第10 讲 对数与对数函数·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.（2026·长沙雅礼·5 月模拟）log 1
2
sin15
∘+ log 1
2
cos15
∘=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.（2026·宁波十校·3 月联考）设a>0,b>0,lg ❑√2是lg 4
a与lg2
b的等差中项，则2a+b的值为
（ ）
A. 1
4
B. 1
2
C. 1
D. 2
3.（2026·福建龙岩·3 月检测）某云计算平台处理文件量N（单位：GB）的所需时间
T =k log3 N（单位：min），其中k为常数.已知处理文件量从9GB 增加到729GB 时，处理
时间增加12min；当处理文件量从729GB 增加到6561GB 时，处理时间增加（ ）
A. 3min
B. 6min
C. 9min
D. 24min
4.函数y = log 1
4
( x
2- x -2)的单调递区间为（ ）
A. (-∞, 1
2 )
B. (-∞,-1)
C. ( 1
2 ,+∞)
D. (2,+∞)
5.若函数f ( x)={
2+a
x , x ≤1,
2a+ loga x , x>1在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A. (0,1)
B. [2,+∞)
C. (0, 1
2 )∪(2,+∞)
D. (0,1)∪[2,+ ∞)
6.已知x1是方程x⋅3
x=2的根，x2是方程x⋅log3 x =2的根，则x1⋅x2的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 10
7.（2026·百师联盟·5 月模拟）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的
安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn= 2
3 lg v + 1
20（其中v为轮
毂高度风速，单位：m/ s，n为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂
高度瞬时风速达到32m/ s，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：
10
0.05≈1.12,10
0.72≈5.25,lg2≈0.3010）（ ）
A. 9 级
B. 11 级
C. 13 级
D. 15 级
8.已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f ( x)= log2 x，则f ( x)≥-2的解集是（
）
A. [- 4 ,0]∪[ 1
4 ,+ ∞)
B. [- 1
4 ,0]∪[ 4 ,+∞)
C. [- 4 ,0)∪[ 1
4 ,+∞)
D. [- 1
4 ,0)∪[ 4 ,+∞)
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知a>0,b>0，且a≠1,b≠1,logab<1，则下列不等式
可能成立的是（ ）
A. 1<a<b
B. 1<b<a
C. a<1<b
D. b<a<1
10.（2025·河北保定·二模）（多选）若函数f ( x)=lg 1
x +lg(2 x
2)，则（ ）
A. f ( x)为减函数
B. f ( x)=1⇔x =5
C. f ( x)的值域为R
D. f ( x)<2⇔x<50
11.（2026·南雅中学·检测）（多选）设f ( x)= loga( x +1)，g( x)= loga(1- x)，(a>0 且a≠1)，
则有（ ）
A. f ( x)+ g( x)定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞)
B. f ( x)+ g( x)是偶函数
C. 当0<a<1时，f ( x)- g( x)在(-1,1)上单调递减
D. 当a>1时，f(x
2+a- 1
2)- f(
1
2 - x
2)> g(x
2+a- 1
2)- g(
1
2 - x
2)恒成立
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.（2026·山东泰安·二模）已知实数m>0，且m≠1，若(4 m)
3m=m
m
2，则logm2=＿＿＿＿＿
＿.
13.计算log332⋅log49- log2 3
4 + log26的值为＿＿＿＿＿＿.
14.若函数f ( x)= loga( x
2-ax +1)有最小值，则a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）已知函数f ( x)=(loga x)
2+2loga x +3(a>0,a≠1).
（1） 若f （3）=2，求a的值；
（2） 若对任意的x∈[8,12]，f ( x)>6恒成立，求a的取值范围.
16.（15 分）已知f ( x)=3-2log2 x , g( x)= log2 x.
（1） 当x∈[1,4 ]时，求函数y =[ f ( x)+1]⋅g( x)的值域；
（2） 对任意x∈[2
n,2
n+1]，其中常数n∈N，不等式f ( x
2)⋅f (❑√x)>k ⋅g( x)恒成立，求实
数k的取值范围.
17.（15 分）已知函数f ( x)同时具有下列性质：
① f ( x1 x2)= f ( x1)+ f ( x2)；
② 当x∈(0,+∞)时，f ( x)单调递减；
③ f ( x)为偶函数.
（1） 请写出一个符合条件的函数f ( x)的解析式；
（2） 证明你所写的函数满足上述三个性质.
18.（17 分）已知函数f ( x)= x
2-2 x +3,g( x)= log2 x +m.
（1） 求函数f ( x)在区间[2,4 ]上的最小值；
（2） 若对∀x1∈[2,4 ],∃x2∈[16,32]，使得f ( x1)≥g( x2)，求实数m的取值范围.
19.（17 分）已知正实数m,n满足：nln n=e
m-nln m.
（1） 证明：m- ln n= ln m；
（2） 求n
m的最小值.
