2021 年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正
确的选项选出来，每小题选对得4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3 小的数是（ ）
A．﹣4
B．|﹣4|
C．0
D．﹣2.8
2．下列运算正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5
B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．（x+y）2＝x2+y2
D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
3．如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该
位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若
∠1＝60°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠2＝75°
B．∠3＝45°
C．∠4＝105°
D．∠5＝130°
5．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，
调查了一个班50 名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则
所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ）
A．7h，7h
B．8h，7.5h
C．7h，7.5h
D．8h，8h
6．如图，在△ABC 中，AB＝6，以点A 为圆心，3 为半径的圆与边BC 相切于点D，与
AC，AB 分别交于点E 和点G，点F 是优弧GE 上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数
是（ ）
A．50°
B．48°
C．45°
D．36°
7．已知关于x 的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相等的实数根，则实数k
的取值范围是（ ）
A．k＞﹣
B．k＜
C．k＞﹣
且k≠0
D．k＜
且k≠0
8．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位得到的抛物线
必定经过（ ）
A．（﹣2，2）
B．（﹣1，1）
C．（0，6）
D．（1，﹣3）
9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝
1，则AD 的长为（ ）
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2
A．2
﹣2
B．3﹣
C．4﹣
D．2
10．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BD 的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；
③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；
④若AB＝MN，则△MFN 与△DFC 全等．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
11．如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B
在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130 米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向
继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B
的俯角为45°，点A、B、C、D、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度i＝1：2.4．根据小颖
的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（参考数据：
≈1.732）（ ）
A．136.6 米
B．86.7 米
C．186.7 米
D．86.6 米
12．如图，在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝5
，点P 在线段BC 上运动（含B、C 两点），
连接AP，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ 的最
小值为（ ）
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3
A．
B．
C．
D．3
二、填空题（本大题共6 小题，满分18 分。只要求填写最后结果，每小题填对得4 分）
13．（3 分）2021 年5 月15 日7 时18 分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次
火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2 亿千米．数据3.2 亿千米
用科学记数法可以表示为 千米．
14．（3 分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，
乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其
钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其
的钱给乙，则
乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，
可列方程组为 ．
15．（3 分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c 的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x
＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y 的最大值为3；④方程
ax2+bx+c+1＝0 有实数根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．
16．（3 分）若△ABC 为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影
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4
部分的面积为 ．
17．（3 分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠（AD＞AB），使AB 落在AD 上，AE 为折痕，
然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将BE 边折起，使点B 落在AE 上的点
G 处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD 的长为 ．
18．（3 分）如图，点B1在直线l：y＝
x 上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交
x 轴于点A1，以A1B1 为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1 交x 轴于点A2；以A2B2
为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x 轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形
A3B3B4C3，延长B4C3 交x 轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n 个正方形
AnBnBn+1∁n的边长为 （结果用含正整数n 的代数式表示）．
三、解答题（本大题共7 小题，满分78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
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19．（10 分）（1）先化简，再求值：
，其中a＝
+3；
（2）解不等式：1﹣
．
20．（10 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从
小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机
调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，
解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；C 组所在扇形的圆心角为 度；
（2）该校共有学生1600 人，若90 分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？
（3）若E 组14 名学生中有4 人满分，设这4 名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2
名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2 的概
率．
竞赛成绩统计表（成绩满分100 分）
组别
分数
人数
A 组
75＜
x≤80
4
B 组
80＜
x≤85
C 组
85＜
x≤90
10
D 组
90＜
x≤95
E 组
95＜
x≤100
14
合计
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6
21．（10 分）如图，点P 为函数y＝
x+1 与函数y＝
（x＞0）图象的交点，点P 的纵坐
标为4，PB⊥x 轴，垂足为点B．
（1）求m 的值；
（2）点M 是函数y＝
（x＞0）图象上一动点，过点M 作MD⊥BP 于点D，若
tan∠PMD＝
，求点M 的坐标．
22．（10 分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧
急批量生产，计划每天生产疫苗16 万剂，但受某些因素影响，有10 名工人不能按时到
厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8 小时增加到10 小时，每
人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15 万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10 小时．若上级
分配给该厂共760 万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
23．（11 分）四边形ABCD 为矩形，E 是AB 延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD 为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F 是AB 上的点，AF＝BE，EG⊥AC 于点G，如图2，求证：
△DGF 是等腰直角三角形．
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7
24．（13 分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与
y 轴交于点C，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P 作
PD⊥x 轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；
（3）请判断：
是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理
由．
25．（14 分）如图1，O 为半圆的圆心，C、D 为半圆上的两点，且
＝
．连接AC 并
延长，与BD 的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD 与OC，BC 分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC 的值．
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2021 年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正
确的选项选出来，每小题选对得4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3 小的数是（ ）
A．﹣4
B．|﹣4|
C．0
D．﹣2.8
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一
切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣4|＝4，
∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜|﹣4|，
∴其中比﹣3 小的数是﹣4．
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5
B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．（x+y）2＝x2+y2
D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可．
【解答】解：A 选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题
意；
B 选项，原式＝﹣8x3，故该选项计算错误，不符合题意；
C 选项，原式＝x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意；
D 选项，原式＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该
位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有4 个个小正方形，第
三列有3 个小正方形，
故选：B．
4．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若
∠1＝60°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠2＝75°
B．∠3＝45°
C．∠4＝105°
D．∠5＝130°
【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵三角尺的直角被直线m 平分，
∴∠6＝∠7＝45°，
∴∠4＝∠1+∠6＝45°+60°＝105°，
∵m∥n，
∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，
∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，
故选项A、B、C 正确，
故选：D．
5．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，
调查了一个班50 名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则
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所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ）
A．7h，7h
B．8h，7.5h
C．7h，7.5h
D．8h，8h
【分析】直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．
【解答】解：∵7h 出现了19 次，出现的次数最多，
∴所调查学生睡眠时间的众数是7h；
∵共有50 名学生，中位数是第25、26 个数的平均数，
∴所调查学生睡眠时间的中位数是
＝7.5（h）．
故选：C．
6．如图，在△ABC 中，AB＝6，以点A 为圆心，3 为半径的圆与边BC 相切于点D，与
AC，AB 分别交于点E 和点G，点F 是优弧GE 上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数
是（ ）
A．50°
B．48°
C．45°
D．36°
【分析】连接AD,根据切线的性质得到AD⊥BC,根据垂直的定义得到∠ADB＝∠ADC＝
90°,根据直角三角形的性质得到∠B＝30°,根据三角形的内角和定理得到∠GAD＝60°,根
据等腰三角形的性质得到∠AED＝∠ADE＝72°,根据圆周角定理即可得到结论。
【解答】解：连接AD,
∵BC 与⊙A 相切于点D，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB＝∠ADC＝90°,
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∵AB＝6,AG＝AD＝3,
∴AD＝
AB,
∴∠B＝30°,
∴∠GAD＝60°,
∵∠CDE＝18°，
∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°,
∵AD＝AE,
∴∠AED＝∠ADE＝72°,
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°,
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°,
∴∠GFE＝
GAE＝
96°＝48°,
故选：B．
7．已知关于x 的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相等的实数根，则实数k
的取值范围是（ ）
A．k＞﹣
B．k＜
C．k＞﹣
且k≠0
D．k＜
且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0 且△＝（2k﹣1）2﹣4k•（k
﹣2）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0 且△＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣
且k≠0．
故选：C．
8．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位得到的抛物线
必定经过（ ）
A．（﹣2，2）
B．（﹣1，1）
C．（0，6）
D．（1，﹣3）
【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，
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进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x）+3
＝﹣[（x+1）2﹣1]+3
＝﹣（x+1）2+4，
∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，
∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
当x＝﹣2 时，y＝﹣（﹣2）2+2＝﹣4+2＝﹣2，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A 选
项不合题意；
当x＝﹣1 时，y＝﹣（﹣1）2+2＝﹣1+2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B 选项符
合题意；
当x＝0 时，y＝﹣02+2＝0+2＝2，故（0，6）不在此抛物线上，故A 选项不合题意；
当x＝1 时，y＝﹣12+2＝﹣1+2＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故A 选项不合题意；
故选：B．
9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝
1，则AD 的长为（ ）
A．2
﹣2
B．3﹣
C．4﹣
D．2
【分析】延长AD、BC 交于E，先利用直角三角形的性质求得AE 的长，然后再求得DE
的长，从而求得答案．
【解答】解：延长AD、BC 交于E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE 中，AE＝2AB＝4，
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在Rt△CDE 中，DE＝
＝
，
∴AD＝AE﹣DE＝4﹣
，
故选：C．
10．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BD 的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；
③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；
④若AB＝MN，则△MFN 与△DFC 全等．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据平行四边形的性质，证明△MDB≌△NBD，从而判断①正确；若MD＝
AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD 为矩形，通过证明△BAM≌△CDM 可以判断②；
过点M 作MG⊥BC，交BC 于G，过点E 作EH⊥BC，交BC 于H，通过三角形面积公
式可以判断③；若AB＝MN 则四边形MNCD 是等腰梯形，通过证明△MNC≌△DCN 和
△MFN≌△DFC 即可判断④．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵E 是BD 的中点，
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∴BE＝DE，
在△MDB 和△NBD 中，
，
∴△MDB≌△NBD（ASA），
∴DM＝BN，
∴AM＝CN，
故①正确；
②若MD＝AM，∠A＝90°，
则平行四边形ABCD 为矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，
在△BAM 和△CDM 中，
，
∴△BAM≌△CDM（SAS），
∴BM＝CM，
故②正确；
③过点M 作MG⊥BC，交BC 于G，过点E 作EH⊥BC，交BC 于H，
由①可知四边形MBCD 是平行四边形，E 为BD 中点，
∴MG＝2EH，
又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，
∴S△ANC＝
NC•MG＝
•
BN•2EH＝
BN•EH＝S△BNE，
故③正确；
④∵AB＝MN，AB＝DC，
∴MN＝DC，
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15
∴四边形MNCD 是等腰梯形，
∴∠MNC＝∠DCN，
在△MNC 和△DCN 中，
，
∴△MNC≌△DCN（SAS），
∴∠NMC＝∠CDN，
在△MFN 和△DFC 中，
，
∴△MFN≌△DFC（AAS），
故④正确．
∴正确的个数是4 个，
故选：D．
11．如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B
在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130 米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向
继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B
的俯角为45°，点A、B、C、D、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度i＝1：2.4．根据小颖
的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（参考数据：
≈1.732）（ ）
A．136.6 米
B．86.7 米
C．186.7 米
D．86.6 米
【分析】作DH⊥AB 于H，延长DE 交BC 于F．则四边形DHBF 是矩形，在Rt△ADH
中求出DH，再在Rt△EFB 中求出EF，在Rt△EFC 中求出CF 即可解决问题．
【解答】解：如图作DH⊥AB 于H，延长DE 交BC 于F．
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16
在Rt△ADH 中，AD＝130 米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∵四边形DHBF 是矩形，
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB 中，∠BEF＝45°，
∴EF＝BF＝50 米，
在Rt△EFC 中，FC＝EF•tan60°，
∴CF＝50×
≈86.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝5
，点P 在线段BC 上运动（含B、C 两点），
连接AP，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ 的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【分析】如图，以AB 为边向右作等边△ABF,作射线FQ 交AD 于点E,过点D 作DH⊥QE
于H．利用全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°,推出∠AEF＝60°,推出点Q 的运动轨迹是
射线FE,求出DH,可得结论．
【解答】解：如图，以AB 为边向右作等边△ABF,作射线FQ 交AD 于点E,过点D 作
DH⊥QE 于H．
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∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABP＝∠BAE＝90°,
∵△ABF,△APQ 都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°,BA＝FA,PA＝QA,
∴∠BAP＝∠FAQ,
在△BAP 和△FAQ 中，
,
∴△BAP≌△FAQ(SAS),
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°,
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°,
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°,
∵AB＝AF＝5,AE＝AF÷cos30°＝
,
∴点Q 的运动轨迹是射线FE,
∵AD＝BC＝5
,
∴DE＝AD﹣AE＝
,
∵DH⊥EF,∠DEH＝∠AEF＝60°,
∴DH＝DE•sin60°＝
×
＝
,
根据垂线段最短可知，当点Q 与H 重合时，DQ 的值最小，最小值为
，
故选：A．
二、填空题（本大题共6 小题，满分18 分。只要求填写最后结果，每小题填对得4 分）
13．（3 分）2021 年5 月15 日7 时18 分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次
火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2 亿千米．数据3.2 亿千米
用科学记数法可以表示为
3.2×10
8
千米．
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18
【分析】把一个大于10 的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n 为正整数，
n 的值比这个数的位数少1．
【解答】解：3.2 亿＝320000000＝3.2×108，
故答案为：3.2×108．
14．（3 分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，
乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其
钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其
的钱给乙，则
乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，
可列方程组为
．
【分析】根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其
的钱给乙，则乙的钱
数也为50 和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
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19
故答案为：
．
15．（3 分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c 的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x
＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y 的最大值为3；④方程
ax2+bx+c+1＝0 有实数根．其中正确的为
②④
（将所有正确结论的序号都填入）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的
关系，然后根据对称轴判定b 与0 的关系；当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定
当y＝﹣1 时，x 的值有2 个．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣
＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x 轴的交点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线x 轴的另一个交点在（﹣1，0），
∴当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＝0，即②正确；
由图象无法判断y 的最大值，故③错误；
方程ax2+bx+c+1＝0，可看作二次函数y＝ax2+bx+c 与y＝﹣1 的交点个数，
由图象可知，必然有2 个交点，即方程ax2+bx+c+1＝0 有2 个不想等的实数根．
故④正确．
故答案为：②④．
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20
16．（3 分）若△ABC 为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影
部分的面积为
4
．
【分析】连接CD．构建直径所对的圆周角∠BDC＝90°，然后利用等腰直角△ABC 的性
质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD＝BD＝AD，从而求得弦
BD 与CD 所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积＝直角三角形ABC 的面积
﹣直角三角形BCD 的面积．
【解答】解：连接CD．
∵BC 是直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
又∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴CD 是斜边AB 的垂直平分线，
∴CD＝BD＝AD,
∴
＝
,
∴S 弓形BD＝S 弓形CD，
∴S 阴影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；
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21
∵△ABC 为等腰直角三角形，CD 是斜边AB 的垂直平分线，
∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；
又SRt△ABC＝
×4×4＝8，
∴S 阴影＝4；
故答案为：4．
17．（3 分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠（AD＞AB），使AB 落在AD 上，AE 为折痕，
然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将BE 边折起，使点B 落在AE 上的点
G 处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD 的长为
4+2
．
【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,推出BF＝DB′,再证明DB′＝EC＝BF＝2,
想办法求出AB′,可得结论。
【解答】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′,∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°,
在Rt△EBF 和Rt△EB′D 中，
,
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,
∴BF＝DB′,
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°,
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′＝EC＝2,
∴BF＝EC＝2,
由翻折的性质可知，BF＝FG＝2,∠FAG＝45°,∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°,
∴AG＝FG＝2,
∴AF＝2
．
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22
∴AB＝AB′＝2+2
,
∴AD＝AB′+DB′＝4+2
,
故答案为：4+2
。
18．（3 分）如图，点B1在直线l：y＝
x 上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交
x 轴于点A1，以A1B1 为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1 交x 轴于点A2；以A2B2
为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x 轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形
A3B3B4C3，延长B4C3 交x 轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n 个正方形
AnBnBn+1∁n的边长为
（结果用含正整数n 的代数式表示）．
【分析】设直线y＝
x 与x 轴夹角为α，过B1 作B1H⊥x 轴于H，由点B1 的横坐标为
2，点B1在直线l：y＝
x 上，可得OH＝2，B1H＝1，OB1＝
＝
，tanα
＝
＝
,Rt△A1B1O 中，求得A1B1＝OB1•tanα＝
，即第1 个正方形边长是
，
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23
在Rt△A2B2O 中，求得第2 个正方形边长是
×
，在Rt△A3B3O 中，求得第3 个正方
形边长是
×
＝
×（
）2，在Rt△A4B4O 中，求得第4 个正方形边长是
×
＝
×(
)3，......观察规律即可得：第n 个正方形边长是
×(
)n﹣1．
【解答】解：设直线y＝
x 与x 轴夹角为α，过B1作B1H⊥x 轴于H，如图：
∵点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝
x 上，令x＝2 得y＝1,
∴OH＝2，B1H＝1，OB1＝
＝
，
∴tanα＝
＝
,
Rt△A1B1O 中，A1B1＝OB1•tanα＝
，即第1 个正方形边长是
，
∴OB2＝OB1+B1B2＝
+
＝
×3，
Rt△A2B2O 中，A2B2＝OB2•tanα＝
×3×
＝
×
，即第2 个正方形边长是
×
，
∴OB3＝OB2+B2B3＝
×3+
×
＝
×
，
Rt△A3B3O 中，A3B3＝OB3•tanα＝
×
×
＝
×
，即第3 个正方形边长是
×
＝
×（
）2，
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24
∴OB4＝OB3+B3B4＝
×
+
×
＝
×
，
Rt△A4B4O 中，A4B4＝OB4•tanα＝＝
×
×
＝
×
，即第4 个正方形边长是
×
＝
×(
)3，
.....．
观察规律可知：第n 个正方形边长是
×(
)n﹣1，
故答案为：
×(
)n﹣1．
三、解答题（本大题共7 小题，满分78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
19．（10 分）（1）先化简，再求值：
，其中a＝
+3；
（2）解不等式：1﹣
．
【分析】（1）分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里
面的，然后代入求值；
（2）解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1 的步骤
进行计算求解．
【解答】解：（1）原式＝[
]
＝
＝﹣
，
当a＝
+3 时，原式＝﹣
；
（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
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25
系数化1，得：x＜1．
20．（10 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从
小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机
调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，
解答下列问题：
（1）本次共调查了
50
名学生；C 组所在扇形的圆心角为
72
度；
（2）该校共有学生1600 人，若90 分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？
（3）若E 组14 名学生中有4 人满分，设这4 名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2
名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2 的概
率．
竞赛成绩统计表（成绩满分100 分）
组别
分数
人数
A 组
75＜
x≤80
4
B 组
80＜
x≤85
C 组
85＜
x≤90
10
D 组
90＜
x≤95
E 组
95＜
x≤100
14
合计
【分析】（1）用A 组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数；用360°乘以
C 组人数所占的百分比得到C 组的圆心角的度数；
（2）先计算出D 组的人数，然后用1600 乘以样本中D 组和E 组人数所占的百分比即可；
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26
（3）画树状图展示所有12 种等可能的结果，找出恰好抽到E1，E2 的结果数，然后根
据概率公式求解。
【解答】解：（1）本次共调查的学生＝14÷28%＝50（人）；
C 组的圆心角为360°×
＝72°，
故答案为50；72；
（2）B 组的人数为50×12%＝16（人），
则D 组的人数为50﹣4﹣6﹣1﹣14＝16（人），
则优秀的人数为1600×
＝960（人）；
（3）画树状图为：
共有12 种等可能的结果，其中恰好抽到E1，E2 的结果数为2，
所以恰好抽到E1，E2 的概率＝
＝
．
21．（10 分）如图，点P 为函数y＝
x+1 与函数y＝
（x＞0）图象的交点，点P 的纵坐
标为4，PB⊥x 轴，垂足为点B．
（1）求m 的值；
（2）点M 是函数y＝
（x＞0）图象上一动点，过点M 作MD⊥BP 于点D，若
tan∠PMD＝
，求点M 的坐标．
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27
【分析】（1）根据点P 为函数y＝
x+1 图象的点，点P 的纵坐标为4，可以求得点P
的坐标，进而求得m 的值；
（2）设点M 的坐标（x，y），分两种情况：点M 在点P 右侧，点M 在点P 左侧，根据
tan∠PMD＝
得
＝
，根据点P 的坐标求出x、y 的值，即可得出答案．
【解答】解：∵点P 为函数y＝
x+1 图象的点，点P 的纵坐标为4，
∴4＝
x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P 为函数y＝
x+1 与函数y＝
（x＞0）图象的交点，
∴4＝
，
∴m＝24；
（2）设点M 的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝
，
∴
＝
，
①点M 在点P 右侧，如图，
∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴
＝
，
∵xy＝m＝24，
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28
∴y＝
，
∴2（4﹣
）＝x﹣6，解得：x＝6 或8，
∵点M 在点P 右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M 的坐标为（8，3）；
②点M 在点P 左侧，
∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴
＝
，
∵xy＝m＝24，
∴y＝
，
∴2（4﹣
）＝x﹣6，解得：x＝6 或8，
∵点M 在点P 左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M 的坐标为（8，3）．
22．（10 分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧
急批量生产，计划每天生产疫苗16 万剂，但受某些因素影响，有10 名工人不能按时到
厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8 小时增加到10 小时，每
人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15 万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
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29
（2）生产4 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10 小时．若上级
分配给该厂共760 万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
【分析】（1）设当前参加生产的工人有x 人，根据每人每小时完成的工作量不变，即
可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用每人每小时完成的工作量＝工作总量÷工作时间÷参与工作的人数，即可求出
每人每小时完成的工作量，设还需要生产y 天才能完成任务，根据工作总量＝工作效率
×工作时间×工作人数，即可得出关于y 的方程求解．
【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x 人，由题意可得：
，
解得：x＝30，
经检验：x＝30 是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有30 人；
（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），
设还需要生产y 天才能完成任务，由题意可得：
4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，
解得：y＝35，
35+4＝39（天），
∴该厂共需要39 天才能完成任务．
23．（11 分）四边形ABCD 为矩形，E 是AB 延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD 为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F 是AB 上的点，AF＝BE，EG⊥AC 于点G，如图2，求证：
△DGF 是等腰直角三角形．
【分析】（1)先根据四边形ABCD 为矩形，CB⊥AE,AC＝EC 得出AB＝BE 即可；
（2）由AB＝AD 得出矩形ABCD 是正方形，得出∠E＝∠GAE＝45°，然后证明
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30
△EGF≌△AGD，再得出∠DGF＝90°，GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,从而得出结论．
【解答】证明：（1)∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB∥CD,AB＝CD,CB⊥AE,
又∵AC＝EC,
∴AB＝BE,
∴BE＝CD,BE∥CD,
∴四边形BECD 为平行四边形；
(2)∵AB＝AD,
∴矩形ABCD 是正方形，
∵EG⊥AC,
∴∠E＝∠GAE＝45°,
∴GE＝GA,
又∵AF＝BE,
∴AB＝FE,
∴FE＝AD,
在△EGF 和△AGD 中，
,
∴△EGF≌△AGD(SAS),
∴GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°,
∴△DGF 是等腰直角三角形．
24．（13 分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与
y 轴交于点C，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P 作
PD⊥x 轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；
（3）请判断：
是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理
由．
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31
【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）设BP 与y 轴交于点E，设OE＝a，则CE＝4﹣a，BE＝4﹣a，运用勾股定理可求
得a＝
，得出E(0，
)，再利用待定系数法即可求出答案；
（3）设PD 与AC 交于点N，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M，利用待定系数
法求出直线AC 表达式，再利用BM∥PN，可得△PNQ∽△BMQ，进而得出
＝
＝
，设P(a0 ，﹣a0
2﹣3a0+4)(﹣4 ＜a0 ＜0) ，则N(a0 ，a0+4) ，从而得到
＝
，利用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B
（1，0），
∴
，
解得：
，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，设BP 与y 轴交于点E，
∵PD∥y 轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
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32
∴BE＝CE，
设OE＝a，则CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE 中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴(4﹣a)2＝a2+12，
解得：a＝
，
∴E(0，
)，
设BE 所在直线表达式为y＝kx+e(k≠0)，
∴
，
解得：
，
∴直线BP 的表达式为y＝﹣
x+
；
（3）
有最大值．
如图，设PD 与AC 交于点N，
过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M，
设直线AC 表达式为y＝mx+n，
∵A(﹣4，0)，C(0，4)，
∴
，
解得：
，
∴直线AC 表达式为y＝x+4，
∴M 点的坐标为（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
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33
∴
＝
＝
，
设P(a0，﹣a0
2﹣3a0+4)(﹣4＜a0＜0)，则N(a0，a0+4)，
∴
＝
＝
＝
，
∴当a0＝﹣2 时，
有最大值，
此时，点P 的坐标为(﹣2，6)．
25．（14 分）如图1，O 为半圆的圆心，C、D 为半圆上的两点，且
＝
．连接AC 并
延长，与BD 的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD 与OC，BC 分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC 的值．
【分析】(1)如图1 中，连接BC.想办法证明∠E＝∠DCE 即可。
（2）①证明△AFO∽△AHC,可得结论。
②连接CD 交BC 于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x.利用勾股定理构建方程求解即可。
【解答】（1）证明：如图1 中，连接BC．
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∵
＝
,
∴∠DCB＝∠DBC,
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°,
∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,
∴∠E＝∠DCE,
∴DE＝DC．
(2)①证明：如图2 中，
∵CF＝CH,
∴∠CFH＝∠CHF,
∵∠AFO＝∠CFH,
∴∠AFO＝∠CHF,
∵
＝
,
∴∠CAD＝∠BAD,
∴△AFO∽△AHC,
∴
＝
,
∴
＝
,
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35
∴CF•AF＝OF•AH．
②解：如图3 中，连接CD 交BC 于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x．
∵
＝
,
∴∠COD＝∠BOD,
∵OC＝OB,
∴OD⊥BC,CG＝BG,
在Rt△OCG 和Rt△BGD 中，则有22﹣x2＝12﹣(2﹣x)2,
∴x＝
,即OG＝
,
∵OA＝OB,
∴OG 是△ABC 的中位线，
∴OG＝
AC,
∴AC＝
．
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