文档内容
第 02 讲 空间向量的数量积运算
模块一 思维导图串知识 1．了解空间向量的夹角；
模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律
模块三 核心考点举一反三 及计算方法；
模块四 小试牛刀过关测 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意
义；
4．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，
掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.
知识点 1 空间向量的夹角
1、定义：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点D，作 ， ，则∠AOB叫做向量 与
的夹角，记作 ，如下图。
2、夹角的范围：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司通常我们规定： ，且
（1）当 、 共线且同向时， ；
（2）当 、 共线且反向时， ；
（3）当当 、 垂直时，即 时， ．
3、求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；
（2）先求 ，再利用公式 求 ，最后确定 ．
方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小．
知识点 2 空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量 、 ，则 叫做向量 与 的数量积，记作 ，即
．规定：零向量与任意向量的数量积是0．
2、数量积的几何意义
（1）类比平面向量， 等于 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积，
或 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积．
（2）向量 在向量 上的投影向量
如图①，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面 内，
进而利用平面上向量的投影，得到与向量 共线的向量 ， ，向量 称为向量 在向
量 上的投影向量。类似的，可以将向量 向直线 投影（如图②）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）向量 在平面 上的投影
如图③，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别为 ，
，得到向量 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量．这时，向量 ， 的夹角就是向
量 所在直线与平面 所成的角．
3、向量数量积的运算规律：
（1） ；
（2） （交换律）
（3） （分配律）
4、空间向量数量积的性质
设 ， 是非零向量， 是单位向量，则
① ； ② ；
③ 或 ； ④ ； ⑤
5、求空间向量数量积的步骤：
第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，
第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积，
第三步：代入 求解．
知识点 3 空间向量的模长
在空间两个向量的数量积中，特别地 ，
所以向量 的模： ．
将其推广：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司考点一：空间向量数量积的计算
例1．（23-24高二上·四川成都·月考）已知空间向量 的夹角为 ，则
．
【答案】13
【解析】空间向量 的夹角为 ，
则 .
【变式1-1】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体 的棱长为1，设 ，
， ，则 （ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】A
【解析】由题意可知： ，
所以 .故选：A.
【变式1-2】（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面体 中，棱长为2，且E是棱 中点，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】如图所示，
由正四面体的性质可得， ，
由E是棱 中点，
，故选：
A．
【变式1-3】（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体 的棱长都是2，点 为棱 的中
点，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为点 为棱 的中点，
所以 ，
因为四面体 的棱长都是2，
所以 ，故选：B
考点二：利用数量积求向量的夹角
例2. （23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量 ， ， 满足 ， ， 且
，则 与 的夹角大小为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】由题设 ，则 ，
所以 ，又 ，可得 ，即 .故选：C
【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形 中， ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】如图所示，
∵
，
又 ， ，
则
∴ ，∴ ， .故选：D
【变式2-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体 中， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
所以 ，
.
故选：B.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式2-3】（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知 是两个空间向量，若 ， ，
则 ＝ .
【答案】 /0.125
【解析】由题意得 ， ，
则 ，即 ，则
则 ，
故答案为：
考点三：利用数量积求向量的模长
例3. （23-24高二上·湖南益阳·期末）已知空间向量 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．21
【答案】C
【解析】由题意 ， ，
所以 .故选：C.
【变式3-1】（23-24高二下·江苏·月考）已知空间向量 两两夹角为 ，且 ，则
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【解析】依题意， ，
则
，
.
【变式 3-2】（23-24 高二下·福建漳州·月考）在平行六面体 中， ， ，
， ， ，则 =
【答案】
【解析】因为 ，
所以
，
故 .
【变式3-3】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面 和平面 的夹角为 ， ，已知A，B两
点在棱上，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ．已知 ，
，则 的长度为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】平面 和平面 的夹角为 ，则二面角的大小为 或 ，
因为 ，所以 或 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由题可知 ，
，
故 或 ，
或 ．
故选：D.
考点四：利用数量积求投影向量
例4. （22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量 ， ，且 与 夹角的余弦值
为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， ， 与 夹角的余弦值为 ，
在 上的投影向量为
.故选：D．
【变式4-1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形 中， ，
则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在四面体中，因为 ，
设 ，且 ， ，
则 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司在 上的投影向量为 .故选：B
【变式4-2】（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图， ， 分别是圆台上、下底面的两条直径，且
， ， 是弧 靠近点 的三等分点，则 在 上的投影向量是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取 在下底面的投影C，作 ，垂足为D.
连接 ， ， ，则 ， 在 上的投影向量是 .
设上底面的半径为r，则 ， .
故 在 上的投影向量是 .故选：C
【变式4-3】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥 中，已知 平面 ，
， ，则向量 在向量 上的投影向量为 （用向量 来表
示）.
【答案】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】由题意，
在三棱锥 中，已知 平面 ，
,
∵ 面 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ,
，
∴向量 在向量 上的投影向量为：
，
故答案为： .
考点五：利用数量积证明垂直关系
例5. （23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为
a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明： ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：由题意可知， ，且向量 ， ， 两两的夹角均为 ，连接
AN，则 ，
∴
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，即 ．
【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）如图，正方体 的棱长是 ， 和 相交
于点 ．
(1)求 ；
(2)判断 与 是否垂直．
【答案】(1) ；(2)垂直
【解析】（1）正方体 中， ，
故 .
（2）由题意， ，
，
故 与 垂直.
【变式5-2】（22-23高二上·河南洛阳·月考）已知正四面体 的棱长为2，点 是 的重心，点
是线段 的中点.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)用 表示 ，并求出 ；
(2)求证： .
【答案】(1) ， ；(2)证明见解析
【解析】（1）因为点 是 的重心，所以
因为点 是线段 的中点，
所以 .
因为正四面体 的棱长为 ，
所以 ,
所以
，
所以 .
（2）
，
所以 .
【变式5-3】（23-24高二·全国·课后作业）如图，四棱锥 的各棱长都为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)用向量法证明 ；
(2)求 的值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】(1)证明：设AC、BD交于点O，连接PO，如图所示；
四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，且OA＝OC，即 ⊥ ， 0；
又PB＝PD＝a，∴PO⊥BD，即 ⊥ ， 0，
∴ ( )＝0，即 0，
∴ ⊥ ，即BD⊥PC；
(2)根据题意，四棱锥P﹣ABCD是棱长相等的正四棱锥，且AB＝a，
∴顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心O，
在Rt△POC中，PC＝a，OC a，
∴OP＝OC a，
∴∠ACP ， ， ，
∴ 2 • 2 a×a×cos a2＝5a2；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴| | a．
一、单选题
1．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知 ，空间向量 为单位向量， ，则空间向量 在向
量 方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ， ， ，
则空间向量 在向量 方向上的投影数量为 .
所以所求投影向量的模长为2.故选：A
2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知 ， ， 是空间中两两垂直的单位向量，则
（ ）
A． B．14 C． D．2
【答案】A
【解析】依题意得， ， ；
所以 ，故选：
A.
3．（23-24高二上·福建莆田·月考）已知空间向量 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故选：D.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知 ， （ ， ， 为两两互相垂直的
单位向量），若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵ ， ， 为两两互相垂直的单位向量，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，解得 ，故选：C.
5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）三棱锥 中， ，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知 ，
而 ，故 ，
即 ，所以 ，
则 ，解得 ，即 ，故选：A
6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 是边
长为1的菱形，且 ，则（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为 底面 ，所以 底面 ，
所以 ，所以 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
所以
，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D， ，
故D错误.故选：C.
二、多选题
7．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是
△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量为 D．
【答案】AB
【解析】
如图，取DC的中点M，连接AM，BM，
∵AM⊥CD，BM⊥CD， 平面 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴CD⊥平面 ， 平面 ，∴CD⊥AB，故A正确；
取BD的中点H，连接HE，HF，则 ， ，
∴HE⊥FH，即 ，又 ，∴ ， ，
∴ ，故B正确；
由B知， 在 上的投影向量为 ，故C不正确；
，故D不正确，
故选：AB．
8．（23-24高二下·江苏常州·月考）在正方体 中，下列命题是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．正方体 的体积为
【答案】ABC
【解析】设正方体的棱长为 ，
A选项，
，A选项正确；
B选项，
，B选项正确；
C选项，由于三角形 是等边三角形，所以 ，C选项正确；
D选项， ，所以D选项错误.
故选：ABC
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、填空题
9．（23-24高二上·广东广州·期末）正四面体 的棱长为2，设 ， ， ，则
.
【答案】
【解析】在正四面体 中 ， ，
又 ， ， ，
所以 .
10．（23-24高二下·江苏南通·月考）空间四边形 中， ， ， ，且异面直线
与 成 ，则异面直线 与 所成角的大小为 .
【答案】 /
【解析】因为异面直线 与 成 角，则 与 夹角为 或 ，
又 ， .
两边平方，得 ，
即 ，
或 ，
（或 舍去）.
即 与 夹角为 ，所以异面直线 与 所成角为 .
11．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角 的大小为 ，其棱l上有两个点 ，线段
与 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若 则 两点间的距离
为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【解析】因为二面角 的大小为 ， ，
.
,即 两点间的距离为 .
四、解答题
12．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体 的棱长为1，如图所示.
(1)确定向量 在直线 上的投影向量，并求 · ；
(2)确定向量 在平面 上的投影向量，并求 .
【答案】(1)投影向量见解析， ；(2)投影向量见解析，
【解析】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接 ，则有 ，
因此 即为 在直线 上的投影向量.
所以 ·
（2）在正四面体 中，设O在底面 内的投影为Q，易知Q为底面中心，则 平面
,
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司连接 并延长交 于M，则M为 中点， ，
且 即为 平面 内的投影向量.
∴
13．（23-24高二下·山东烟台·月考）在平行六面体 中， ，
， 为 与 的交点.
(1)用向量 表示 ；
(2)求线段 的长及向量 与 的夹角.
【答案】(1) ；(2) ，答案见解析
【解析】（1）因为 为 与 的交点，所以 ，
又因为 ，
所以 .
（2）因为
，所以 ，
因为 ，所以
.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
