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§5.3 平面向量的数量积
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向
量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两
个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的
平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠
AOB
＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量| a || b |cos
θ 叫做向量a 与b 的数量积，
记作a · b .
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝
b，过AB的起点A 和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，
我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A1B1叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为| a |
cos
θ e .
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b · a .
(2)(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) ．
(3)(a＋b)·c＝a · c ＋
b · c .
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋
y 1y2
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b 的充要条件
a·b＝0
x1x2＋
y 1y2＝
0
1
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|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a 与b 的夹角为锐角或0.
(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a 与b 的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( × )
(2)若a，b 共线，则a·b＝|a|·|b|.( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( × )
教材改编题
1．已知向量a，b 满足|a|＝2，|b|＝，且a 与b 的夹角为30°，那么a·b 等于( )
A．1 B. C．3 D．3
答案 C
解析 由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 30°＝2××＝3.
2．已知向量a，b 的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b 的值等于________；a 与b 夹角的余弦值等于
________．
答案 5
解析 因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝＝，|b|＝＝5，
所以cos〈a，b〉＝＝＝.
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB＝DC，P 为CD 上一点，CP＝
3PD，|AB|＝4，|AD|＝3，AB与AD的夹角为θ，且cos θ＝，则AP·PB等于( )
A．8 B．－8 C．2 D．－2
答案 D
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解析 如图所示，
∵AB＝DC，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∵CP＝3PD，
∴AP＝AD＋DP＝AD＋AB，
PB＝AB－AP＝AB－AD，
又∵|AB|＝4，|AD|＝3，cos θ＝，
则AB·AD＝4×3×＝8，
∴AP·PB＝·
＝AB·AD－AD2＋AB2
＝×8－9＋×42＝－2.
(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC 中，AB＝6，BC＝3BD，AM＝2AD，则MC·MB＝________.
答案 22
解析 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝6，BC＝3BD，AM＝2AD，
∴B(－3,0)，C(3,0)，
M(－2，－3)，
∴MB＝(－1,3)，
MC＝(5,3)，
∴MC·MB＝－5＋27＝22.
思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
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跟踪训练1 (1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD 的对角线AC＝2，点P 在另一条对角线
BD 上，则AP·AC的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．4
答案 B
解析 设AC∩BD＝O，则O 为AC 的中点，且AC⊥BD，如图所示，
由AP在AC方向上的投影向量为AO，
得AP·AC＝AO·AC＝AC2＝2.
(2)如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若AB·AC＝2AB·AD，则AD·AC＝
________.
答案 12
解析 因为AB·AC＝2AB·AD，
所以AB·AC－AB·AD＝AB·AD，
所以AB·DC＝AB·AD.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2|AB|＝|AB||AD|cos ，
化简得|AD|＝2.
故AD·AC＝AD·(AD＋DC)＝|AD|2＋AD·DC＝(2)2＋2×2cos ＝12.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a 和b 的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于( )
A．1＋2
B.
C.
D．3
答案 B
解析 根据向量的运算法则和数量积的定义，
可得|a＋2b|＝＝
＝＝.
命题点2 向量的夹角
例3 若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为( )
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A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意可得e1·e2＝1×1×cos ＝，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6＋＋2＝－，
|a|＝＝＝，
|b|＝＝＝，
故cos〈a，b〉＝＝＝－，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.
命题点3 向量的垂直
例4 (2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
答案 －
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－.
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝，若向量a 满足e1·a＝2，则下列选
项正确的是( )
A．|e1－e2|＝1
B．e1在e2上的投影向量的模为
C．e1与e1－e2的夹角为
D．a 在e1上的投影向量为2e1
答案 ABD
解析 因为e1·e2＝1×1×cos〈e1，e2〉＝，所以e1，e2的夹角为，
设OA＝e1，OB＝e2，则BA＝e1－e2，由此可得△OAB 是一个等边三角形，
所以〈e1，e1－e2〉＝，故C 错误；
|e1－e2|2＝e－2e1·e2＋e＝1，故|e1－e2|＝1，故A 正确；
因为e1在e2上的投影向量为e2＝e2，所以模为，故B 正确；
设e1与a 的夹角为θ，因为e1·a＝2＝|a|cos θ，
所以a 在e1上的投影向量为(|a|cos θ)e1＝2e1，故D 正确．
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(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则
t 等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
题型三 平面向量的实际应用
例5 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力
为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下
列结论正确的是( )
A．|G|＝|F1|＋|F2| B．当θ＝时，|F1|＝|G|
C．当θ 角越大时，用力越省 D．当|F1|＝|G|时，θ＝
答案 B
解析 根据题意可得G＝F1＋F2，
则|G|＝|F1＋F2|＝＝＝，
当θ＝0 时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，
当θ＝时，|G|＝＝|F1|，
即|F1|＝|G|，故A 错误，B 正确；
|G|＝，因为y＝cos θ 在(0，π)上单调递减，
且行李包所受的重力G 不变，所以当θ 角越大时，用力越大，故C 错误；
当|F1|＝|G|时，即|G|＝＝|F1|，解得cos θ＝－，
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故D 错误．
思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
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跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中
的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角
为θ(0<θ<π)，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ 等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 B
解析 由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
有|v1||v2|cos θ＋v＝0，
即10×4cos θ＋42＝0，
所以cos θ＝－.
课时精练
1．若|m|＝4，|n|＝6，m 与n 的夹角为135°，则m·n 等于( )
A．12 B．12 C．－12 D．－12
答案 C
解析 由题意知m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×＝－12.
2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于( )
A．5 B．6 C. D．4
答案 A
解析 ∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a
＋b|＝＝5.
3．已知a，b 为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a 与b 夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 B
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解析 将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a 与b 的夹角为θ，即8|a||b|
cos θ＋3|b|2＝3|a|2，
将|a|＝|b|代入8|a||b|cos θ＋3|b|2＝3|a|2，
得cos θ＝.
4．已知|b|＝3，a 在b 上的投影向量为b，则a·b 的值为( )
A．3 B. C．2 D.
答案 B
解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，∵|a|cos θ＝b，∴＝，∴|a|cos θ＝，∴a·b＝|a||b|cos θ＝
×3＝.
方法二 a·b＝b·b＝b2＝.
5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠A＝60°，点P 是BC 的中点，则PA·PD等于( )
A．0 B. C．3 D.
答案 C
解析 由题意可得PA＝－(AB＋BP)＝－，
PD＝PC＋CD＝AD－AB，
故PA·PD＝－·
＝|AB|2－2＝4－1＝3.
6．在△ABC 中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC 外接圆圆心为O，则AO·AB等于( )
A．8 B. C．8 D．18
答案 A
解析 由题意得O 为△ABC 外心，故AO·AB＝AB2＝8.
7．(2023·郑州模拟)在以OA 为边，以OB 为对角线的菱形OABC 中，OA＝(4,0)，OB＝(6，
a)，则∠AOC 等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题设，AB＝OB－OA＝(2，a)，且|AB|＝|OA|＝4，
所以＝4，则a＝±2，故OB＝(6，±2)，
由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，则0<∠AOB<，
又cos∠AOB＝＝＝，则∠AOB＝，
所以∠AOC＝.
8．已知P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：PA＋PB＋PC＝0；
乙：PA·(PA－PB)＝PC·(PA－PB)；
丙：|PA|＝|PB|＝|PC|；
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丁：PA·PB＝PB·PC＝PC·PA.
如果只有一个等式不成立，则该等式为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 B
解析 甲：PA＋PB＋PC＝0，则PA＋PB＝－PC，故P 为△ABC 的重心；
乙：PA·(PA－PB)＝PC·(PA－PB)，则(PA－PB)·CA＝BA·CA＝0，故AB⊥AC，即△ABC 为直
角三角形；
丙：点P 到三角形三个顶点的距离相等，故P 为△ABC 的外心；
丁：PA·PB＝PB·PC，则(PA－PC)·PB＝CA·PB＝0，同理可得BA·PC＝CB·PA＝0，即P 为
△ABC 的垂心，
当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当
乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立．
9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a 与b 的夹角为________．
答案
解析 由b＝(－1,0)，得|b|＝1，
因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，
所以a·b＋2b2＝0，
所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0，
因为|a|＝4，
所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
10．(2022·全国甲卷)设向量a，b 的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝
________.
答案 11
解析 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.
11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3 个力的作用，其中重力G 的大小为4 N，水平拉力
F1的大小为3 N，另一力F2未知，则( )
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N
B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N 时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D．当|F2|＝2 N 时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
答案 ACD
解析 由题意知，F2的大小等于重力G 与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5 N，故
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A 正确；
如图②，物体所受合力应等于向量AD与F2的和向量的大小，显然B 错误；
当物体所受合力为F1时，说明G 与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，C 正确；
由上知，重力G 与水平拉力F1的合力为AD，|AD|＝5 N，易知当F2与AD同向时合力最大，
最大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，
即3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N，故D 正确．
12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b 的夹角是锐角，则m 的取值范围是( )
A．(－6，＋∞)
B.
C.∪
D.∪
答案 C
解析 因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，
所以a·b＝6＋m，
因为向量a，b 的夹角是锐角，所以
解得m>－6，且m≠.
所以实数m 的取值范围是∪.
13．(多选)已知O 为坐标原点，点A(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－
β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP2|＝|P1P3|
C.OA·OP1＝OP2·OP3
D.OA·OP3＝OP1·OP2
答案 ABD
解析 由题意OA＝(1,0)，OPi的坐标等于Pi的坐标(i＝1,2,3)，
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|OP1|＝|OP2|＝1，A 正确；
|AP2|＝＝，
|P1P3|＝＝＝，
所以|AP2|＝|P1P3|，B 正确；
OA·OP1＝cos α，OP2·OP3＝cos βcos(α－β)＋sin βsin(α－β)＝cos(2β－α)，C 错误；
OA·OP3＝cos(α－β)，OP1·OP2＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，D 正确．
14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD 中，∠BAD＝60°，AB＝2，E 是BC 的中点，F 是AB 上一
点，且AE·DF＝0，则BD·EF＝________.
答案 －
解析 设AF＝λAB，则DF＝AF－AD＝λAB－AD，
AE＝AB＋BE＝AB＋AD.
所以AE·DF＝·(λAB－AD)＝λAB2＋AB·AD－AD2＝5λ－4＝0，
解得λ＝.
则EF＝AF－AE＝－AB－AD，
故BD·EF＝(AD－AB)·
＝AB2＋AB·AD－AD2＝－.
15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(|AD|2－|BC|2)，我们称为极化恒等式．在△ABC
中，M 是BC 中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
答案 －16
解析 由题设，|AM|＝3，|BC|＝10，
AB·AC＝·(4|AM|2－|BC|2)＝×(36－100)＝－16.
16．在2022 年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈
现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪
花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904 年研究的一种分形曲线．如图是
“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的
中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角
形的边长为3，则图③中OM·ON的值为________．
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答案 6
解析 在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
|OM|＝2，OM＝＝(1,)，
|MP|＝，即MP＝，
|PN|＝，由分形知PN∥OM，所以PN＝，
所以ON＝OM＋MP＋PN＝，
所以OM·ON＝1×＋×＝6.
12
