第10 讲 对数与对数函数 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1. 对数式的运算.....................................................................................................................2
2. 对数函数的定义及图像.....................................................................................................2
三、典题精讲......................................................................................................................................3
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式......................................................................3
考点二：对数函数的图像与性质..........................................................................................5
考点三：对数函数的综合应用..............................................................................................7
四、高考真题....................................................................................................................................12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与
题型
分
值
考察类型
考察内容与方式
2025
8 题 单
选题
5
分
直接
考察对数方程与大小比较，通过引入中间变量将指对数
互化，结合函数图象比较大小
2024
6 题 单
选题
5
分
间接
考察分段函数的单调性，其中一段为含自然对数的复合
函数，需利用对数函数单调性列不等式
2024
13 题 填
空题
5
分
间接
考察两曲线的公切线问题，解题过程中需对含自然对数
的函数求导并代入切点计算
2024
18 题 解
答题
17
分
间接
考察导数的综合应用，函数解析式中含有对数结构，涉
及对数型函数的求导、单调性分析及最值求解
2026
4 题 单
选题
5
分
间接
考察曲线在某点处的切线方程，需要对含自然对数的函
数进行求导运算
近三年全国一卷中，对数与对数函数是高频基础考点.直接考察主要体现在对数方程
与大小比较；间接考察极为频繁，常作为基本初等函数之一，与导数、切线方程、函数单
调性等知识交汇考察，贯穿于选择、填空及解答题中.
2. 命题角度与特色
核心考点：对数的运算性质、指对互化、对数函数的图象与单调性.
命题趋势：单纯考查对数运算的题目减少，更多地将对数函数作为载体，结合导数工
具考查切线、最值、单调性等综合问题.同时，指对同构、引入参数比较大小也是近年热
门命题方向.
试题特点：注重基础知识的灵活运用，常在分段函数、复合函数中设置对数函数，对
定义域（真数大于0）的考查暗含其中，计算量适中但思维要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握对数的运算法则及换底公式，能够灵活进行指对互化.
· 深刻理解对数函数的图象特征与性质（单调性、过定点等），解题时务必优先注意
定义域的限制（真数大于0）.
· 强化对数函数求导公式的记忆，提升在导数背景下处理对数型函数切线、极值、最
值问题的综合能力.
· 掌握构造函数、引入中间变量（如设k法）比较指对数大小的常用技巧，善于利用数
形结合思想直观解题.
二、知识清单
1. 对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果a
x= N (a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，
记作x = loga N，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）常见对数：
· ①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为loga N，读作以a为底N的对数；
· ②常用对数：以10 为底，记为lg N；
· ③自然对数：以e为底，记为ln N；
（3）对数的性质和运算法则：
· ①loga1=0；logaa=1；其中a>0且a≠1；
· ②a
loga N = N(其中a>0且a≠1，N >0)；
· ③对数换底公式：logab= logcb
logc a；
· ④loga( MN )= loga M + loga N；
· ⑤loga M
N = loga M - loga N；
· ⑥loga
mb
n= n
m logab(m,n∈R)；
· ⑦a
logab=b和logaa
b=b；
· ⑧logab=
1
logba；
2. 对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数y = loga x(a>0且a≠1)叫做对数函数.
（2）对数函数的图象与性质：
【易错提醒】在进行对数运算和解对数方程、不等式时，必须优先保证对数的真数大于
0，底数大于0 且不等于1.
【防坑警示】在使用对数的乘除法则loga( MN )= loga M + loga N时，要注意从左到右变形时，
必须保证M >0且N >0；若原式中仅保证MN >0，拆分时应加绝对值，即
loga( MN )= loga| M |+ loga| N |.
三、典题精讲
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式
考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值
例1.（文档327-275）计算log332⋅log49- log2 3
4 + log26的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】8
【思路】观察待求式子中的对数底数与真数，发现它们均可化为2 或3 的幂次.利用对数的换底公
式及运算性质，将不同底的对数转化为同底或直接约分，再结合对数的加减法法则进行合并计算.
【解析】原式
= log32
5⋅log2
23
2- log2
3
4 + log26=5 log32⋅log23- log2
3
4 + log26=5- log2
3
4 + log26=5+ log2
6
3
4
=5+ log28=8
【规律】处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式
的推论logab⋅logbc = logac进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项.
考法2：解对数方程及求参数
例2.（文档327-274）设p>0,q>0，满足log4 p= log6q = log9(2 p+q)，则p
q =＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
2
【思路】面对连等式且底数和真数均不同的对数方程，常引入辅助变量k，将对数式转化为指数式.
由此可得到关于p和q的指数方程组，将其代入真数的关系式中，构造出关于p
q 的齐次方程，进而
求解.
【解析】令log4 p= log6q = log9(2 p+q)=k，则p= 4
k ,q =6
k ,2 p+q =9
k，∴2 p+q =2⋅4
k +6
k =9
k，
整理得2⋅(
2
3)
2k
+(
2
3)
k
=1，解得(
2
3)
k
= 1
2（负值舍去），∴p
q = 4
k
6
k =(
2
3)
k
= 1
2.
【规律】解决“loga x = logb y = logc(mx +ny)”型问题，核心步骤是“设k法”：令连等式等于k，
将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解.
考法3：利用单调性解对数不等式
例3.（文档327-280）已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f ( x)= log2 x，则
f ( x)≥-2的解集是
A. [- 4 ,0]∪[ 1
4 ,+ ∞)
B. [- 1
4 ,0]∪[ 4 ,+∞)
C. [- 4 ,0)∪[ 1
4 ,+∞)
D. [- 1
4 ,0)∪[ 4 ,+∞)
【答案】A
【思路】题目已知x>0时的解析式及奇函数性质，要求解不等式，需先求出x<0时的解析式.利用
奇函数f (- x)=- f ( x)的性质，将x<0转化为- x>0代入已知解析式.最后结合定义域分段解不等式
即可.
【解析】当x<0时，- x>0，∴f (- x)= log2(- x)，
∵函数f ( x)是定义在R上的奇函数，∴f ( x)=- f (- x)=- log2(- x)，
∴当x<0时，f ( x)=- log2(- x)，
∴f ( x)={
- log2(- x),
x<0
0,
x =0
log2 x ,
x>0
，
要解不等式f ( x)≥-2，只需{
x>0
log2 x ≥-2或{
x<0
- log2(- x)≥-2或{
x =0
0≥-2，
解得x ≥1
4 或- 4≤x<0或x =0，
综上，不等式的解集为[- 4 ,0]∪[ 1
4 ,+∞).
【规律】利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须
严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集.
考法4：对数模型在实际情境中的应用
例4.（文档306-6）（2026·福建厦门·适应）某工厂的产量Q(单位:件)与资本投入K(单位:
万元)、劳动投入L(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数Q = A0⋅K
α⋅L
β(其中A0,α , β为常
数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升20 %,资本投入需增加60 %,则该工厂资
本产出的弹性系数α约为(参考数据: lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 0.3
B. 0.4
C. 0.5
D. 0.6
【答案】B
【思路】根据题意，写出产量提升和资本投入增加后的新函数关系式.将新旧关系式作商，消去常
数项，得到关于参数α的指数方程.两边同时取常用对数，利用对数运算法则将指数转化为系数，
代入已知近似值求解.
【解析】由题意知，Q = A0⋅K
α⋅L
β，当劳动投入不变时，产量提升20 %，资本投入增加60 %，则
Q(1+20 %)= A0⋅[ K (1+60 %)]
α⋅L
β，即1.2Q =1.6
α⋅A0⋅K
α⋅L
β =1.6
α⋅Q，∴1.6
α =1.2，即
(
8
5)
α
= 6
5，两边取常用对数，得α(lg8-lg5)=lg6-lg5，即α(3lg2-1+lg2)=lg2+lg3-1+lg2，
∴α(4lg2-1)=2lg2+lg3-1，代入数据得α(4×0.30-1)=2×0.30+0.48-1，解得α =0.4.
【规律】处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，
两边取常用对数是降维求解的通法.
【考点一 方法总结】
· 处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换
底公式的推论logab⋅logbc = logac进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项.
· 解决“loga x = logb y = logc(mx +ny)”型问题，核心步骤是“设k法”：令连等式等
于k，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程
求解.
· 利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，
必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集.
· 处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数
位置时，两边取常用对数是降维求解的通法.
· 解对数方程或对数不等式时，必须优先将其化为同底数，利用对数函数的单调性
脱去对数符号，转化为不含对数的问题，同时务必注意真数大于0 的限制条件.
考点二：对数函数的图像与性质
考法5：对数函数图像的识别与变换
例5.（文档327-282）已知函数y = loga( x +b)( a,b为常数，其中a>0且a≠1 ) 的图象如图所
示，则下列结论正确的是
A. a=0.5,b=2
B. a=2,b=2
C. a=0.5,b=0.5
D. a=2,b=0.5
【答案】D
【思路】观察函数图象的走势，判断函数的单调性，从而确定底数a的取值范围.再从图象中寻找
特殊点（如与坐标轴的交点），将其坐标代入函数解析式，即可解出平移参数b.
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，∴a>1，排除A，C；又∵函数过点(0.5,0)，∴
b+0.5=1，解得b=0.5.
【规律】识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（a>1增，0<a<1减），二看特殊点定平
移量，三看渐近线定定义域边界.
考法6：求对数型函数过定点
例6.（文档327-283）函数f ( x)= loga( x -1)+2的图象恒过定点
A. (2,2)
B. (2,1)
C. (3,2)
D. (2,0)
【答案】A
【思路】对数函数y = loga x恒过定点(1,0)，即当真数为1 时，对数值为0，与底数无关.据此，令
函数解析式中的真数部分等于1，求出x的值，再代入求出对应的y值，即可得到定点坐标.
【解析】当x =2时f （2）= loga1+2=2，即函数图象恒过(2,2).
【规律】求对数型函数y = A loga(f ( x))+ B的定点时，只需令真数f ( x)=1，解出x0，此时y0= B，
则定点坐标为( x0, y0).
考法7：对数型函数的单调性及比较大小
例7.（文档186-13）（2025·衡水中学·阶段评价）函数y = f ( x)的图象与y =2
x的图象关于
直线y = x对称，则函数y = f (4 x - x
2)的递增区间是＿＿＿＿＿＿.
【答案】(0,2)
【思路】根据互为反函数的图象关于直线y = x对称，可求出f ( x)的解析式.将其代入复合函数中，
利用换元法设内层函数为t，结合对数函数的定义域，根据“同增异减”法则判断复合函数的单调
区间.
【解析】函数y = f ( x)的图象与y =2
x的图象关于直线y = x对称，则函数y = f ( x)= log2 x，∴
y = f (4 x - x
2)= log2(4 x - x
2)，令t = 4 x - x
2>0，解得0< x<4，由于t = 4 x - x
2=-( x -2)
2+ 4，所
以在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，又y = log2t是增函数，∴函数y = f (4 x - x
2)的递增
区间是(0,2).
【规律】求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外
层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论.
考法8：对数型函数的最值与值域
例8.（文档128-13）（2025·江西三新·三月联考）已知函数f ( x)= log2( x
2-2ax)在[2,4 ]上
的最小值是 1，则a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
2
【思路】将对数函数看作外层函数，二次函数看作内层函数.由于底数为2，外层函数单调递增，
所以复合函数的最小值对应内层函数在给定区间上的最小值.通过配方找出内层函数的对称轴，结
合区间位置进行分类讨论.
【解析】令t = x
2-2ax，由于y = log2t在(0,+ ∞)上单调递增，∴t = x
2-2ax在[2,4 ]上的最小值为
2.其对称轴为x =a，当a≤2时，tmin= 4 - 4 a=2，解得a= 1
2；当2<a<4时，tmin=-a
2=2，无解；当
a≥4时，tmin=16-8a=2，解得a= 7
4 （舍去）.综上，a= 1
2.
【规律】处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的
分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0 的限制.
【考点二 方法总结】
· 识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（a>1增，0<a<1减），二看特殊点
定平移量，三看渐近线定定义域边界.在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数
的图象愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x 轴.
· 求对数型函数y = A loga(f ( x))+ B的定点时，只需令真数f ( x)=1，解出x0，此时
y0= B，则定点坐标为( x0, y0).
· 求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内
层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论.
· 处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间
定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0 的限制.
考点三：对数函数的综合应用
考法9：利用图像解对数不等式
例9.（文档327-287）（多选）当0< x ≤1
2时，4
x≤loga x，则a的值可以为
A.
❑√2
2
B.
❑√3
2
C.
❑√6
3
D. ❑√2
【答案】ABC
【思路】不等式在某区间恒成立，可转化为两个函数图象的高低关系.分别作出指数函数和对数函
数的图象，根据底数a的范围分类讨论.通过数形结合，找到满足条件的临界点，列出不等式求解.
【解析】分别记函数f ( x)= 4
x , g( x)= loga x，
由图1 知，当a>1时，不满足题意；当0<a<1时，
如图2，要使0< x ≤1
2时，不等式4
x≤loga x恒成立，只需满足f ( 1
2 )≤g( 1
2 )，即4
1
2 ≤loga
1
2
，即
2≤loga 1
2，解得
❑√2
2 ≤a<1.故选ABC.
【规律】对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，
画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口.
考法10：对数不等式恒成立求参数范围
例10.（文档327-302）已知f ( x)=3-2log2 x ,g( x)= log2 x.
（1） 当x∈[1,4 ]时，求函数y =[ f ( x)+1]⋅g( x)的值域；
（2） 对任意x∈[2
n,2
n+1]，其中常数n∈N，不等式f ( x
2)⋅f (❑√x)>k ⋅g( x)恒成立，求实
数k的取值范围.
【答案】（1）[0,2] （2）当n=0时k ∈(-∞,-2)，当n=1时k ∈(-∞,-3)，当n≥2时
k ∈(-∞,4 n-15+ 9
n )
【思路】第一问利用换元法，将对数函数转化为二次函数，结合定义域求出新变量的范围，再利
用二次函数的性质求值域.第二问将不等式展开并换元，转化为二次不等式恒成立问题，通过分离
参数法，将问题转化为求函数的最值.
【解析】（1） ∵f ( x)=3-2log2 x , g( x)= log2 x，
令y =h( x)=(4 -2log2 x)⋅log2 x =-2(log2 x -1)
2+2，
∵x∈[1,4 ]，∴log2 x∈[0,2]，
所以当log2 x =1，即x =2时取最大值h( x)max =2，当log2 x =0或2，即x =1或x = 4时取最小值
h( x)min=0，
∴函数h( x)的值域为[0,2].
（2） 由f ( x
2)⋅f (❑√x)>k ⋅g( x)得(3- 4 log2 x)(3- log2 x)>k ⋅log2 x，
令t = log2 x，∵x∈[2
n,2
n+1]，∴t = log2 x∈[n,n+1]，
∴(3- 4 t )(3-t )>k ⋅t对一切的t ∈[n,n+1]恒成立，
①当n=0时，若t =0时，k ∈R；
当t ∈(0,1]时，k < (3- 4 t )(3-t )
t
恒成立，即k <4t + 9
t -15，
函数4t + 9
t -15在t ∈(0,1]单调递减，于是t =1时取最小值-2，此时x =2，
于是k ∈(-∞,-2)；
②当n=1时，此时t ∈[1,2]时，k < (3- 4t )(3-t )
t
恒成立，即k <4 t + 9
t -15，
∵4t + 9
t ≥12，当且仅当4t = 9
t ，即t = 3
2时取等号，即4t + 9
t -15的最小值为-3，k ∈(-∞,-3)；
③当n≥2时，此时t ∈[n,n+1]时，k < (3- 4t )(3-t )
t
恒成立，即k <4t + 9
t -15，
函数4t + 9
t -15在t ∈[n,n+1]单调递增，于是t =n时取最小值4 n-15+ 9
n，
此时x =2
n，于是k ∈(-∞,4 n-15+ 9
n ).
综上可得：当n=0时k ∈(-∞,-2)，当n=1时k ∈(-∞,-3)，当n≥2时，k ∈(-∞,4 n-15+ 9
n ).
【规律】处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务
必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解.
考法11：指对函数交点与反函数对称性
例11.（文档327-303）（多选）已知a>1,b>1，a
a-1 =2
a，b
b-1 = log2b，则以下结论正确
的是
A. a+2
a=b+ log2b
B. 1
2
a +
1
log2b =1
C. a-b<-2
D. a+b>4
【答案】ABD
【思路】观察等式结构，发现它们可以看作是反比例型函数与指数、对数函数的交点.利用指数函
数和对数函数互为反函数、图象关于直线y = x对称的性质，结合反比例型函数的对称性，推导出
交点坐标之间的关系，再利用导数和基本不等式判断各选项.
【解析】对于A，由题意知，a,b是函数h( x)=
x
x -1 =1+
1
x -1分别与函数f ( x)=2
x , g( x)= log2 x
图象交点的横坐标，
由y = 1
x 的图象关于y = x对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为h( x)=1+
1
x -1，∴
h( x)的图象也关于y = x对称，又f ( x), g( x)两个函数的图象关于直线y = x对称，故两交点
(a,2
a),(b,log2b)关于直线y = x对称，∴a= log2b,b=2
a，故A 正确；对于B，结合选项A 得
a
a-1 =2
a=b，则ab=a+b，即1
a + 1
b =1，即1
2
a +
1
log2b =1成立，故B 正确；对于C，结合选项A
得a-b= log2b-b(2<b<4)，令φ(b)= log2b-b，则φ
'(b)=
1
b ln2 -1<0，∴φ(b)= log2b-b在
(2,4)上单调递减，则φ(b)>log24 - 4 =-2，故C 错误；对于D，结合选项B 得
a+b=(a+b)( 1
a + 1
b )=2+ b
a + a
b >4(a≠b，即不等式取不到等号)，故D 正确.
【规律】遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.
利用它们图象关于直线y = x对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化.
考法12：利用指对同构解方程或比较大小
例12.（文档327-304）已知正实数m,n满足：n ln n=e
m-n ln m.
（1） 证明：m- ln n= ln m；
（2） 求n
m的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）e
2
4
【思路】第一问通过代数变形，将等式两边化为结构相同的形式，构造出同构函数f ( x)=e
x+ x.利
用该函数的单调性，脱去函数符号，得到变量间的关系.第二问将目标式转化为单变量函数，利用
导数求出最小值.
【解析】（1） 证明：由n ln n=e
m-n ln m可得：e
m
n = ln m+ ln n，
∴e
m-lnn- ln n= ln m，
即e
m-lnn+m- ln n=m+ ln m=e
lnm+ ln m，
设f ( x)=e
x+ x，f
'( x)=e
x+1>0，
∴f ( x)在R上单调递增，
∴f (m- ln n)= f (ln m)，
则m- ln n= ln m.
（2） 由（1）知ln n= ln e
m
m ，∴n= e
m
m ，
∴n
m = e
m
m
2，
令g( x)= e
x
x
2，g
'( x)= e
x⋅x
2-e
x⋅2 x
x
4
= e
x( x -2)
x
3
，
令g
'( x)>0，解得：x>2；令g
'( x)<0，解得：0< x<2；
∴g( x)在(0,2)上单调递减，在(2,+ ∞)上单调递增，
∴g( x)min= g（2）= e
2
4 .
故n
m的最小值为e
2
4 .
【规律】指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用x =e
ln x或x = ln e
x进行指对互化，
将等式两边凑成f (u)= f (v)的形式，再借助函数的单调性得出u= v.
考法13：对数型复合函数的综合应用
例13.（文档327-293）已知函数f ( x)同时具有下列性质：
① f ( x1 x2)= f ( x1)+ f ( x2)；
② 当x∈(0,+∞)时，f ( x)单调递减；
③ f ( x)为偶函数.
（1） 请写出一个符合条件的函数f ( x)的解析式；
（2） 证明你所写的函数满足上述三个性质.
【答案】（1）f ( x)= log 1
2
| x|（答案不唯一） （2）证明见解析
【思路】根据性质①可知函数具有对数运算特征；结合性质②确定对数的底数应在(0,1)之间；再
由性质③偶函数的特点，对自变量加上绝对值.构造出具体函数后，逐一验证三个性质即可.
【解析】（1） 符合条件的函数解析式可以为f ( x)= log 1
2
| x|（答案不唯一）.
（2） 证明：
对于性质①：f ( x1 x2)= log 1
2
| x1 x2|= log 1
2
(| x1|⋅| x2|)= log 1
2
| x1|+ log 1
2
| x2|= f ( x1)+ f ( x2)，
故满足性质①.
对于性质②：当x∈(0,+∞)时，f ( x)= log 1
2
x，∵底数1
2 ∈(0,1)，∴f ( x)在(0,+∞)上单调递减，
故满足性质②.
对于性质③：函数f ( x)= log 1
2
| x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称.且
f (- x)= log 1
2
|- x|= log 1
2
| x|= f ( x)，∴f ( x)为偶函数，故满足性质③.
【规律】应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如
f ( xy )= f ( x)+ f ( y)对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体.
【考点三 方法总结】
· 对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两
个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口.
· 处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换
元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式
或单调性求解.
· 遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两
个函数.利用它们图象关于直线y = x对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量
的相互转化.
· 指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用x =e
ln x或x = ln e
x进行指对
互化，将等式两边凑成f (u)= f (v)的形式，再借助函数的单调性得出u= v.
· 应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如
f ( xy )= f ( x)+ f ( y)对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体.
· 分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷）若实数x , y , z满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x , y , z的大小关系
不可能是
A. x> y > z
B. x> z> y
C. y > x> z
D. y > z> x
【答案】B
【解析】法一：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，
令m=2，则x =1, y =3
-1= 1
3 , z =5
-3= 1
125，此时x> y > z，A 有可能；
令m=5，则x =8, y =9, z =1，此时y > x> z，C 有可能；
令m=8，则x =2
6=64 , y =3
5=243, z =5
3=125，此时y > z> x，D 有可能；
故选B.
法二：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，∴x =2
m-2, y =3
m-3, z =5
m-5.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y =2
x -2, y =3
x -3, y =5
x -5的图象，以上方程的根分别是函数y =2
x -2, y =3
x -3, y =5
x -5的图
象与直线x =m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x> y > z，y > x> z，y > z> x，z> y > x，
故选B.
2.（2026·全国一卷）曲线y =5 x +8ln x在点(1,5)处的切线方程为
A. y =3 x +2
B. y =5 x
C. y =8 x -3
D. y =13 x -8
【答案】D
【解析】∵y =5 x +8 ln x，
∴y
' =5+ 8
x .
当x =1时，切线的斜率k = y
'|x =1=5+8=13.
又切点为(1,5)，
∴切线方程为y -5=13( x -1)，即y =13 x -8.
3.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)={
- x
2-2ax -a,
x<0
e
x+ ln( x +1),
x ≥0，在R上单调递增，则a取值的
范围是
A. (-∞,0]
B. [-1,0]
C. [-1,1]
D. [0,+∞)
【答案】B
【解析】∵f ( x)在R上单调递增，且x ≥0时，f ( x)=e
x+ ln( x +1)单调递增，
则需满足{
--2a
2×(-1) ≥0
-a≤e
0+ ln1
，解得-1≤a≤0，
即a的范围是[-1,0].
故选B.
4.（2024·全国一卷）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a的切线，则
a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】ln2
【解析】由y =e
x+ x得y
' =e
x+1，y
'|x =0=e
0+1=2，
故曲线y =e
x+ x在(0,1)处的切线方程为y =2 x +1；
由y = ln( x +1)+a得y
' =
1
x +1，
设切线与曲线y = ln( x +1)+a相切的切点为( x0,ln( x0+1)+a)，
由两曲线有公切线得y
' =
1
x0+1 =2，解得x0=- 1
2，则切点为(- 1
2 ,a+ ln 1
2 )，
切线方程为y =2( x + 1
2 )+a+ ln 1
2 =2 x +1+a- ln 2，
根据两切线重合，∴a- ln2=0，解得a= ln2.
5.（2024·全国一卷）已知函数f ( x)= ln
x
2- x +ax +b( x -1)
3
（1）若b=0，且f
'( x)≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
（3）若f ( x)>-2当且仅当1< x<2，求b的取值范围.
【答案】（1）-2 （2）证明见解析 （3）b≥- 2
3
【解析】（1）b=0时，f ( x)= ln
x
2- x +ax，其中x∈(0,2)，
则f
'( x)= 1
x +
1
2- x +a=
2
x(2- x) +a, x∈(0,2)，
∵x(2- x)≤(
2- x + x
2 )
2
=1，当且仅当x =1时等号成立，
故f
'( x)min=2+a，而f
'( x)≥0成立，故a+2≥0即a≥-2，
∴a的最小值为-2.
（2）f ( x)= ln
x
2- x +ax +b( x -1)
3的定义域为(0,2)，
设P(m,n)为y = f ( x)图象上任意一点，
P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2-m,2a-n)，
∵P(m,n)在y = f ( x)图象上，故n= ln
m
2-m +am+b(m-1)
3，
而f (2-m)= ln 2-m
m
+a(2-m)+b(2-m-1)
3=-[ln
m
2-m +am+b(m-1)
3]+2a=-n+2a，
∴Q(2-m,2a-n)也在y = f ( x)图象上，
由P的任意性可得y = f ( x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1,a).
（3）∵f ( x)>-2当且仅当1< x<2，故x =1为f ( x)=-2的一个解，
∴f （1）=-2即a=-2，
先考虑1< x<2时，f ( x)>-2恒成立.
此时f ( x)>-2即为ln
x
2- x +2(1- x)+b( x -1)
3>0在(1,2)上恒成立，
设t = x -1∈(0,1)，则ln t +1
1-t -2t +bt
3>0在(0,1)上恒成立，
设g(t )= ln t +1
1-t -2t +bt
3,t ∈(0,1)，
则g
'(t )=
2
1-t
2 -2+3bt
2= t
2(-3bt
2+2+3b)
1-t
2
，
当b≥0，-3bt
2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，
故g
'(t )>0恒成立，故g(t )在(0,1)上为增函数，
故g(t )> g（0）=0即f ( x)>-2在(1,2)上恒成立.
当- 2
3 ≤b<0时，-3bt
2+2+3b≥2+3b≥0，
故g
'(t )≥0恒成立，故g(t )在(0,1)上为增函数，
故g(t )> g（0）=0即f ( x)>-2在(1,2)上恒成立.
当b<- 2
3，则当0<t <❑√1+ 2
3b <1时，g
'(t )<0
故在(0,❑√1+ 2
3b)上g(t )为减函数，故g(t )<g（0）=0，不合题意，舍；
综上，f ( x)>-2在(1,2)上恒成立时b≥- 2
3.
而当b≥- 2
3时，由上述过程可得g(t )在(0,1)递增，故g(t )>0的解为(0,1)，
即f ( x)>-2的解为(1,2).
