3.3 平面向量的数量积（讲义）
目录
1
知识点01 向量夹角....................................................................................2
2
知识点02 平面向量的数量积....................................................................2
3
知识点03 向量数量积的运算性质............................................................2
4
知识点04 向量的投影................................................................................3
5
知识点05 常见角的余弦值........................................................................3
6
题型一、判断向量夹角的大小.................................................................4
7
题型二、向量的数量积的运算.................................................................8
8
题型三、向量夹角的余弦值....................................................................11
9
题型四、向量垂直...................................................................................14
10
题型五、向量的投影和投影向量...........................................................17
1 知识点01 向量夹角
(1)
已知两个非零向量⃗a与⃗b
①⃗a与⃗b在平面内相交时所形成的角度；如图：
②⃗a与⃗b在平面内共起点时所形成的角度；如图
2 知识点02 平面向量的数量积
(1)
定义：已知两个非零向量⃗a与⃗b，我们把数量|⃗a||⃗b|cosθ叫做⃗a
与⃗b的数量积（或内积），记作⃗a⋅⃗b，即⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ，规定：零
向量与任一向量的数量积为0．
(2)
数量积的运算律
已知向量⃗a、⃗b、⃗c和实数λ，则：
①⃗a⋅⃗b=⃗b⋅⃗a
②( λ⃗a)⋅⃗b= λ(⃗a⋅⃗b)=⃗a⋅( λ⃗b)
③(⃗a+⃗b)⋅⃗c =⃗a⋅⃗c +⃗b⋅⃗c
3 知识点03 向量数量积的运算性质
设⃗a、⃗b都是非零向量，⃗e是与⃗b方向相同的单位向量，θ是⃗a与⃗e的夹角，则
①⃗e⋅⃗a=⃗a⋅⃗e =|⃗a|cosθ
θ 为锐角
θ
θ 为钝角
θ
θ
θ 为锐角
θ
θ 为钝角
②⃗a⊥⃗b⇔⃗a⋅⃗b=0
③当⃗a与⃗b同向时，⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|；当⃗a与⃗b反向时，⃗a⋅⃗b=-|⃗a||⃗b|
④⃗a⋅⃗a=|⃗a|
2或|⃗a|= ❑√⃗a⋅⃗a
⑤cosθ =⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
(|⃗a||⃗b|≠0)
4 知识点04 向量的投影
(1)
向量的投影长度
①定义：向量的投影长度（也称为标量投影）是指一个向量在另一个
向量方向上的“分量”的大小。它是一个标量值，表示一个向量在另
一个向量方向上的“影子”有多长。
②投影长度的公式⃗
a在⃗b方向上的投影长度：⃗a⋅⃗b
|⃗b|⃗
b在⃗a方向上的投影长度：⃗a⋅⃗b
|⃗a|
(2)
向量的投影向量
设⃗a，⃗b是两个非零向量，它们的夹角是θ ,⃗
b
|⃗b|
与⃗b是方向相同的单位向量，⃗
AB =⃗a,⃗CD =⃗b，过⃗AB的起点A和终点B，分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分
别为A1,B1，得到⃗A1B1，我们称上述变换为向量⃗a向向量⃗b投影，⃗A1B1叫做向
量⃗a在向量⃗b上的投影向量．记为|⃗a|cosθ∙⃗
b
|⃗b|
或者⃗a⋅⃗b
|⃗b|
∙⃗
b
|⃗b|
5 知识点05 常见角的余弦值
角度
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
弧度
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
cosθ
1
❑√3
2
❑√2
2
1
2
0
- 1
2
-
❑√2
2
-
❑√3
2
-1
6 题型一、判断向量夹角的大小
1．△ABC中，“⃗AB⋅⃗AC <0”是“A是钝角”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量⃗a，⃗b，⃗c，⃗
d的判断正确的是（ ）
A．⃗a⋅⃗b<0 B．⃗a⋅⃗d >0
C．⃗b⋅⃗c>0
D．⃗b⋅⃗d =0
3．在△ABC 中，AB =3，BC = 4，∠B =60
∘，则⃗AB⋅⃗BC =（ ）
A．12
B．6
C．-6
D．-12
4．在△ABC中，若⃑AB⋅⃑BC >0，则角B的取值范围是（ ）
A．(0, π
2)
B．(0, π
2]
C．(
π
2 ,π)
D．[
π
2 ,π)
5．在△ABC中，⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，若⃗a⋅⃗b>0，则下列结论正确的为（ ）
A．△ABC一定为钝角三角形
B．△ABC一定不为直角三角形
C．△ABC一定为锐角三角形
D．△ABC可为任意三角形
6．设⃗a,⃗b是不共线的两个向量，若命题p：⃗a⋅⃗b>0，命题q：⃗a,⃗b夹角是锐
角，则命题p 是命题q 成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，下列说法错误的是（ ）
A．“|⃗AB+⃗AC|=|⃗BC|”是“A 为直角”的充要条件
B．“|⃗AB+⃗AC|>|⃗BC|”是“A 为锐角”的充要条件
C．“⃗AB⋅⃗AC >0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件
D．“⃗AB⋅⃗AC <0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件
8．已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C 可以构成一个A 为
钝角的钝角三角形”是“⃗AB⋅⃗AC <0”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7 题型二、向量的数量积的运算
1．△ABC是顶角为120
∘的等腰三角形，BC 是底边，且AB =1，则⃗AB⋅⃗BC =
（ ）
A．-
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．- 3
2
D．3
2
2．已知△ABC是边长为2 的等边三角形，则⃗BA ⋅⃗AC =（ ）
A．4
B．- 4
C．2
D．-2
3．已知|⃗a|=1,|⃗b|=2，⃗a与⃗b的夹角为π
3 ，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在△ABC中，∠ABC =30°，AB = ❑√3，BC =3，则⃗AB⋅⃗BC =（ ）
A．3
B．9
2
C．－3
D．- 9
2
5．已知|⃗a|=2,|⃗b|=3,⃗a与⃗b的夹角为π
3 ，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．-3
B．3
C．-3 ❑√3
D．3 ❑√3
6．已知向量|⃗a|=2❑√3,|⃗b|=3，且两向量夹角为π
6 ，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．18
B．9
C．9 ❑√3
D．3 ❑√3
7．如图，△ABC是边长为2 的等边三角形，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．4
B．- 4
C．2
D．-2
8．在三角形ABC中，AC =3, AB = 4 ,∠CAB =120°，则(⃗AB+⃗CA)⋅⃗AB =
（ ）
A．10
B．22
C．-10
D．-22
8 题型三、向量夹角的余弦值
1．已知⃗a,⃗b是单位向量，若(⃗a+⃗b)⋅⃗b= 1
2，则向量⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．2π
3
B．5π
6
C．π
6
D．π
3
2．已知|⃗a|=2，|⃗b|= ❑√5，⃗a⋅⃗b= ❑√10，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
4
B．3 π
4
C．π
6
D．5 π
6
3．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|= ❑√3，|⃗b|= 4，且⃗a⋅⃗b=-6，则向量⃗a与⃗b的夹角为
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
4．已知|⃗a|=6 ❑√3,|⃗b|=1,⃗a⋅⃗b=-9，则向量⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．2π
3
B．5π
6
C．π
3
D．π
6
5．已知|a⃗|=5,|b⃗|= 4，且a⃗·b⃗=10，则⃗a与⃗b的夹角为 （ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
6．已知⃗a⋅⃗b=-3 ❑√3，|⃗a|=2，|⃗b|=3，则⃗a与⃗b的夹角是（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
7．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=5，|⃗b|=2，且(⃗a-2⃗b)⋅⃗a=7，则⃗a与⃗b夹角的余弦
值为（ ）
A．- 9
10
B．9
10
C．5
9
D．- 5
9
8．已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=2,|⃑b|=1,⃑a⋅(⃑a-2⃑b)=2，则⃑a与⃑b的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
9 题型四、向量垂直
1．已知向量⃗a与⃗b的夹角为3π
4 ，|⃗a|= ❑√2，⃗a⊥(⃗a+⃗b)，则|⃗b|=（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．❑√5
2．若平面向量⃗a，⃗b的夹角为60°，且|⃗a|=2|⃗b|，则（ ）
A．⃗a⊥(⃗b+⃗a)
B．⃗b⊥(⃗b-⃗a)
C．⃗b⊥(⃗b+⃗a)
D．⃗a⊥(⃗b-⃗a)
3．已知|⃗a|=2，|⃗b|=3，且⃗a⊥⃗b，则|⃗b-⃗a|=（ ）
A．1
B．❑√5
C．❑√13
D．5
4．已知两个单位向量⃗a，⃗b满足⃗a+ 1
2⃗b与⃗a-7⃗b垂直，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．5
13
B．- 5
13
C．7
13
D．- 7
13
5．若向量⃗a,⃗b满足|⃗a|= ❑√2,|⃗b|=2,⃗a⊥(⃗a-⃗b)，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
4
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
6．已知向量⃑a,⃑b均为单位向量，且⃑a⊥⃑b，则(2⃑a-⃑b)⋅(⃑a+ 4⃑b)=（ ）
A．2
B．-2
C．4
D．- 4
7．已知非零平面向量⃑a、⃑b，“⃑a⋅⃑b=0”是“⃑a⊥⃑b”的（ ）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
8．已知平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,|2⃗a+⃗b|=2，且(⃗a+⃗b)⊥⃗a，则|⃗b|=（ ）
A．2
B．❑√3
C．❑√2
D．1
9．已知平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=2，且(⃗a-2⃗b)⊥⃗a，则|⃗a-⃗b|=（ ）
A．❑√6
B．❑√5
C．2
D．1
10
题型五、向量的投影和投影向量
1．已知向量⃗a与向量⃗b的夹角为π
3 ，且|⃗a|=2，|⃗b|=3则⃗a在⃗b方向上的投影向
量为（ ）
A．1
3⃗a
B．1
2⃗a
C．1
3⃗b
D．1
2⃗b
2．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2，⃗a⋅⃗b=-3，则⃗b在⃗a上的投影向量为（ ）
A．- 3
4⃗a
B．- 3
2⃗a
C．- 1
3⃗a
D．- 2
3⃗a
3．已知非零向量⃗b在向量⃗a上的投影向量为1
2⃗a，|⃗a|=2，则(⃗b-⃗a)⋅⃗a =
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．- 1
2
4．已知|⃗a|=3，|⃗b|= 4，⃗a⋅⃗b=-12，则向量⃗a在⃗b方向上的投影向量为（ ）
A．- 3
4⃗a
B．- 3
4⃗b
C．- 4
3⃗b
D．- 4
3⃗a
5．已知向量⃗a，⃗b，满足|⃗a|=2，|⃗b|=1，且⃗b在⃗a上的投影向量为- 1
4⃗a，
则cos〈⃗a,⃗b 〉=（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．- 1
4
D．1
4
6．若|⃗a|=2，|⃗b|=1，(⃗a-⃗b)⊥⃗b，则向量⃗a在向量⃗b上的投影向量为（ ）
A．- 1
4⃗a
B．1
4⃗a
C．-⃗b
D．⃗b
7．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2,|⃗b|=1，且⃗b⊥(⃗a-⃗b)，则⃗b在⃗a上的投影向量为
（ ）
A．- 1
4⃗a
B．1
4⃗a
C．- 1
2⃗a
D．1
2⃗a
8．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|= 4 , |⃗b|=2, |⃗a-⃗b|= 4，则⃗a在⃗b方向上的投影向量是
（ ）
A．⃗a
8
B．⃗a
4
C．⃗b
4
D．⃗b
2
9．已知|⃗a|=1，|⃗b|=2，cos⟨⃗a,⃗b⟩= 1
2，则⃗a在⃗b上的投影向量为（ ）.
A．1
2⃗b
B．1
2⃗a
C．1
4⃗b
D．1
4⃗a
10．已知向量⃗a与⃗b是非零向量，|⃗a|=1，|⃗b|= 1
2，⃗a与⃗b的夹角为120°，则⃗
a-⃗b在⃗b上的投影向量为（ ）
A．-2⃗b
B．2⃗b
C．-⃗b
D．⃗b
