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5.3 平面向量的数量积及其应用
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量a 与b 的
夹角，向量夹角的取值范围是[0，π].
当θ＝时，a 与b 垂直，记作a⊥b；
当θ＝0 时，a 与b 共线且同向；
当θ＝π 时，a 与b 共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫做向量a 与b 的数量积(或内
积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ.
规定：0·a＝0.
3．投影向量
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的
起点A 和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向
量a 向向量b 投影，A1B1叫做向量a 在向量b 上的投影向量，记为|a|cos θ e.
【注意】设a，b 是非零向量，它们的夹角为θ，则a 在b 上的投影向量为|a|cos θ＝.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量a 与b 的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
(4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且a，b 不共线；
两个向量a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且a，b 不共线.
考点一 平面向量数量积的运算
考点二 利用数量积求投影向量的问题
考点三 利用数量积求夹角问题
考点四 利用数量积求模长的问题
考点五 向量的平行与垂直问题
考点六 平面向量的实际应用
考点一 平面向量数量积的运算
1．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知
和
的夹角为60°，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
2．（2026·河南·模拟预测）已知等边
的边长为2，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）平面向量
，
同向，
，
，则
的坐标是______.
4．（25-26 高三上·广西河池·期中）在
中，已知点
，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．18
D．12
考点二 利用数量积求投影向量的问题
5．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知向量
，
．
(1)求
，
的坐标；
(2)求
与
夹角的余弦值；
(3)求
在
上的投影向量．
6．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量
，
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·河南·三模）已知向量
在向量
方向上的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·江苏泰州·阶段检测）已知
，
，若
与
的夹角为
，则
在
上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·广东珠海·阶段检测）已知
，
，
，若
，则
在方向上的投影向
量的坐标为______．
10．（25-26 高三上·吉林延边·期中）已知向量
，且
与
的夹角为
.
(1)求
；
(2)若
与
平行，求实数
的值；
(3)求
与
上的投影向量.
考点三 利用数量积求夹角问题
11．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）若平面向量
模长相等，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量
与
的夹角为
，设
，
.
(1)求
最小值；
(2)若
与
的夹角为钝角，求的取值范围.
13．（25-26 高三上·广东广州·期中）已知非零向量
，
满足
在
方向的投影向量是
，且
，则
与
的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 高三上·四川泸州·期中）已知平面向量
，
．
(1)求
和
；
(2)求向量
与
的夹角．
15．（2026·河南·三模）已知向量
，
，
，若
与
的夹角为钝角，且
与的夹角
也为钝角，则的取值范围为_____.
16．（25-26 高三上·宁夏银川·期中）已知
求：
(1)
；
(2)
；
(3)
与
的夹角
的余弦值．
考点四 利用数量积求模长的问题
17．（25-26 高三上·重庆·期中）已知非零向量
，
，若
，且
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·广东广州·三模）已知平面向量与
与
满足
，
，且
在
方向上的投影向量为
，则
__________．
19．（25-26 高三上·河北唐山·期末）在
中，
，
，
，点
在边
上（不含端
点），延长
到
，若
．且
，则线段
的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（25-26 高三上·海南·期中）已知向量
,
，则向量
在
方向上的投影向量的模长为
（ ）
A．
B．3
C．
D．−3
21．（25-26 高三上·北京东城·阶段检测）已知向量
，
满足
，
，
．则
______．
22．（25-26 高二下·贵州·阶段检测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
考点五 向量的平行与垂直问题
23．（25-26 高三上·陕西宝鸡·月考）已知向量
，若满足
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（25-26 高三上·辽宁鞍山·期中）已知向量
，
，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
25．（2026·山东烟台·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8
26．（2026·山东青岛·三模）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
27．（26-27 高一·全国·暑假作业）已知
，向量
，
，
，若
，则
的
值为（ ）
A．1
B．
C．0
D．0 或
28．（25-26 高三上·重庆·期中）已知向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
．
(1)求
；
(2)若
，求实数
的值．
考点六 平面向量的实际应用
29．（25-26 高三·全国·一轮复习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设
行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为
，
，且
，
与
的夹角为θ，则以下结论不正确的
是（ ）
A．
的最小值为
B．θ 的范围为
C．当
时，
D．当
时，
30．（25-26 高三上·河北邯郸·期中）如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东
．一艘小货船准备从河岸边
地出发，航行到河对岸的
处，（
与河的方向垂直），已知船的速度为
，过河需要的时间为
，船的行驶方向与水流方向的夹角为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
31．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为
，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需
赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为
，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．4
32．（25-26 高三上·浙江·期中）（多选）两名同学共提一个旅行包，作用在旅行包上的拉力分别为
，
，已知
，旅行包所受的重力为
，
.设
，
的夹角为
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
越小时，
越大
B．
的最小值大于
C．当
时，
D．当
时，
与
夹角的余弦值为
1．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）已知平面向量
，
满足
，
，则
在
上的投影数量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量
，
互相垂直，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
3．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知平面向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．3
4．（25-26 高三上·四川绵阳·阶段检测）已知向量
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·山东济南·模拟预测）设向量
，
满足
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·福建泉州·模拟预测）设
为
的外接圆圆心.若
，且
，则
在
上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
8．（25-26 高二下·云南大理·期中）已知非零向量
，
满足
，且
，则
与
的夹角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·四川泸州·期中）（多选）已知平面向量
，
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
与
的夹角为
C．
在
方向上的投影向量为
D．若向量满足
，则
10．（25-26 高三上·福建泉州·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若
与
是共线向量，则点
、
、
共线B．若
为非零向量，则
与
反向
C．若
，则
D．若
，
，则
11．（2026·湖北·模拟预测）（多选）已知点
，
，
，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知平面向量
，
，下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
在
上的投影向量为
，则
D．若
与
夹角为锐角，则
13．（25-26 高三上·上海·期中）已知向量
，
，
．若
与
的夹角为锐角，则
的
取值范围是________________．
14．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知向量
、
满足
，若
为单位向量，则
_________．
15．（2026·河北邢台·三模）已知向量
满足
，且
，则
_______________.
16．（25-26 高三上·浙江·阶段检测）若平面向量
，
，则
在
上的投影向量为________．（用
表示）
17．（25-26 高三上·上海·期中）已知向量
，
夹角为
，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
18．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）已知三个点
，
，
．
(1)求向量
与
的夹角；
(2)若四边形
是等腰梯形，且
，求点D 的坐标．
19．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知向量
，且
与
的夹角为
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)若
与
垂直，求
的值．
20．（25-26 高三上·江西·阶段检测）如图，在
中，
，
，
．点D，E 分别为边AC 上
的三等分点，点M 满足
，设
，
．
(1)用
，
分别表示向量
，
；
(2)求
；
(3)求
的大小．
