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2.5 对数运算及对数函数（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024 广东湛江）函数
（
且
）的图象所过的定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 广东江门）若函数
是函数
（
，且
）的反函数，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 春·湖南）已知
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4（2025 湖北）函数
的图象可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5（2025·安徽）“
”是“函数
在区间
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2026 河北）若不等式
在
内恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7（24-25 福建）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·山东济宁·一模）曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处的切线
斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（24-25 河南 ）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
无零点
D．
在
上单调递增
10．（24-25 江西）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．若函数
的值域为
，则实数
B．若函数
在区间
上为增函数，则实数
的取值范围是
C．若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是
D．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
11．（24-25 湖南）函数
．则下列结论正确的是（ ）
A．在其定义域内
的值域为
B．
的单调递增区间为
C．对定义域内任意
，
恒成立
D．
的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）
与时间（单位：
）间的关系为
，若在前
消除了
的污染物，当污染物减少
时，所需时间
约为
（精确到
，参考数据：
，
，
）．
13．（2025·江西宜春·一模）已知函数
在
上的最小值是1，则
.
14（2025·山西）已知函数
，若
，则
．
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025·全国·高三专题练习）化简求值：
（1）
． （2）
；
（3）
. （4）
（5）
．
16．（24-25 湖南）设
且
，已知函数
.
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)令函数
，解关于
的不等式
.
17．（24-25 云南曲靖·期中）2024 年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的
32 岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2 小时41 分03 秒，马拉松比赛的标准长度是42.195 千米，可测算黄雪梅
在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7 千米／时.
长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以
分钟／千米
来表示，例如：当某位跑步者的配速为5 分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长
为5 分钟，换算后相应的时速为
（千米／时），配速越小速度越快.
(1)计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为
千米／时对应的配速
分钟／千米的解析式；
(2)经统计，业余长跑爱好者不同的配速
（分钟／千米）与血氧饱和度
有如下关系：
，（
，
为常数），且配速为5 分钟／千米时的血氧饱和度为
，配速为4 分钟／千米时的血氧饱和度为
，
求
和
的值；
(3)业余长跑者在血氧饱和度低于
时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要
求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字）
（参考数值：
，
）
18．（2024 安徽合肥）已知函数
是偶函数.
(1)求
的值;
(2)设
，
，若对任意的
，存在
，使得
，求
的
取值范围.
19．（24-25 河北）已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的值域；
(2)若函数
有两个零点
，
，且
，求实数
的取值范围；
(3)请问是否存在实数
，
，使得函数
在区间
上的值域为
？若存在，求出实数
，
的
值；若不存在，请说明理由.
