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浙江省杭州市2021 年中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．2021
C．
D．
2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909 米的我国载人深潜纪录，
数据10909 用科学记数法可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．因式分解：
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，设点
是直线外一点，
，垂足为点
，点
是直线上的一个动点，
连接
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．某景点今年四月接待游客25 万人次，五月接待游客60.5 万人次，设该景点今年四
月到五月接待游客人次的增长率为
（
），则（ ）
A．
B．
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C．
D．
7．某轨道列车共有3 节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两
位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在“探索函数
的系数
，
，
与图象的关系”活动中，老师给出
了直角坐标系中的四个点：
，
，
，
，同学们探索了经
过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，
其中
的值最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知线段
，按如下步骤作图：①作射线
，使
；②作
的平
分线
；③以点
为圆心，
长为半径作弧，交
于点
；④过点
作
于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
和
均是以
为自变量的函数，当
时，函数值分别为
和
，
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若存在实数
，使得
，则称函数
和
具有性质
．以下函数
和
具有性质
的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
二、填空题
11．sin30°的值为_____．
12．计算：2a+3a＝_____．
13．如图，已知
的半径为1，点
是
外一点，且
．若
是
的切
线，
为切点，连接
，则
_____．
14．现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．
甲种糖果
乙种糖果
单元（元/千克）
30
20
千克数
2
3
将这2 千克甲种糖果和3 千克乙种糖果混合成5 千克什锦糖果，若商家用加权平均数
来确定什锦糖果的单价，则这5 千克什锦糖果的单价为______元/千克．
15．如图，在直角坐标系中，以点
为端点的四条射线
，
，
，
分别过点
，点
，点
，点
，则
______
（填
“
”“
”“
”中的一个）．
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16．如图是一张矩形纸片
，点
是对角线
的中点，点
在
边上，把
沿直线
折叠，使点
落在对角线
上的点
处，连接
，
．若
，则
_____度．
三、解答题
17．以下是圆圆解不等式组
的解答过程．
解：由①，得
，
所以
．
由②，得
，
所以
，
所以
．
所以原不等式组的解是
．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
18．为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360 名学生进行一分钟跳
绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直
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方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级360 名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次）
频数
100~130
48
130~160
96
160~190
a
190~220
72
（1）求
的值．
（2）把频数直方图补充完整．
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．
19．在①
，②
，③
这三个条件中选择其中一个，
补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在
中，
，点
在
边上（不与点
，点
重合），点
在
边上（不与点
，点
重合），连接
，
，
与
相
交于点
．若______，求证：
．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
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20．在直角坐标系中，设函数
（
是常数，
，
）与函数
（
是常数，
）的图象交于点A，点A 关于
轴的对称点为点
．
（1）若点
的坐标为
，
①求
，
的值．
②当
时，直接写出
的取值范围．
（2）若点
在函数
（
是常数，
）的图象上，求
的值．
21．如图，在
中，
的平分线
交
边于点
，
于点
．
已知
，
．
（1）求证：
．
（2）若
，求
的面积
22．在直角坐标系中，设函数
（
，
是常数，
）．
（1）若该函数的图象经过
和
两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶
点坐标．
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（2）写出一组
，
的值，使函数
的图象与
轴有两个不同的交点，
并说明理由．
（3）已知
，当
（
，
是实数，
）时，该函数对应的函数值
分别为
，
．若
，求证
．
23．如图，锐角三角形
内接于
，
的平分线
交
于点
，交
边于点
，连接
．
(1)求证：
．
(2)已知
，
，求线段
的长（用含
，
的代数式表示）．
(3)已知点
在线段
上（不与点
，点
重合），点
在线段
上（不与点
，
点
重合），
，求证：
．
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参考答案
1．B
【分析】
由去括号法则，即可得到答案．
【详解】
解：
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则进行计算．
2．B
【分析】
用科学记数法表示绝对值大于1 的数，形如
为正整数，据此解题．
【详解】
解：10909 用科学记数法可表示为
，
故选：B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示绝对值大于1 的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
3．A
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：
，
故选：A．
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
4．C
【分析】
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根据垂线段距离最短可以判断得出答案．
【详解】
解：根据点
是直线外一点，
，垂足为点
，
是垂线段，即连接直线外的点
与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点
与点
重合时有
，
综上所述：
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．
5．A
【分析】
由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：
，故A 正确，C 错误；
，故B、D 错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
6．D
【分析】
根据题意可直接列出方程进行排除选项即可．
【详解】
解：由题意得：
；
故选D．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
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7．C
【分析】
用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率．
【详解】
解：将3 节车厢分别记为1 号车厢，2 号车厢，3 号车厢，用树状图表示所有等可能的结果，
共有9 种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3 可能，
即甲和乙从同一节车厢上车的概率是
，
故选：C．
【点睛】
本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．A
【分析】
分四种情况讨论，利用待定系数法，求过
，
，
，
中的三个
点的二次函数解析式，继而解题．
【详解】
解：设过三个点
，
，
的抛物线解析式为：
分别代入
，
，
得
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解得
；
设过三个点
，
，
的抛物线解析式为：
分别代入
，
，
得
解得
；
设过三个点
，
，
的抛物线解析式为：
分别代入
，
，
得
解得
；
设过三个点
，
，
的抛物线解析式为：
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分别代入
，
，
得
解得
；
最大为
，
故选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
9．D
【分析】
由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角
三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵
，
∴
，
∵AD 平分
，
∴∠BAD=45°，
∵
，
∴△APE 是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
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∴
，
∵AB=AE，
∴
，
∴
；
故选D．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰
直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．
10．A
【分析】
根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】
解：当
时，函数值分别为
和
，若存在实数
，使得
，
对于A 选项则有
，由一元二次方程根的判别式可得：
，所以存在实数m，故符合题意；
对于B 选项则有
，由一元二次方程根的判别式可得：
，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于C 选项则有
，化简得：
，由一元二次方程根的判别式
可得：
，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于D 选项则有
，化简得：
，由一元二次方程根的判别式
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可得：
，所以不存在实数m，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二
次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
11．
【详解】
试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=
．
12．5a
【分析】
根据同类项运算的加法法则进行计算即可.
【详解】
原式＝（2＋3）a
＝5a.
【点睛】
本题主要考查的是同类项运算的加法法则，熟练掌握法则是本题的解题关键.
13．
【分析】
根据圆的切线的性质，得
，根据圆的性质，得
，再通过勾股定理计算，
即可得到答案．
【详解】
∵
是
的切线，
为切点
∴
∴
∵
的半径为1
∴
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∴
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质，
从而完成求解．
14．24
【分析】
根据题意及加权平均数的求法可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：
（元/千克）；
故答案为24．
【点睛】
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．
15．=
【分析】
连接DE，判断△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，即可得到
．
【详解】
解：连接DE，如图
∵点
，点
，点
，点
，点
，
由勾股定理与网格问题，则
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，
，
∴△ABC 是等腰直角三角形；
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴△ADE 是等腰直角三角形；
∴
；
故答案为：=．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌
握掌握所学的知识，正确判断△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形．
16．18
【分析】
连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x 的代数式表示出∠ADC=90°，
列出方程解方程即可．
【详解】
连接MD，设∠DAF=x
根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°
∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x
∴∠DMF=2x
∵△DCE 折叠得到△DFE
∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE
又MF=AB
∴MF=DF
∴∠MDF=2x
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°
∴∠CDE=∠ACD=x
∴∠FDE=∠CDE=x
∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°
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∴x=18°
故∠DAF=18°
故答案为18．
【点睛】
本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF 表示出∠ADC 是解题关键．
17．有错误，正确的过程见解析
【分析】
利用一元一次不等式的性质、去括号、移项、合并同类项、化系数为1 等解题．
【详解】
解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
由①，得
，
所以
，
所以
；
由②，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
将不等式组的解集表示在数轴上：
所以原不等式组的解是
．
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【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．（1）144；（2）见解析；（3）20%
【分析】
（1）根据各组频数之和等于总数求出a 的值即可得出答案；
（2）根据频数分布表中的数据，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）用总人数乘以样本中第4 组频数和占总人数的比例即可．
【详解】
解：（1）
；
则
的值为144；
（2）补全频数直方图，如图．
（3）因为
，
所以该年级一分钟跳绳次数在190 次以上的学生数占该年级全部学生数的20%．
【点睛】
本题考查了频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
19．见解析
【分析】
根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：选择条件①的证明：
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因为
，
所以
，
又因为
，
，
所以
≌
，
所以
．
选择条件②的证明：
因为
，
所以
，
又因为
，
，
所以
≌
，
所以
．
选择条件③的证明：
因为
，
所以
，
又因为
，
，
所以
≌
，
所以
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS，AAS，
SAS，ASA，HL
20．（1）①
，
；②
；（2）0
【分析】
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（1）①根据点A 关于
轴的对称点为点
，可求得点A 的坐标是
，再将点A 的坐标
分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得
，
；②观察图象可
解题；
（2）将点B 代入
，解得
的值即可解题．
【详解】
解（1）①由题意得，点A 的坐标是
，
因为函数
的图象过点A，
所以
，
同理
．
②由图象可知，当
时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，
即当
时，
．
（2）设点A 的坐标是
，则点
的坐标是
，
所以
，
，
所以
．
【点睛】
本题考查关于y 轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知
识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】
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（1）根据题意证明
即可；
（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC 的长，用三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）因为
平分
，
所以
．
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
．
（2）由题意，得
，
，
所以
，
所以
的面积为
．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角
三角函数值是解题关键．
22．（1）
，顶点坐标是
；（2）
，
，理由见解析；（3）
见解析．
【分析】
（1）把点
和
代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求
解顶点坐标；
（2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；
（3）由题意，得
，
，则有
，进而问题
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可求解．
【详解】
解：（1）把点
和
代入得：
，
解得
，
∴
，则化为顶点式为
，
∴该函数图象的顶点坐标是
；
（2）例如
，
，此时
；
因为
，
所以函数
图象与
轴有两个不同的交点；
（3）由题意，得
，
，
∵
，
∴
，
由题意，知
，
所以
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
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23．(1)见解析；(2)
；(3)见解析
【分析】
(1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角
形相似；
(2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由
即可求得；
(3)要证
即证
，已知条件有一对角相等，利用外角关系
可以证明
，从而得证．
【详解】
(1)因为
平分
，
所以
，
又因为
，
所以
．
(2)由(1)，知
，
因为
，
所以
，
所以
．
(3)因为
，
又因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
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又因为
，
所以
，
所以
，
所以
．
【点睛】
本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解
题关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似．
