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第 05 讲 对数与对数函数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 的解集是 ，反之不成立.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开
头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数
据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量 进制随机数据中，以
开头的数出现的概率为 ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数
学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （
， ），则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】依题意，得
，
又 ，故 ．
故选：B．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ， ，有以下命题：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，所以 ，即：
所以 ，故①正确，②错误；
又因为 ，
所以 ，
所以 ，即： ，
所以 ，故③正确，④错误．
故选：B.
4．（2023·河北石家庄·统考三模）18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当 很大时，
（常数 ）.利用以上公式，可以估计 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ,
所以 ,
故选：C．
5．（2023·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，
因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B.
6．（2023·安徽黄山·统考三模）“ ”是“函数 在区间 上单调递增”
的（ ）A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令 ， ，
若 在 上单调递增，
因为 是 上的增函数，
则需使 是 上的增函数且 ，
则 且 ，解得 .
因为 ，故 是 的必要不充分条件，
故选：C. ⫋
7．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数 ，若方程 有解，则实数b的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
（当且仅当 ，也即 时取等号）
∴ ，
故选：C.
8．（2023·天津滨海新·统考三模）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】由 知 ,
结合 ，以及换底公式可知，，
当且仅当， ，
即 时等号成立，
即 时等号成立，
故 的最小值为 ，
故选：B.
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．当 时，
D．若 ，则
【答案】BC
【解析】 ，A错； ，B正确；
当 时， ，C正确；
时， ，所以 ，D错．
故选：BC．
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知 ，现有下面四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AB
【解析】当 时，由 ，可得 ，则 ，此时 ，所以A正确；
当 时，由 ，可得 ，则 ，所以B正确.
故选：AB.
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）的图象如下所示．
函数 的图象上有两个不同的点 ， ，则（ ）
A． ， B． 在 上是奇函数
C． 在 上是单调递增函数 D．当 时，
【答案】BCD
【解析】对于A，由图像可知，函数 （ 且 ）在 上单调递增，所以 ，
因为 经过 ，所以 ，所以 ， ，故A错误.
对于B， ，定义域 关于原点对称， ，所以 在 上是奇函数，
故B正确.
对于C，对于 ，由题意不妨令 ，则
，因为
， ，所以 ，即 ，所以 在 上
是单调递增函数，故C正确.
对于D，
，因为 ， ，所以
，所以 ，当且仅当 时等号成立，即当 时，
成立，故D正确.
故选：BCD
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点为 ，函数的零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】令 、 ，则 、 ，
在同一坐标系中分别绘出函数 、 、 的图像，
因为函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，
所以 ， ，解方程组 ，
因为函数 与 互为反函数，
所以由反函数性质知 、 关于 对称，
则 ， ，所以 ，
当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.
故选：BC
13．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设 定义在 上且 ，
则 ______．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
，
同理可得 .
故答案为：14．（2023·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ______．
① ；②当 时， （ 为 的导函数）；③函数
的图象关于点 对称．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ， ，
因此 满足性质①；
若 ，则当 时， ，则 ，
当 时， ，有 ，因此 满足性质②；
当 时， ，则 ，
当 时， ，有 ，
当 时， ，有 ，
于是 ， ，即函数 的图象关于点 对称，
因此函数 满足性质③，
所以具有性质①②③的函数可以为 ．
故答案为：
15．（2023·天津和平·统考二模）设 ， ， ，若 ， ，则 的最大值
为__________．
【答案】3
【解析】因为 ，所以 ， .
又 ， ，
所以 ， .
因为 ， ，根据基本不等式有 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 .
则 ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
16．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数 ，若 ，且 ，则实
数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，
且 ，
所以 为偶函数，设 ，而 为奇函数，奇函数 偶函数 奇函数，
所以函数 为奇函数，关于原点对称，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 即 为 上的增函数，
故 在 上单调递增，
因为 ，所以1 ，解得 ，
实数 的取值范围为 ．
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）求值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
(5)2log 2－log ＋log 8－ ；
3 3 3
(6)(log 125＋log 25＋log 5)·(log 2＋log 4＋log 8).
2 4 8 5 25 125
(7) lg25＋lg2＋lg ＋lg(0.01)－1；(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(9)(log 2＋log 2)·(log 3＋log 3)；
3 9 4 8
(10)2log 2－log ＋log 8－3log 5；
3 3 3 5
【解析】(1)原式 .
(2)
(3)原式= .
(4)原式= = .
(5)原式＝2log 2－5log 2＋2＋3log 2－3＝－1.
3 3 3
(6)原式
.
(7)原式＝
(8)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(9)(log 2＋log 2)·(log 3＋log 3)＝ · ＝ ·
3 9 4 8
＝ · ＝ .
(10)
2log 2－log ＋log 8－3log 5＝log 22＋log (32×2－5)＋log 23－3＝log (22×32×2－5×23)－3
3 3 3 5 3 3 3 3
＝log 32－3＝2－3＝－1.
3
18．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算 ；
（2）已知 ，求实数x的值；
（3）若 ， ，用a，b，表示 ．
【解析】（1）原式= ；
（2）因为 ，所以 ，所以 ，所以x=109；（3）因为 ，所以 ，所以
．
19．（2023·四川成都·统考二模）已知函数
(1)当 时，求函数 的定义域；
(2)当函数 的值域为R时，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时，令 ，
即 ①，或 ②，或 ③，
解①得： ，解②得： ，解③得： ，
所以定义域为 ；
（2）因为 的值域为R，
故 能取遍所有正数，
由绝对值三角不等式 ，
故 ，所以 ，故实数 的取值范围是 .
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 有意义时 的取值
范围为 ，其中 为实数．
(1)求 的值；
(2)写出函数 的单调区间，并求函数 的最大值．
【解析】（1）因为 有意义时 的取值范围为 ，
所以 的解集为 ，
所以 和 是方程 的两根．
由韦达定理可得 ，解得 ．
（2）由（1）知， ，
令 ，
因为 为增函数，且 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时 ， 取得最大值
21．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知函数 为奇函数．
(1)求常数 的值；
(2)当 时，判断 的单调性；
(3)若函数 ，且 在区间 上没有零点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由 ，即 ，
所以 ，故 ，则 ，
当 时， 显然不成立，经验证： 符合题意；
所以 ；
（2） 单调递增
由（1）知： ，若 ，
则 ，
而 ，即 ，
所以 ，故 单调递增.
（3）由 ，令 ，
所以 ，由（2）知： 在 上递增，而 在 上递减，
所以 在 上递减，则 .
又 在区间 上无解，故
22．（2023·高三课时练习）已知函数 的定义域为 ，值域为
，且函数 为 上的严格减函数，求实数a的取值范围.
【解析】由题意有 ， 得 或 ，由 且 ，则 ，
又∵已知函数 的定义域为 ，∴ ．
为 上的严格减函数，函数 在其定义域 上为增函数，
则函数 在定义域内为减函数，有 ；
函数 的定义域为 ，值域为 ，
则有 且 ，
说明 是方程 的两个相异实数根，且 ，
即方程 在区间（3，+∞）内有两相异实根．
设 ，
则有 ，解得 ，
又因为 ，
综上可得： ，即实数a的取值范围为 .
1．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界
直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
2．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
3．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分
记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知
某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.4．（2020·海南·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
5．（2020·天津·统考高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
，
所以 .
故选：D.
6．（2020·全国·统考高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中
K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解析】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C.
7．（2020·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故选：B.
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
9．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
10．（2020·山东·统考高考真题）若 ，则实数 的值是______.
【答案】【解析】 ，
即 ，解得： .
故答案为：
11．（2020·北京·统考高考真题）函数 的定义域是____________．
【答案】
【解析】由题意得 ，
故答案为：
