有唯一的极值点且为极大值点，
则a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数
，则
，
因为
在
有唯一的极值点且为极大值点，
所以根据零点的存在性定理得
，
的图象是开口向上的抛物线，对称轴为
，
由于对称轴
在区间
右侧，
要使
在
内有唯一的变号零点，则需满足
，
而
，
，
则不等式组
可化为
，解得
，
综上,
的取值范围为
.
故答案为：
.
题组五 无参函数求最值
1.（24-25 江苏无锡·期中）已知函数
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，令
，可得
，而
，
，
所以
，
，函数单调递减；
，
，函数单调递增，
所以
时函数最小为值
，
所以函数在
的最小值分别为
.
故答案为：
.
2.（2025 江苏）函数
，
的最小值是 ．
【答案】0
【解析】因为
，所以
在
上单调递增，在
单调递减，又
，
.
故答案为：0.
3（2025 浙江）函数
在
上的最大值与最小值之和为 .
【答案】
【解析】
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
又
，
，
，
.
故答案为：
.
4.（2024 湖南长沙·阶段练习）函数
的最小值为 .
【答案】
【解析】
定义域为
，
，
令
，解得
.
则当
时，
，即
为减函数，
当
时，
，即
为增函数，
所以
处的函数值为最小值，且
.
故答案为：
5（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则函数
在
上的最大值为 ．
【答案】
【解析】设
，则
，
所以，
，
当
时，
，所以，
，
则
，
设
，
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
，
即当
时，
．
故答案为：
.
6.（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
的最大值为
【答案】
【解析】解法一：
，当且仅当
时，等号成立，
即函数
的最大值为
．
解法二：
，
当且仅当
时，等号成立，
即函数
的最大值为
．
解法三：由
，
当
时，
；
当
时，
，
故
的单调递增区间为
，
单调递减区间为
，
又
，
是
的一个周期，
则
，即函数
的最大值为
．
解法四：
，
令
，则
，
令函数
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，即
．
故选：C.
题组六 已知最值求参数
1.（2024·四川）函数
，若
在
上有最小值，则实数a 的取值范围是
【答案】
【解析】由题意，函数
，可得
，
若
时，当
时
在
上单调递减，
此时函数
在
上没有最小值，不符合题意；
当
时，令
，即
，
画出函数
与
的图象，如图所示，
结合图象，存在
，使得
，
当
时
单调递减；
当
时
单调递增，
此时函数
在
上有最小值，符合题意．
综上可得，实数a 的取值范围是
.
2.（2025·四川）若函数
的最小值是
，则实数
的取值范围是
【答案】
【解析】当
时，
，则
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，函数
的极小值为
，
因为函数
的最小值为
，当
时，函数
在
上单调递减，
此时，函数
在
上无最小值，不合乎题意；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时，函数
在
上的极小值为
，且
，则
，
综上所述，
.
3．（2024·浙江温州·一模）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为
【答案】
【解析】当
时，
的取值范围是
，
注意到
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
的最大值为
，
且注意到
趋于负无穷时，
也会趋于负无穷，
若函数
的值域为
，
则当且仅当
，解得
.
故选：A.
4.（24-25 高三下·广东）已知函数
的最小值是
，则
.
【答案】
【解析】由题意可得
.
设
，易证
是偶函数.
当
时，
.
设
，则
恒成立，所以
在
上单调递增.
所以
，所以
，所以
在
上单调递增.
因为
是偶函数，所以
在
上单调递减，所以
，即
，
解得
.故答案为：
.
5．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数
的最小值为0，则
．
【答案】
【解析】依题意，
对于
恒成立，且能取得等号，
即
对于
恒成立，且能取得等号，
函数
在
上单调递增，不等式为
，
则
，即
，因此
在
上恒成立，且能取得等号，
设
，于是
是函数
在
上的最小值，
求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上递减，在
上递增，且
，
所以
.
故答案为：
6（2025 湖北·阶段练习）若函数
在
内有最小值，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
，
令
可得
或
（舍），
当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
在
处取得极小值，即最小值，
又因为函数
在
内有最小值，故
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
7．（2024·上海·三模）若函数
在
上存在最小值，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
得，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
有极小值，
因为函数
在
上存在最小值，
又
，
所以
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
8．（2025 福建）已知
在区间
上有最小值，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数
，可得
，
当
或
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减，
即
为函数
的极小值点；
要使得函数
在区间
上有最小值，
则满足
，即
，
因为
，可得
，即
，解得
，
所以
，即实数
的取值为
.
故答案为：
9．（2024·河南南阳·一模）已知函数
在区间
上有最小值，则整数
的一个
取值可以是 ．
【答案】
（答案不唯一，
中的任意整数均可）
【解析】由
可知，
，
又
在
上有最小值，
所以
在
上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令
，则
在
上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以
，解得
，
又因为
，所以
.
故答案为：
（答案不唯一，
中的任意整数均可）.
10.（2025 河南）已知
，若函数
有最小值，则实数
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】当
时，
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得极小值，且
，
当
时，
，
若
，
在
上单调递增，此时
没有最小值，
若
，
在
上单调递减，
要想函数有最小值，则
，解得
，
故实数
的最大值为
.
故答案为：
11.（2024 浙江）若函数
在区间
上存在最小值，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
得
，
所以当
或
时，
，当
时，
，
于是得
在
和
上都单调递增，在
上单调递减，
当
时，
取得极小值
，
因
在区间
上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，
于是得
，且
，
即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
12．（2024·广西南宁·一模）已知函数
的最小值为
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，
若
，则
时，
，故
在
上单调递减，
时，
，故
在
上单调递增，
所以当
时，
有最小值
，满足题意；
若
，则当
无限趋近于负无穷大时，
无限趋向于负无穷大，
没有最小值，不符合题意；
综上，
，所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
13（2025·广东）已知函数
的最小值为0，则a 的值为 .
【答案】
/0.5
【解析】由
，且
，
令
，则
，即
在
上递增，
所以
在
上递增，又
，
，
，
，
所以，
使
，且
时，
，
时，
，所以
在
上递减，在
上递增，
所以
由
，得
，
令函数
，
，
所以
在
上是增函数，注意到
，所以
，
所以
.
故答案为：
14（23-24 高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数
在区间
上的最小值为
，则实数a
的取值范围为
【答案】
【解析】当
时，
单调递减，
故
在
处取得最小值，最小值为
，满足要求，
当
或
时，
，
令
得
或
，
当
时，
恒成立，
故表格如下：
0
+
0
极小值
极大值
故
在
上取得极小值，
且
，
，
要想
在区间
上的最小值为
，
则要
，变形得到
，
令
，
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
且
，
，
故
的解集为
，
时，令
可得
，
当
时，
，
令
得
，
故
在
上单调递减，
故
在
处取得最小值，最小值为
，满足要求，
当
时，
恒成立，
故表格如下：
+
0
0
+
极大值
极小值
故
在
上取得极小值，
且
，
，
要想
在区间
上的最小值为
，
则要
，变形得到
，
令
，
，
时，
，
单调递增，
又
，故
上，
无解，
综上：实数a 的取值范围是
.
题组七 导数的综合运用
1.（24-25 高三上·安徽宣城·期末）函数
，若
恒成立，则
的最
小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设
在
上恒成立，
又
，
在
上都单调递增，
所以，只需
，
在
上的零点相同，即
，
所以
且
，
令
且
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
，即
的最小值为
.
故选：D
2（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线
在点
处的切线方程为
，则
B．若
，则函数
在
上单调递增
C．若
，则函数
在
上的最小值为
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】首先对函数
求导，可得
.
曲线
在点
处的切线斜率
等于该点处的导数值，即
.
已知切线方程为
，其斜率为
，所以
，解得
，故
选项错误.
当
时，
，
.
当
时，
，则
，即
.
根据导数与函数单调性的关系，当函数的导数大于
时，函数单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故
选项正确.
，令
，即
，解得
.
当
时，
.
当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值，
，故C 选项正确.
当
时，
，则
，
在
上单调递增.
当
时，
，
，不满足
.
当
时，令
，得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值
.
令
，对其求导得
.
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
所以
在
处取得最大值
.
要使
，则
，所以
，故
选项正确.
故选：BCD.
3（24-25 高三上·甘肃武威·期末）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的值域为
B．
是
的极小值点
C．若
，则
D．若过点
的曲线
的切线有且仅有两条，则a 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】根据题意，
，
则当
时，
，所以
单调递减，
当
时，
，所以
单调递增，
所以
是
的极小值点，且
，
所以
的值域为
，A 错误，B 正确；
由
，可得
，
，
令
，
是函数
、函数
与函数
的图象的交点A，B 的横坐标，
因为函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，
所以
，
两点关于直线
对称，
因此
，即
，C 正确；
设切点为
，所以切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
即方程
有两个解，则
，解得
或
，D 正确．
故选：BCD
4（2025 高三·北京·专题练习）已知函数
.
(1)当a＝1 时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当a＞0 时，函数
在区间
上的最小值为
，求a 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，
，
则
，
，
所以曲线
在点
处切线的方程为
.
（2）当
时，
，
，
令
，得
或
，
当
即
时，对
，
，即函数
在
上单调递增，
所以
，符合题意；
当
，即
时，
，
，
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，不合题意；
当
即
时，
，
，即函数
在
上单调递减，
，不合题意；
综上，实数
的取值范围为
.
5.（2025 安徽）已知
，其中
.
（1）若
是函数
的极值点，求
的值；
（2）求
的单调区间；
（3）若
在
上的最大值是0，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
．
【解析】（1）由题意得
，因为
是函数
的极值点，所以
，
即
，当
时，
单调递减，当
时，
单调
递增，
所以
是函数
的极值点，即
；
（2）令
，
①当
时，
与
的变化情况如下表：
0
0
0
减
增
减
∴
的单调递增区间是
，
的单调递减区间是
，
②当
时，
的单调递减区间是
；
③当
时，
，
与
的变化情况如下表：
0
0
0
减
增
减
的单调递增区间是
，
的单调递减区间是
，
综上，当
时，
的单调递增区间是
，
的单调递减区间是
；
当
时，
的单调递减区间是
；
当
，
的单调递增区间是
，
的单调递减区间是
；
（3）由（2）可知当
时，
在
的最大值是
，但
，所以
不合题意，
当
时，
在
上单调递减，
可得
在
上的最大值为
，符合题意，
∴
在
上的最大值为0 时，
的取值范围是
．
