文档文本内容
2019 年广东省深圳市中考数学试卷
一、选择题（每小题3 分，共12 小题，满分36 分）
1．（3 分）﹣
的绝对值是（ ）
A．﹣5
B．
C．5
D．﹣
2．（3 分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）预计到2025 年，中国5G 用户将超过460000000，将460000000 用科学记数法表示
为（ ）
A．4.6×109
B．46×107
C．4.6×108
D．0.46×109
4．（3 分）下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）这组数据20，21，22，23，23 的中位数和众数分别是（ ）
A．20，23
B．21，23
C．21，22
D．22，23
6．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4
B．a3•a4＝a12
C．（a3）4＝a12
D．（ab）2＝ab2
7．（3 分）如图，已知l1∥AB，AC 为角平分线，下列说法错误的是（ ）
A．∠1＝∠4
B．∠1＝∠5
C．∠2＝∠3
D．∠1＝∠3
8．（3 分）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B 两点为圆心，大于
AB 的长为半径画
圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN 与AC 相交于点D，则△BDC 的周长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．13
9．（3 分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b 和y＝
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3 分）下面命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2＝14x 的解为x＝14
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
11．（3 分）定义一种新运算
n•xn﹣1dx＝an﹣bn，例如
2xdx＝k2﹣n2，若
﹣x﹣2dx＝
﹣2，则m＝（ ）
A．﹣2
B．﹣
C．2
D．
12．（3 分）已知菱形ABCD，E、F 是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确
的有几个（ ）
①△BEC≌△AFC；②△ECF 为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则
＝
．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（每小题3 分，共4 小题，满分12 分）
13．（3 分）分解因式：ab2﹣a＝ ．
14．（3 分）现有8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不
透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2 的卡片的概率是 ．
15．（3 分）如图，在正方形ABCD 中，BE＝1，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角
线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上，求EF＝ ．
16．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A 在反比例函数y＝
图象上，且y 轴平分∠ACB，求k＝ ．
三、解答题（第17 题5 分，第18 题6 分，第19 题7 分，第20 题8 分，第21 题8 分，第22 题9
分，第23 题9 分，满分52 分）
17．（5 分）计算：
﹣2cos60°+（
）﹣1+（π﹣3.14）0
18．（6 分）先化简（1﹣
）÷
，再将x＝﹣1 代入求值．
19．（7 分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行
调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅
不完整的统计图．
（1）这次共抽取 名学生进行调查，扇形统计图中的x＝ ；
（2）请补全统计图；
（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度；
（4）若该校有3000 名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名．
20．（8 分）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600 米，AD⊥BC，施工队站在点D
处看向B，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE∥AC，ED＝500 米，测得仰角为53°，
求隧道BC 长．（sin53°≈
，cos53°≈
，tan53°≈
）．
21．（8 分）有A、B 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40 度电，A 焚烧
20 吨垃圾比B 焚烧30 吨垃圾少1800 度电．
（1）求焚烧1 吨垃圾，A 和B 各发电多少度？
（2）A、B 两个发电厂共焚烧90 吨的垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾两倍，求A 厂
和B 厂总发电量的最大值．
22．（9 分）如图抛物线经y＝ax2+bx+c 过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E 在直线x＝1 上的两个动点，且DE＝1，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的
周长的最小值．
（3）点P 为抛物线上一点，连接CP，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5 两部分，求
点P 的坐标．
23．（9 分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC 为直径
作圆，圆心为E，直线AC 交⊙E 于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；
（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交⊙E 于点G，连接BG；
①当tan∠ACF＝
时，求所有F 点的坐标 （直接写出）；
②求
的最大值．
2019 年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共12 小题，满分36 分）
1．（3 分）﹣
的绝对值是（ ）
A．﹣5
B．
C．5
D．﹣
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣
|＝
，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的性质．
2．（3 分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
3．（3 分）预计到2025 年，中国5G 用户将超过460000000，将460000000 用科学记数法表示
为（ ）
A．4.6×109
B．46×107
C．4.6×108
D．0.46×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其．中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值
时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数
【解答】解：将460000000 用科学记数法表示为4.6×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4．（3 分）下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项A、C、D 不是正方体展开图；选项B 是正方体
展开图．．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图有11 种特征，分四种类型，即：第
一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1 个，第二行放4 个，第三行放1 个；第二种：“2﹣2
﹣2”结构，即每一行放2 个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，
即每一行放3 个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1 个正
方形，第二行放3 个正方形，第三行放2 个正方形．
5．（3 分）这组数据20，21，22，23，23 的中位数和众数分别是（ ）
A．20，23
B．21，23
C．21，22
D．22，23
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则
处于中间位置的数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：这组数据排序后为20，21，22，23，23，
∴中位数和众数分别是22，23，
故选：D．
【点评】本题主要考查了中位数以及众数，中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的
移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现．
6．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4
B．a3•a4＝a12
C．（a3）4＝a12
D．（ab）2＝ab2
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方化简即可
判断．
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故选项A 不合题意；
B．a3•a4＝a7，故选项B 不合题意；
C．（a3）4＝a12，故选项C 符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，故选项D 不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键．
7．（3 分）如图，已知l1∥AB，AC 为角平分线，下列说法错误的是（ ）
A．∠1＝∠4
B．∠1＝∠5
C．∠2＝∠3
D．∠1＝∠3
【分析】利用平行线的性质得到∠2＝∠4，∠3＝∠2，∠5＝∠1+∠2，再根据角平分线的定
义得到∠1＝∠2＝∠4＝∠3，∠5＝2∠1，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵l1∥AB，
∴∠2＝∠4，∠3＝∠2，∠5＝∠1+∠2，
∵AC 为角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠3，∠5＝2∠1．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等．
8．（3 分）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B 两点为圆心，大于
AB 的长为半径画
圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN 与AC 相交于点D，则△BDC 的周长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．13
【分析】利用基本作图得到MN 垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，
然后利用等线段代换得到△BDC 的周长＝AC+BC．
【解答】解：由作法得MN 垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC 的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
9．（3 分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b 和y＝
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判
定y＝ax+b 经过一、二、四象限，双曲线y＝
在二、四象限．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax+b 过一、二、四象限，
双曲线y＝
在二、四象限，
∴C 是正确的．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
10．（3 分）下面命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2＝14x 的解为x＝14
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A 不正确；
由方程x2＝14x 的解为x＝14 或x＝0 得出选项B 不正确；
由六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°得出选项C 不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D 正确；即可得出结论．
【解答】解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2＝14x 的解为x＝14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角
三角形全等的判定；要熟练掌握．
11．（3 分）定义一种新运算
n•xn﹣1dx＝an﹣bn，例如
2xdx＝k2﹣n2，若
﹣x﹣2dx＝
﹣2，则m＝（ ）
A．﹣2
B．﹣
C．2
D．
【分析】根据新运算列等式为m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，解出即可．
【解答】解：由题意得：m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，
﹣
＝﹣2，
5﹣1＝﹣10m，
m＝﹣
，
故选：B．
【点评】本题考查了负整数指数幂和新定义，理解新定义，并根据新定义进行计算是本题
的关键．
12．（3 分）已知菱形ABCD，E、F 是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确
的有几个（ ）
①△BEC≌△AFC；②△ECF 为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则
＝
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】①△REC≌△AFC （SAS），正确；②由△BEC≌△AFC，得CE＝CF，∠BCE＝
∠ACF，由∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，得∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF 是等边三角
形，正确；③因为∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG，∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°
+∠AFG，所以∠AGE＝∠AFC，故③正确；④过点E 作EM∥BC 交AC 下点M 点，易证
△AEM 是等边三角形，则EM＝AE＝3，由AF∥EM，则
＝
＝
．故④正确，
【解答】解：①△REC≌△AFC （SAS），正确；
②∵△BEC≌△AFC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60，
∴△CEF 是等边三角形，
故②正确；
③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；
∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正确正确；
④过点E 作EM∥BC 交AC 下点M 点，
易证△AEM 是等边三角形，则EM＝AE＝3，
∵AF∥EM，
∴则
＝
＝
．
故④正确，
故①②③④都正确．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角形
的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3 分，共4 小题，满分12 分）
13．（3 分）分解因式：ab2﹣a＝
a （
b +1
）（
b ﹣
1 ）
．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
14．（3 分）现有8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不
透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2 的卡片的概率是
．
【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案．
【解答】解：∵现有8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，
∴将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2 的
卡片的概率是：
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握计算公式是解题关键．
15．（3 分）如图，在正方形ABCD 中，BE＝1，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角
线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上，求EF＝
．
【分析】作FM⊥AB 于点M．根据折叠的性质与等腰直角三角形的性质得出EX＝EB＝AX
＝1，∠EXC＝∠B＝90°，AM＝DF＝YF＝1，由勾股定理得到AE＝
＝
．那
么正方形的边长AB＝FM＝
+1，EM＝
﹣1，然后利用勾股定理即可求出EF．
【解答】解：如图，作FM⊥AB 于点M．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°．
∵将BC 沿CE 翻折，B 点对应点刚好落在对角线AC 上的点X，
∴EX＝EB＝AX＝1，∠EXC＝∠B＝90°，
∴AE＝
＝
．
∵将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上的点Y，
∴AM＝DF＝YF＝1，
∴正方形的边长AB＝FM＝
+1，EM＝
﹣1，
∴EF＝
＝
＝
．
故答案为
．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质以及勾股定理．
求出EM 与FM 是解题的关键．
16．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A 在反比例函数y＝
图象上，且y 轴平分∠ACB，求k＝
．
【分析】要求k 得值，通常可求A 的坐标，可作x 轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝
3AD 和C（0，﹣3）可以求出A 的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对
应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A 的坐标，进而确定k 的值．
【解答】解：过A 作AE⊥x 轴，垂足为E，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
可证△ADE∽△CDO
∴
，
∴AE＝1；
又∵y 轴平分∠ACB，CO⊥BD
∴BO＝OD
∵∠ABC＝90°
∴△ABE～COD
∴
设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，
∴
，
∴n＝
∴OE＝4n＝
∴A（
，1）
∴k＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三
角形的性质求A 的坐标，依据A 在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k 的值．综合
性较强，注意转化思想方法的应用．
三、解答题（第17 题5 分，第18 题6 分，第19 题7 分，第20 题8 分，第21 题8 分，第22 题9
分，第23 题9 分，满分52 分）
17．（5 分）计算：
﹣2cos60°+（
）﹣1+（π﹣3.14）0
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式＝3﹣2×
+8+1
＝3﹣1+8+1
＝11．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6 分）先化简（1﹣
）÷
，再将x＝﹣1 代入求值．
【分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝
×
＝x+2，
将x＝﹣1 代入得：
原式＝x+2＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
19．（7 分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行
调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅
不完整的统计图．
（1）这次共抽取
200
名学生进行调查，扇形统计图中的x＝
15%
；
（2）请补全统计图；
（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是
36
度；
（4）若该校有3000 名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有
900
名．
【分析】（1）依据喜爱古筝的人数数据，即可得到调查的学生人数，根据喜欢竹笛的学生
数占总人数的百分比即可得到结论；
（2）求二胡的学生数，即可将条形统计图补充完整；
（3）依据“扬琴”的百分比，即可得到“扬琴”所占圆心角的度数；
（4）依据喜爱“二胡”的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱“二胡”的学生数量．
【解答】解：（1）80÷40%＝200，x＝
×100%＝15%，
故答案为：200；15%；
（2）喜欢二胡的学生数为200﹣80﹣30﹣20﹣10＝60，
补全统计图如图所示，（3）扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是：360°×
＝
36°，
故答案为：36；
（4）3000×
＝900，
答：该校喜爱“二胡”的学生约有有900 名．
故答案为：900．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．
20．（8 分）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600 米，AD⊥BC，施工队站在点D
处看向B，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE∥AC，ED＝500 米，测得仰角为53°，
求隧道BC 长．（sin53°≈
，cos53°≈
，tan53°≈
）．
【分析】作EM⊥AC 于M，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABD 中，AB＝AD＝600，
作EM⊥AC 于M，
则AM﹣DE＝500，
∴BM＝100，
在Rt△CEM 中，tan53°＝
＝
＝
，
∴CM＝800，
∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）
答：隧道BC 长为700 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解
答此题的关键．
21．（8 分）有A、B 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40 度电，A 焚烧
20 吨垃圾比B 焚烧30 吨垃圾少1800 度电．
（1）求焚烧1 吨垃圾，A 和B 各发电多少度？
（2）A、B 两个发电厂共焚烧90 吨的垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾两倍，求A 厂
和B 厂总发电量的最大值．
【分析】（1）设焚烧1 吨垃圾，A 发电厂发电x 度，B 发电厂发电y 度，根据“每焚烧一吨垃
圾，A 发电厂比B 发电厂多发40 度电，A 焚烧20 吨垃圾比B 焚烧30 吨垃圾少1800 度
电”列方程组解答即可；
（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧（90﹣x）吨垃圾，总发电量为y 度，得出y
与x 之间的函数关系式以及x 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设焚烧1 吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，根据题意得：
，解得
，
答：焚烧1 吨垃圾，A 发电厂发电300 度，B 发电厂发电260 度；
（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧（90﹣x）吨垃圾，总发电量为y 度，则
y＝300x+260（90﹣x）＝40x+23400，
∵x≤2（90﹣x），
∴x≤60，
∵y 随x 的增大而增大，
∴当x＝60 时，y 有最大值为：40×60+23400＝25800（元）．
答：A 厂和B 厂总发电量的最大是25800 度．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，理清数量关系列出
方程组是解答本题的关键．
22．（9 分）如图抛物线经y＝ax2+bx+c 过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E 在直线x＝1 上的两个动点，且DE＝1，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的
周长的最小值．
（3）点P 为抛物线上一点，连接CP，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5 两部分，求
点P 的坐标．
【分析】（1）OB＝OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x
﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，即可求解；
（2）CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周
长也最小，即可求解；
（3）S△PCB：S△PCA＝
EB×（yC﹣yP）：
AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）ACDE 的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝
、DE＝1 是常数，
故CD+AE 最小时，周长最小，
取点C 关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，
取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周
长也最小，
四边形ACDE 的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE ＝
+A′ D+DC′ ＝
+A′C′＝
+
；
（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E，
直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5 两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝
EB×（yC﹣yP）：
AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE，＝3：5 或5：3，
则AE＝
或
，
即：点E 的坐标为（
，0）或（
，0），
将点E、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6 或﹣2，
故直线CP 的表达式为：y＝﹣2x+3 或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝4 或8（不合题意值已舍去），
故点P 的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，
其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．
23．（9 分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC 为直径
作圆，圆心为E，直线AC 交⊙E 于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；
（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交⊙E 于点G，连接BG；
①当tan∠ACF＝
时，求所有F 点的坐标
，
F 2（
5 ，
0 ）
（直接写出）；
②求
的最大值．
【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据
直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；
（2）①分两种情况：a）F 位于线段AB 上，b）F 位于BA 的延长线上；过F 作AC 的垂线，构
造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F 坐标；
②应用相似三角形性质和三角函数值表示出
＝
，令y＝CG2（64﹣
CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC 为圆的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDA＝90°
∵OA＝OB
∴OD＝OB＝OA
∴∠OBD＝∠ODB
∵EB＝ED
∴∠EBD＝∠EDB
∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB
即：∠EBO＝∠EDO
∵CB⊥x 轴
∴∠EBO＝90°
∴∠EDO＝90°
∵点D 在⊙E 上
∴直线OD 为⊙E 的切线．
（2）①如图2，当F 位于AB 上时，过F 作F1N⊥AC 于N，
∵F1N⊥AC
∴∠ANF1＝∠ABC＝90°
∴△ANF∽△ABC
∴
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝
＝
＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5
∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k
∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k
∴tan∠ACF＝
＝
＝
，解得：k＝
∴
即F1（
，0）
如图3，当F 位于BA 的延长线上时，过F2作F2M⊥CA 于M，
∵△AMF2∽△ABC
∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k
∴CM＝CA+AM＝10+3k
∴tan∠ACF＝
解得：
∴AF2＝5k＝2
OF2＝3+2＝5
即F2（5，0）
故答案为：F1（
，0），F2（5，0）．
②方法1：如图4，∵CB 为直径
∴∠CGB＝∠CBF＝90°
∴△CBG∽△CFB
∴
∴BC2＝CG•CF
CF＝
∵CG2+BG2＝BC2，
∴BG2＝BC2﹣CG2
∴
＝
＝
∴
＝
令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣CG4+64CG2＝﹣[（CG2﹣32）2﹣322]＝﹣（CG2﹣32）2+322
∴当CG2＝32 时，
此时CG＝4
＝
＝
．
方法2：设∠BCG＝α，则sinα＝
，cosα＝
，
∴sinαcosα＝
∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα
∵sin2α+cos2α＝1，
∴sinαcosα≤
，即
≤
∴
的最大值＝
．
【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，
切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值
问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．
