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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数 学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集
，集合M 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，且
，其中a，b 为实数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的
人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
：
，
，
，…，依此类推，其中
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设F 为抛物线
的焦点，点A 在C 上，点
，若
，则
（ ）
A．2 B．
C．3 D．
6．执行下边的程序框图，输出的
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在正方体
中，E，F 分别为
的中点，则（ ）
A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
8．已知等比数列
的前3 项和为168，
，则
（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
9．已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲
乙、丙比赛获胜的概率分别为
，且
．记该棋手连胜两盘的概率
为p，则（ ）
A．p 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大
11．双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径的圆记为D，过
作D 的切线与C
交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
的定义域均为R，且
．
若
的图像关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为
____________．
14．过四点
中的三点的一个圆的方程为____________．
15．记函数
的最小正周期为T，若
，
为
的零点，则
的最小值为____________．
16．己知
和
分别是函数
（
且
）的极小值点和极
大值点．若
，则a 的取值范围是____________．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共60 分．
17．（12 分）
记
的内角
的对边分别为
，已知
．
（1）证明：
；
（2）若
，求
的周长．
18．（2 分）
如图，四面体
中，
，E 为
的中点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）设
，点F 在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正弦值．
19．（12 分）
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积
量，随机选取了10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：
）和材积量（单
位：
），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得
．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积
总和为
．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林
区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数
．
20．（12 分）
已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过
两点．
（1）求E 的方程；
（2）设过点
的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于
点T，点H 满足
．证明：直线HN 过定点．
21．（12 分）
已知函数
.
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在区间
各恰有一个零点，求a 的取值范围．
（二）选考题，共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数）．以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为
．
（1）写出l 的直角坐标方程；
（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
已知a，b，c 都是正数，且
，证明：
（1）
；
（2）
．
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
参考答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答
案写在答题卡上.写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1. A 2. A 3. C. 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. C 10.D 11. C 12.
D
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13.
14.
或
或
或
；
15.
16.
三、解答题：共0 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共60 分．
17.
（1）
证明：因为
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
；
（2）
解：因为
，
由（1）得
，
由余弦定理可得
，
则
，
所以
，
故
，
所以
，
所以
的周长为
.
18.
（1）
因为
，E 为
的中点，所以
；
在
和
中，因为
，
所以
，所以
，又因为E 为
的中点，所以
；
又因为
平面
，
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）
连接
，由（1）知，
平面
，因为
平面
，
所以
，所以
，
当
时，
最小，即
的面积最小.
因为
，所以
，
又因为
，所以
是等边三角形，
因为E 为
的中点，所以
，
，
因为
，所以
,
在
中，
，所以
.
以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，
又因为
，所以
，
所以
，
设
与平面
所成的角的正弦值为
，
所以
，
所以
与平面
所成的角的正弦值为
.
19.
（1）
样本中10 棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10 棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为
，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）
设该林区这种树木的总材积量的估计值为
，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得
，解之得
．
则该林区这种树木的总材积量估计为
20.
（1）
解：设椭圆E 的方程为
，过
，
则
，解得
，
，
所以椭圆E 的方程为：
.
（2）
，所以
，
①若过点
的直线斜率不存在，直线
.代入
，
可得
，
，代入AB 方程
，可得
，由
得到
.求得HN 方程：
，过点
.
②若过点
的直线斜率存在，设
.
联立
得
，
可得
，
，
且
联立
可得
可求得此时
，
将
，代入整理得
，
将
代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN 过定点
21.
（1）
的定义域为
当
时,
,所以切点为
,所以切线斜率为2
所以曲线
在点
处的切线方程为
（2）
设
若
,当
,即
所以
在
上单调递增,
故
在
上没有零点,不合题意
若
,当
,则
所以
在
上单调递增所以
,即
所以
在
上单调递增,
故
在
上没有零点,不合题意
若
(1)当
,则
,所以
在
上单调递增
所以存在
,使得
,即
当
单调递减
当
单调递增
所以
当
当
所以
在
上有唯一零点
又
没有零点,即
在
上有唯一零点
(2)当
设
所以
在
单调递增
所以存在
,使得
当
单调递减
当
单调递增,
又
所以存在
,使得
,即
当
单调递增,当
单调递减
有
而
,所以当
所以
在
上有唯一零点,
上无零点
即
在
上有唯一零点
所以
,符合题意
所以若
在区间
各恰有一个零点,求
的取值范围为
（二）选考题，共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.
（1）
因
l：
，所以
，
又因为
，所以化简为
，
整理得l 的直角坐标方程：
（2）
联立l 与C 的方程，即将
，
代入
中，可得
，
所以
，
化简为
，
要使l 与C 有公共点，则
有解，
令
，则
，令
，
，
对称轴为
，开口向上，
所以
，
，
所以
m 的取值范围为
.
[选修4-5：不等式选讲]
23.
（1）
证明：因为
，
，
，则
，
，
，
所以
，
即
，所以
，当且仅当
，即
时取等号．
（2）
证明：因为
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
当且仅当
时取等号．
