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2021 年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（本题包括10 道小题，每小题3 分，共30 分，每小题只有一个正确答案，请
在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）
1．|﹣2|的倒数是（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．﹣
2．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5
B．2x3﹣x3＝1
C．x3•x4＝x7
D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
3．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50 名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计
如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差
B．中位数，方差
C．中位数，众数
D．平均数，众数
4．关于x 的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0 的根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体
的小立方体的个数不可能是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018 年到2020 年，我国
快递业务量由507 亿件增加到833.6 亿件，设我国从2018 年到2020 年快递业务量的年
平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（
）
A．∠BDE＝∠BAC
B．∠BAD＝∠B
C．DE＝DC
D．AE＝AC
8．定义：一次函数y＝ax+b 的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m 的图象向上平移3
个单位长度后与反比例函数y＝﹣
的图象交于A，B 两点，且点A，B 关于原点对称，
则一次函数y＝﹣2x+m 的特征数是（ ）
A．[2，3]
B．[2，﹣3]
C．[﹣2，3]
D．[﹣2，﹣3]
9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE，将
△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD，BC 于M，
N 两点，当B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
10．如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q 同时从点A 出发，点P 沿
A→B→C 的路径运动，点Q 沿A→D→C 的路径运动，点P，Q 的运动速度相同，当点P
到达点C 时，点Q 也随之停止运动，连接PQ．设点P 的运动路程为x，PQ2为y，则y
关于x 的函数图象大致是（ ）
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2
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题包括7 道小题，每小题3 分，共21 分。将答案直接填在答题卡对应题的
横线上）
11．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012 米，数据0.00000012 用科学
记数法表示为 ．
12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，
能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1 的度数为 ．
14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索
比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳
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3
索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺．
设绳索长x 尺，竿长y 尺，则可列方程组为 ．
15．若关于x 的不等式组
，有且只有2 个整数解，则a 的取值范围是
．
16．如图，AB 是⊙O 的弦，AB＝2
，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点
M，N 分别是AB，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．
17．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x 轴上的等腰直角
三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x 轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y
＝
（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 ．（用含有正整数n
的式子表示）
三、解答题（本题包括9 道小题，共69 分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡
上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5 分）计算：（
）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣
|．
19．（6 分）先化简，再求值：（
+x﹣1）÷
，其中x 满足x2﹣x﹣2＝0．
20．（6 分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相
应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），
当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法
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4
求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
21．（7 分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在
南岸边B 处测得对岸边A 处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s 的速度沿着河岸
向东步行40s 后到达C 处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度
（结果取整数，参考数据：
≈1.732）
22．（7 分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取
了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100 分），整理后绘制成如图所示的不完整的
扇形统计图和频数分布直方图．
其中A 组的频数a 比B 组的频数b 小15．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取 名学生，a 的值为 ；
（2）在扇形统计图中，n＝ ，E 组所占比例为 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500 名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80 分以上的学生
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5
人数．
23．（8 分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶
甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6 元，该单位以零售价分别用900 元和
720 元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300 桶，且甲种消毒
液的桶数不少于乙种消毒液桶数的
．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20
元/桶、15 元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金
额是多少元？
24．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC，点P 是射线AC 上的动点，
连接OP，过点B 作BD∥OP，交⊙O 于点D，连接PD．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）当四边形POBD 是平行四边形时，求∠APO 的度数．
25．（10 分）已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（
OA＜OM＜OA），∠AOB＝
∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON 绕点O 顺时针旋转．
①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N 在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM 的长．
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6
26．（12 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3 交x 轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y 轴
于点C，动点P 在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及△PBC 的周长；
（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q 为
顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请
说明理由．
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2021 年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括10 道小题，每小题3 分，共30 分，每小题只有一个正确答案，请
在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）
1．|﹣2|的倒数是（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．﹣
【分析】先求出|﹣2|＝2，再根据倒数定义可知，2 的倒数是
．
【解答】解：|﹣2|的倒数是
，
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5
B．2x3﹣x3＝1
C．x3•x4＝x7
D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算法
则逐一判断即可．
【解答】解：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；
C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；
D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；
故选：C．
3．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50 名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计
如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差
B．中位数，方差
C．中位数，众数
D．平均数，众数
【分析】通过计算成绩为91、92 分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结
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8
果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26 位数据，因此不影响中位数的计算，进
而进行选择．
【解答】解：由表格数据可知，成绩为24 分、92 分的人数为50﹣
（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），
成绩为100 分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，
成绩从小到大排列后处在第25、26 位的两个数都是98 分，因此中位数是98，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：C．
4．关于x 的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0 的根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【分析】先计算判别式，再配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△
＞0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【解答】解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体
的小立方体的个数不可能是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【解答】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都
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有）个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，
∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，
∴不可能有6 个．
故选：D．
6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018 年到2020 年，我国
快递业务量由507 亿件增加到833.6 亿件，设我国从2018 年到2020 年快递业务量的年
平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
【分析】根据题意可得等量关系：2018 年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020 年的快
递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2018 年至2020 年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：507（1+x）2＝833.6，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（
）
A．∠BDE＝∠BAC
B．∠BAD＝∠B
C．DE＝DC
D．AE＝AC
【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD 是∠BAC 的平分线，根据同角的余角相
等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD 可判定D，由于
DE 不是AB 的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD 是∠BAC 的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED 和Rt△ACD 中，
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，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE 不是AB 的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D 不符合题意，B 符合题意，
故选：B．
8．定义：一次函数y＝ax+b 的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m 的图象向上平移3
个单位长度后与反比例函数y＝﹣
的图象交于A，B 两点，且点A，B 关于原点对称，
则一次函数y＝﹣2x+m 的特征数是（ ）
A．[2，3]
B．[2，﹣3]
C．[﹣2，3]
D．[﹣2，﹣3]
【分析】将一次函数y＝﹣2x+m 的图像向上平移3 个单位长度后，得到解析式y＝﹣
2x+m+3，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x 的一元二次方程，设A（x1，
0），B（x2，0），所以x1 与x2 是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到
，又A，B 两点关于原点对称，所以x1+x2＝0，则
，得到m＝﹣
3，根据定义，得到一次函数y＝﹣2x+m 的特征数是[﹣2，﹣3]．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m 向上平移3 个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，
设A（x1，0），B（x2，0），
联立
，
∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，
∵x1和x2是方程的两根，
∴
，
又∵A，B 两点关于原点对称，
∴x1+x2＝0，
∴
，
∴m＝﹣3，
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根据定义，一次函数y＝﹣2x+m 的特征数是[﹣2，﹣3]，
故选：D．
9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE，将
△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD，BC 于M，
N 两点，当B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方
程即可解得BE 的长．
【解答】解：①当MB'＝
MN 时，如图：
Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝
AB＝1，
∴AM＝
＝2
，
∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM 是矩形，
∴BN＝AM＝2
，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2
﹣x，
Rt△B'EN 中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，
∴（2
﹣x）2+22＝x2，
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解得x＝
，
∴BE 的长为
；
②当NB'＝
MN 时，如图：
∵NB'＝
MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝
，
∴BE 的长为
，
综上所述，BE 的长为
或
．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q 同时从点A 出发，点P 沿
A→B→C 的路径运动，点Q 沿A→D→C 的路径运动，点P，Q 的运动速度相同，当点P
到达点C 时，点Q 也随之停止运动，连接PQ．设点P 的运动路程为x，PQ2为y，则y
关于x 的函数图象大致是（ ）
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13
A．
B．
C．
D．
【分析】在Rt△APQ 中，利用勾股定理可求出PQ2 的长度，分0≤x≤3、3≤x≤4 及
4≤x≤7 三种情况找出y 关于x 的函数关系式，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：在Rt△APQ 中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，
∴PQ2＝2x2．
当0≤x≤3 时，AP＝AQ＝x，
∴y＝PQ2＝2x2；
当3≤x≤4 时，DP＝x﹣3，AP＝x，
∴y＝PQ2＝32+32＝18；
当4≤x≤7 时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，
∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．
故选：C．
二、填空题（本题包括7 道小题，每小题3 分，共21 分。将答案直接填在答题卡对应题的
横线上）
11．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012 米，数据0.00000012 用科学
记数法表示为
1.2×10
﹣ 7
．
【分析】绝对值小于1 的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0 的个数所决定．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故答案为：1.2×10﹣7．
12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，
能让两个小灯泡同时发光的概率是
．
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14
【分析】画树状图，共有6 种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2 种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6 种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2 种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为
＝
，
故答案为：
．
13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1 的度数为
75°
．
【分析】由“两直线平行，内错角相等”得到∠2＝∠C＝30°，再根据三角形的外角性
质求解即可．
【解答】解：如图，∠A＝45°，∠C＝30°，
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15
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠C＝30°，
∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°．
14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索
比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳
索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺．
设绳索长x 尺，竿长y 尺，则可列方程组为
．
【分析】设绳索长x 尺，竿长y 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳
索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得
解．
【解答】解：设绳索长x 尺，竿长y 尺，
依题意得：
．
故答案为：
．
15．若关于x 的不等式组
，有且只有2 个整数解，则a 的取值范围是 ﹣
1 ＜
a ≤
1
．
【分析】解每个不等式得出1≤x＜
，根据不等式组整数解的个数得出关于a 的不等
式组，解之即可．
【解答】解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，
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解不等式2x﹣a＜5，得：x＜
，
∵不等式组只有2 个整数解，
∴2＜
≤3，
解得﹣1＜a≤1，
故答案为：﹣1＜a≤1．
16．如图，AB 是⊙O 的弦，AB＝2
，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点
M，N 分别是AB，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是
﹣
．
【分析】连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB＝120°，求出OM＝1，OA＝
2，再根据三角形中位线性质得到MN∥AC，MN＝
AC，然后根据三角形相似得到
＝（
）2＝
，故当△ABC 的面积最大时，△MBN 的面积最大，由C、O、M
在一条直线时，△ABC 的面积最大，求得△ABC 的最大值，进而即可求得△MBN 的面
积最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影部分的
最大值．
【解答】解：连接OA、OB、OM，如图，
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17
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝
AB＝
，
∴OM⊥AB，
∴tan30°＝
，
∴OM＝
×
＝1，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N 分别是AB、BC 的中点，
∴MN∥AC，MN＝
AC，
∴△MBN∽△ABC，
∴
＝（
）2＝
，
∴当△ABC 的面积最大时，△MBN 的面积最大，
∵C、O、M 在一条直线时，△ABC 的面积最大，
∴△ABC 的面积最大值为：
×
×（2+1）＝3
，
∴△MBN 的面积最大值为：
，
∵S 弓形＝S 扇形OAB﹣S△AOB＝
﹣
＝
﹣
，
∴此时，S 阴影＝
﹣
+
＝
﹣
，
故答案为：
﹣
．
17．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x 轴上的等腰直角
三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x 轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y
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18
＝
（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 （
+
，﹣
+
） ．（用含
有正整数n 的式子表示）
【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y＝x，将它与y＝
联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从
而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2∥OB1，直
线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1B2的解析
式，同样，将它与y＝
联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线
段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点
B3的坐标，得出规律．
【解答】解：过B1作B1M1⊥x 轴于M1，
易知M1（1，0）是OA1的中点，
∴A1（2，0）．
可得B1的坐标为（1，1），
∴B1O 的解析式为：y＝x，
∵P1O∥A1P2，
∴A1B2的表达式一次项系数相等，
将A1（2，0）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2，
∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，
与y＝
（x＞0）联立，解得B2（1+
，﹣1+
）．
仿上，A2（2
，0）．
B3（
+
，﹣
+
），
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19
依此类推，点Bn的坐标为（
+
，﹣
+
），
故答案为（
+
，﹣
+
）．
三、解答题（本题包括9 道小题，共69 分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡
上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5 分）计算：（
）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣
|．
【分析】先计算负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运
算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣2×
+2
＝﹣
＝
．
19．（6 分）先化简，再求值：（
+x﹣1）÷
，其中x 满足x2﹣x﹣2＝0．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有
意义的条件确定x 的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝
•
＝
•
＝x（x+1）
＝x2+x，
解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
当x＝2 时，原式＝22+2＝6．
20．（6 分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相
应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），
当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法
求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
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20
【分析】画树状图，共有9 种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限
内的结果有4 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9 种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4 种，
∴点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为
．
21．（7 分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在
南岸边B 处测得对岸边A 处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s 的速度沿着河岸
向东步行40s 后到达C 处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度
（结果取整数，参考数据：
≈1.732）
【分析】如图，作AD⊥BC 于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝30°，
∠ACD＝45°，在Rt△ACD 中，由三角函数的定义得到AD＝CD，在Rt△ABD 中，由三
角函数的定义得到BD＝
，根据BC＝BD﹣CD 即可求出AD．
【解答】解：如图，作AD⊥BC 于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝
45°，
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21
在Rt△ACD 中，∵tan∠ACD＝tan45°＝
＝1，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD 中，∵tan∠ABD＝tan30°＝
，
∴BD＝
，
∵BC＝BD﹣CD＝
﹣AD＝60（m），
∴AD＝30（
+1）≈82（m），
答：此段河面的宽度约82m．
22．（7 分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取
了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100 分），整理后绘制成如图所示的不完整的
扇形统计图和频数分布直方图．
其中A 组的频数a 比B 组的频数b 小15．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取
150
名学生，a 的值为
12
；
（2）在扇形统计图中，n＝
144
，E 组所占比例为
4
%；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500 名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80 分以上的学生
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22
人数．
【分析】（1）A 组的频数a 比B 组的频数b 小15，而A 组的频频率比B 组的频率小
18%﹣8%＝10%，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出a 的值即
可；
（2）求出“D 组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E 组”所占的百分比；
（3）求出b 的值，“C 组”频数以及“E 组”频数即可；
（4）求出样本中成绩在80 分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在80 分
以上的学生人数．
【解答】解：（1）A 组的频数a 比B 组的频数b 小15，A 组的频频率比B 组的频率小
18%﹣8%＝10%，
因此调查人数为：15÷（18%﹣8%）＝150（人），
a＝150×8%＝12（人），
故答案为：150，12；
（2）360°×
＝360°×40%＝144°，即n＝144，
“E 组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，
故答案为：144，4；
（3）b＝a+15＝27（人），
“C 组”频数为：150×30%＝45（人），
“E 组”频数为：150×4%＝6（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（4）1500×
＝660（人），
答：估计成绩在80 分以上的学生人数大约为660 人．
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23
23．（8 分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶
甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6 元，该单位以零售价分别用900 元和
720 元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300 桶，且甲种消毒
液的桶数不少于乙种消毒液桶数的
．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20
元/桶、15 元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金
额是多少元？
【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）
元/桶，根据数量＝总价÷单价，结合该单位以零售价分别用900 元和720 元采购了相同
桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，根据购进甲种消毒液
的桶数不少于乙种消毒液桶数的
，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出
m 的取值范围，设所需资金总额为w 元，根据所需资金总额＝甲种消毒液的批发价×购
进数量+乙种消毒液的批发价×购进数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一
次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）
元/桶，
依题意得：
＝
，
解得：x＝24，
经检验，x＝24 是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝30．
答：甲种消毒液的零售价为30 元/桶，乙种消毒液的零售价为24 元/桶．
（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，
依题意得：m≥
（300﹣m），
解得：m≥75．
设所需资金总额为w 元，则w＝20m+15（300﹣m）＝5m+4500，
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∵5＞0，
∴w 随m 的增大而增大，
∴当m＝75 时，w 取得最小值，最小值＝5×75+4500＝4875．
答：当甲种消毒液购买75 桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875 元．
24．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC，点P 是射线AC 上的动点，
连接OP，过点B 作BD∥OP，交⊙O 于点D，连接PD．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）当四边形POBD 是平行四边形时，求∠APO 的度数．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质求出∠PAO＝90°，根据平行线的性质和等腰
三角形的性质求出∠DOP＝∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（，根
据全等三角形的性质得出∠PDO＝∠PAO＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据全等得出PA＝PD，根据平行四边形的性质得出PD＝OB，求出PA＝OA，再
求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵PA 切⊙O 于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
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25
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP 和△DOP 中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO＝∠PAO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
即OD⊥PD，
∵OD 过O，
∴PD 是⊙O 的切线；
（2）解：
由（1）知：△AOP≌△DOP，
∴PA＝PD，
∵四边形POBD 是平行四边形，
∴PD＝OB，
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，
∵∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠AOP＝45°．
25．（10 分）已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（
OA＜OM＜OA），∠AOB＝
∠MON＝90°．
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（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON 绕点O 顺时针旋转．
①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N 在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM 的长．
【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，
利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM＝BN；
（2）①连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得
对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN＝90°，再根据勾股定理，结合线段相等进
行代换，即可证明结论成立；
②分点N 在线段AM 上和点M 在线段AN 上两种情况讨论，连接BN，设BN＝x，根据
勾股定理列出方程，求出x 的值，即可得到BN 的长，BN 的长就是AM 的长．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
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（2）①证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MN2+BN2＝MN2，
∵△MON 都是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2；
②解：如图3，当点N 在线段AM 上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN 且AM⊥BN，
在Rt△ABN 中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3
，AB＝4
，
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∴（x﹣3
）2+x2＝（4
）2，
解得：x＝
，
∴AM＝BN＝
，
如图4，当点，M 在线段AN 上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN 且AM⊥BN，
在Rt△ABN 中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3
，AB＝4
，
∴（x+3
）2+x2＝（4
）2，
解得：x＝
，
∴AM＝BN＝
，
综上所述，线段AM 的长为
或
．
26．（12 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3 交x 轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y 轴
于点C，动点P 在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及△PBC 的周长；
（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q 为
顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请
说明理由．
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【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）因为BC 为定值，所以当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，如图1，连接AC 交
对称轴于点P，由轴对称性质可知，此点P 即为所求，再利用勾股定理求出AC、BC，
即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论：①以AC 为边时，由四边形ACPQ 是菱形，可得CP＝
CA，建立方程求解即可，②以AC 为对角线时．由四边形ACPQ 是菱形，可得CP＝
PA，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3 交x 轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴
，
解得：
，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3 中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC，BC 是定值，
∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小．
如图1，点A、B 关于对称轴l 对称，连接AC 交l 于点P，则点P 为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC 周长的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC．
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3
，BC＝
．
∴△PBC 周长的最小值是：3
+
．
抛物线对称轴为直线x＝﹣
＝1，
设直线AC 的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：
，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
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设P（1，t），
①以AC 为边时，如图2，
∵四边形ACPQ 是菱形，
∴CP＝CA，
∴12+（3﹣t）2＝32+32，
解得：t＝3±
，
∴P1（1，3﹣
），P2（1，3+
），
∴Q1（4，﹣
），Q2（4，
），
②以AC 为对角线时，如图3，
∵四边形ACPQ 是菱形，
∴CP＝PA，
∴12+（3﹣t）2＝（1﹣3）2+t2，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），Q3（2，2），
综上所述，符合条件的点Q 的坐标为：Q1（4，﹣
），Q2（4，
），Q3（2，
2）．
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