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2021 年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．如图，数轴上点A 所表示的数的倒数为（ ）
A．﹣3
B．3
C．﹣
D．
2．下列等式成立的是（ ）
A．a3+a3＝a6
B．a•a3＝a3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．（﹣2a3）2＝4a6
3．如果不等式组
的解集为x＞2，那么m 的取值范围是（ ）
A．m≤2
B．m≥2
C．m＞2
D．m＜2
4．一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边
平行，则∠α 的度数是（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
5．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12π
B．18π
C．24π
D．30π
6．在2021 年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10 名男生的引体向上成绩，将这组
数据整理后制成如下统计表：
成绩（次）
12
11
10
9
人数（名）
1
3
4
2
关于这组数据的结论不正确的是（ ）
A．中位数是10.5
B．平均数是10.3
C．众数是10
D．方差是0.81
7．关于x 的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0 有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k
且k≠1
B．k≥
且k≠1
C．k
D．k≥
8．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD 在第一象限，且BC∥x 轴，直线y＝
2x+1 沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD 截得的线段长为a，直线在
x 轴上平移的距离为b，a、b 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD 的面积
为（ ）
A．
B．2
C．8
D．10
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分，只要求把最后结果填写在答题卡
的相应区域内）
9．2021 年5 月11 日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：
截至2020 年11 月1 日零时，全国人口共约1410000000 人．数据1410000000 用科学记
数法表示为 ．
10．因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ．
11．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝30°，D、E 分别为AC、BC 的中点，DE＝2，过点B 作
BF∥AC，交DE 的延长线于点F，则四边形ABFD 的面积为 ．
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2
12．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH 和四边形
HGNM 均为正方形，且点E、F、G、N、M 都在△ABC 的边上，那么△AEM 与四边形
BCME 的面积比为 ．
13．定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1
﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1 时，函数图象的对称轴是y 轴；②当
m＝2 时，函数图象过原点；③当m＞0 时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞
时，
y 随x 的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ．
14．如图，一次函数y＝x 与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A，过点A 作
AB⊥OA ，交x 轴于点B ；作BA1∥OA ，交反比例函数图象于点A1 ；过点A1 作
A1B1⊥A1B 交x 轴于点B；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，
…，则点A2021的横坐标为 ．
三、解答题（本题共78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6 分）计算：（2021﹣π）0﹣|3﹣
|+4cos30°﹣（
）﹣1．
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3
16．（6 分）先化简，再求值：1+
÷
，其中m，n 满足
＝﹣
．
17．（6 分）如图，在菱形ABCD 中，点M、N 分别在AB、CB 上，且∠ADM＝∠CDN，
求证：BM＝BN．
18．（6 分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A 处的济南舰突然发现北偏西30°
方向上的C 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200 海里B 处的西安舰，西
安舰测得C 处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C 处的距离分别是多少？
19．（7 分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22 元；
小李：当销售价为每千克38 元时，每天可售出160 千克；若每千克降低3 元，每天的销
售量将增加120 千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640 元，又要尽可能
让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
20．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC、OA 分别在坐标轴上，
且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过线段OB 的中点
D，并与AB、BC 分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b 的图象经过E、F 两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2 ）点P 是x 轴上一动点，当PE+PF 的值最小时，点P 的坐标为
．
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21．（10 分）2021 年5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机
抽取了部分参加15 米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格
四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为 %；不合格等级所对应的扇形圆心角为
度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校
运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B 两位同学的概率．
22．（10 分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E 为
上一点，F 为
弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G，连接AE 交CD 于点
P，若FE＝FP．
（1）求证：FE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为8，sinF＝
，求BG 的长．
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23．（10 分）在矩形ABCD 中，BC＝
CD，点E、F 分别是边AD、BC 上的动点，且AE
＝CF，连接EF，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点G 处，点D 落在点H 处．
（1）如图1，当EH 与线段BC 交于点P 时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P 在线段CB 的延长线上时，GH 交AB 于点M，求证：点M 在线段
EF 的垂直平分线上；
（3）当AB＝5 时，在点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长．
24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4 交x 轴于A（﹣1，
0）、B（4，0）两点，交y 轴于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P 为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C 作CQ∥BP 交x 轴于点Q，连
接PQ，求△PBQ 面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4 向右平移经过点（
，0）时，得到新
抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使
得以A、P、E、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，
请说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2 的中点P0 的坐标为（
，
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）．
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2021 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．如图，数轴上点A 所表示的数的倒数为（ ）
A．﹣3
B．3
C．﹣
D．
【分析】从数轴上得到点A 表示的数，再求这个数的倒数即可．
【解答】解：点A 表示的数为﹣3，
﹣3 的倒数为﹣
，
故选：C．
2．下列等式成立的是（ ）
A．a3+a3＝a6
B．a•a3＝a3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．（﹣2a3）2＝4a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式以及积的乘方
运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
B．a•a3＝a4，故本选项不合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不合题意；
D．（﹣2a3）2＝4a6，故本选项符合题意；
故选：D．
3．如果不等式组
的解集为x＞2，那么m 的取值范围是（ ）
A．m≤2
B．m≥2
C．m＞2
D．m＜2
【分析】解第一个不等式，求出解集，再根据不等式组的解集，利用“同大取大”的口
诀可得答案．
【解答】解：解不等式x+5＜4x﹣1，得：x＞2，
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8
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故选：A．
4．一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边
平行，则∠α 的度数是（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【分析】根据平行线的性质和三角板的特殊角的度数解答即可．
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D＝30°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠α＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
5．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12π
B．18π
C．24π
D．30π
【分析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案．
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【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，
则大圆面积为：π×22＝4π，小圆面积为：π×12＝π，
故这个几何体的体积为：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π．
故选：B．
6．在2021 年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10 名男生的引体向上成绩，将这组
数据整理后制成如下统计表：
成绩（次）
12
11
10
9
人数（名）
1
3
4
2
关于这组数据的结论不正确的是（ ）
A．中位数是10.5
B．平均数是10.3
C．众数是10
D．方差是0.81
【分析】根据中位数，平均数，众数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
【解答】解：根据题目给出的数据，可得：
中位数是
＝10（分），
平均数为：
＝10.3，
∵10 出现了4 次，出现的次数最多，
∴众数是10；
方差是：
[（12﹣10.3）2+3×（11﹣10.3）2+4×（10﹣10.3）2+2×（9﹣10.3）2]＝
0.81．
这组数据的结论不正确的是A．
故选：A．
7．关于x 的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0 有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k
且k≠1
B．k≥
且k≠1
C．k
D．k≥
【分析】分k﹣1＝0 和k﹣1≠0 两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1 时，此方程为一元二次方程．
∵关于x 的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0 有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥
；
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10
当k﹣1＝0，即k＝1 时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k 的取值范围是k≥
，
故选：D．
8．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD 在第一象限，且BC∥x 轴，直线y＝
2x+1 沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD 截得的线段长为a，直线在
x 轴上平移的距离为b，a、b 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD 的面积
为（ ）
A．
B．2
C．8
D．10
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB 的长，从而可以求得
矩形的面积．
【解答】解：如图所示，过点B、D 分别作y＝2x+1 的平行线，交AD、BC 于点E、F．
由图象和题意可得AE＝4﹣3＝1，CF＝8﹣7＝1，BE＝DF＝
，BF＝DE＝7﹣4＝3，
则AB＝
＝
＝2，BC＝BF+CF＝3+1＝4，
∴矩形ABCD 的面积为AB•BC＝2×4＝8．
故选：C．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分，只要求把最后结果填写在答题卡
的相应区域内）
9．2021 年5 月11 日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：
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11
截至2020 年11 月1 日零时，全国人口共约1410000000 人．数据1410000000 用科学记
数法表示为
1.41×10
9
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负整数．
【解答】解：1410000000＝1.41×109，
故答案为：1.41×109．
10．因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ﹣
a （
a ﹣
1 ）
2
．
【分析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．
【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．
故答案为：﹣a（a﹣1）2．
11．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝30°，D、E 分别为AC、BC 的中点，DE＝2，过点B 作
BF∥AC，交DE 的延长线于点F，则四边形ABFD 的面积为
8
．
【分析】由三角形的中位线定理证得DE∥AB，AB＝2DE＝4，进而证得四边形ABFD 是
平行四边形，在Rt△ABC 中，根据勾股定理求出BC＝4
，得到BE＝2
，根据平行
四边形的面积公式即可求出四边形ABFD 的面积．
【解答】解：∵D、E 分别为AC、BC 的中点，
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥AB，DE＝
AB，
∴AB＝2DE，DF∥AB，
又∵BF∥AC，
∴BF∥AD，
∴四边形ABFD 是平行四边形，
∵AB⊥BE，
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12
∴S 平行四边形ABFD＝AB•BE，
∵DE＝2，
∴AB＝2×2＝4，
在Rt△ABC 中，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2×4＝8，
∴BC＝
＝
＝4
，
∴BE＝
BC＝2
，
∴S 平行四边形ABFD＝4×2
＝8
，
故答案为8
．
12．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH 和四边形
HGNM 均为正方形，且点E、F、G、N、M 都在△ABC 的边上，那么△AEM 与四边形
BCME 的面积比为
1 ：
3
．
【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得
，可求EF 的长，由相似三角形的性质
可得
＝（
）2＝
，即可求解．
【解答】解：∵四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，
∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，
∴△AEM∽△ABC，
∴
，
∴
，
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13
∴EF＝
，
∴EM＝5，
∵△AEM∽△ABC，
∴
＝（
）2＝
，
∴S 四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，
∴△AEM 与四边形BCME 的面积比为1：3，
故答案为：1：3．
13．定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1
﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1 时，函数图象的对称轴是y 轴；②当
m＝2 时，函数图象过原点；③当m＞0 时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞
时，
y 随x 的增大而减小．其中所有正确结论的序号是
①②③
．
【分析】根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．①
写出对称轴方程后把m＝1 代入即可判断；②把m＝2 代入即可判断；③根据开口方向
即可判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断．
【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为
y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．
∵此抛物线的的对称轴为直线x＝
＝
＝
，
∴当m＝1 时，对称轴为直线x＝0，即y 轴．故①正确；
∵当m＝2 时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0 时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x＝
＝
，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．
即x＞
时，y 随x 的增大而减小．
故④错误．
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14
故答案为：①②③．
14．如图，一次函数y＝x 与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A，过点A 作
AB⊥OA ，交x 轴于点B ；作BA1∥OA ，交反比例函数图象于点A1 ；过点A1 作
A1B1⊥A1B 交x 轴于点B；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，
…，则点A2021的横坐标为
+
．
【分析】由一次函数y＝x 与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A，可得A（1，
1）；易得△OAB 是等腰直角三角形，则OB＝2；分别过点A，A1，A2，作x 轴的垂线，
垂足分别为C，D，E，则△ABD 是等腰直角三角形，设BD＝m，则A1D＝m，则A1
（m+2，m），点A1在反比例函数
上，可得m 的值，求出点A1的坐标，同理可得
A2的坐标，以此类推，可得结论．
【解答】解：如图，分别过点A，A1，A2，作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，E，
∵一次函数y＝x 与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A，
∴联立
，解得A（1，1），
∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°，
∵AB⊥OA，
∴△OAB 是等腰直角三角形，
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15
∴OB＝2OC＝2，
∵A1B∥OA，
∴∠A1BD＝45°，
设BD＝m，则A1D＝m，
∴A1（m+2，m），
∵点A1在反比例函数y＝
上，
∴m（m+2）＝1，解得m＝﹣1+
，（m＝﹣1﹣
，负值舍去），
∴A1（
+1，
﹣1），
∵A1B1⊥A1B，
∴BB1＝2BD＝2
﹣2，
∴OB1＝2
．
∵B1A2∥BA1，
∴∠A2B1E＝45°，
设B1E＝t，则A2E＝t，
∴A2（t+2
，t），
∵点A2在反比例函数y＝
上，
∴t（t+2
）＝1，解得t＝﹣
+
，（t＝﹣
﹣
，负值舍去），
∴A2（
，
﹣
），
同理可求得A3（2+
，2﹣
），
以此类推，可得点A2021的横坐标为
+
．
故答案为：
+
．
三、解答题（本题共78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6 分）计算：（2021﹣π）0﹣|3﹣
|+4cos30°﹣（
）﹣1．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指
数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（2
﹣3）+4×
﹣4
＝1﹣2
+3+2
﹣4
＝0．
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16
16．（6 分）先化简，再求值：1+
÷
，其中m，n 满足
＝﹣
．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出m＝﹣
n，代入、约分即可．
【解答】解：原式＝1+
•
＝1﹣
＝
﹣
＝
，
∵
＝﹣
，
∴m＝﹣
n，
则原式＝
＝
＝﹣6．
17．（6 分）如图，在菱形ABCD 中，点M、N 分别在AB、CB 上，且∠ADM＝∠CDN，
求证：BM＝BN．
【分析】由菱形的性质，可用ASA 证明△AMD≌△CND，所以AM＝CN，所以AB﹣AM
＝BC﹣CN，即BM＝CN，则结论得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C．
在△AMD 和△CND 中，
，
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17
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM＝CN，
∴AB﹣AM＝BC﹣CN，
即BM＝CN．
18．（6 分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A 处的济南舰突然发现北偏西30°
方向上的C 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200 海里B 处的西安舰，西
安舰测得C 处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C 处的距离分别是多少？
【分析】过点C 作CD⊥BA 的延长线于点D，由题意可证明△ABC 为等腰三角形，所以
AC＝AB＝200 海里．再求出CD 的距离，最后根据BC＝2CD 求BC 的长．
【解答】解：过点C 作CD⊥BA 的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA 中，CD＝sin∠CAD×AC＝
＝100
（海里）．
在Rt△CDB 中，CB＝2CD＝200
（海里）．
故位于A 处的济南舰距C 处的距离200 海里，位于B 处的西安舰距C 处的距离200
海
里．
19．（7 分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22 元；
小李：当销售价为每千克38 元时，每天可售出160 千克；若每千克降低3 元，每天的销
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售量将增加120 千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640 元，又要尽可能
让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设降低x 元，超市每天可获得销售利润3640 元，由题意列出一元二次方程，解
之即可得出答案．
【解答】解：设降低x 元，超市每天可获得销售利润3640 元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+
×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3 或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29 元．
答：水果的销售价为每千克29 元时，超市每天可获得销售利润3640 元．
20．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC、OA 分别在坐标轴上，
且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过线段OB 的中点
D，并与AB、BC 分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b 的图象经过E、F 两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P 是x 轴上一动点，当PE+PF 的值最小时，点P 的坐标为 （
，
0 ）
．
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D（2，1），从而可得反比例函数表
达式；再求出点E、F 坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E 关于x 轴的对称点E'，连接E'F 交x 轴于点P，则此时PE+PF 最小．求出直
线E'F 的解析式后令y＝0，即可得到点P 坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OABC 为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
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∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D 坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过线段OB 的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝
．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝
．
故点E 坐标为（1，2），F（4，
）．
设直线EF 的解析式为y＝kx+b，代入E、F 坐标得：
，解得：
．
故一次函数的解析式为y＝
．
（2）作点E 关于x 轴的对称点E'，连接E'F 交x 轴于点P，则此时PE+PF 最小．如图．
由E 坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F 的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F 坐标，得：
，解得：
．
则直线E'F 的解析式为y＝
，
令y＝0，则x＝
．
∴点P 坐标为（
，0）．
故答案为：（
，0）．
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21．（10 分）2021 年5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机
抽取了部分参加15 米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格
四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为
30
%；不合格等级所对应的扇形圆心角为
36
度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校
运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B 两位同学的概率．
【分析】（1）求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由合格等级的人数除以抽取的人数得合格等级所占百分比；再由360°乘以不合格
等级所占的比例即可；
（3）画树状图，共有30 种等可能的结果，恰好抽到A、B 两位同学的结果有2 种，再
由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：12÷40%＝30（人），
则优秀的学生人数为：30﹣12﹣9﹣3＝6（人），
把条形统计图补充完整如下：
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（2）合格等级所占百分比为：9÷30×100%＝30%，
不合格等级所对应的扇形圆心角为：360°×
＝36°，
故答案为：30，36；
（3）优秀等级的学生有6 人，为A、B、C、D、E、F，
画树状图如图：
共有30 种等可能的结果，恰好抽到A、B 两位同学的结果有2 种，
∴恰好抽到A、B 两位同学的概率为
＝
．
22．（10 分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E 为
上一点，F 为
弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G，连接AE 交CD 于点
P，若FE＝FP．
（1）求证：FE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为8，sinF＝
，求BG 的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠AEO，∠FPE＝∠FEP，由余角的性质
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可求∠FEP+∠AEO＝90°，可得结论；
（2）由余角的性质可求∠F＝∠EOG，由锐角三角函数可设EG＝3x，OG＝5x，在
Rt△OEG 中，利用勾股定理可求x＝2，即可求解．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE 是⊙O 的切线；
（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG＝
＝
，
设EG＝3x，OG＝5x，
∴OE＝
＝
＝4x，
∵OE＝8，
∴x＝2，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．
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23．（10 分）在矩形ABCD 中，BC＝
CD，点E、F 分别是边AD、BC 上的动点，且AE
＝CF，连接EF，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点G 处，点D 落在点H 处．
（1）如图1，当EH 与线段BC 交于点P 时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P 在线段CB 的延长线上时，GH 交AB 于点M，求证：点M 在线段
EF 的垂直平分线上；
（3）当AB＝5 时，在点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长．
【分析】（1）欲证明PE＝PF，只要证明∠PEF＝∠PFE．
（2）连接AC 交EF 于O，连接PM，PO．首先证明P，M，O 共线，再利用等腰三角形
的三线合一的性质解决问题即可．
（3）如图3 中，由题意，点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图
中弧BC．利用弧长公式，解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1 中，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．
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（2）证明：如图2 中，连接AC 交EF 于O，连接PM，PO．
∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO 平分∠EPF，
∵PE＝PF，AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM 平分∠EPF，
∴P．M，O 共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M 在线段EF 的垂直平分线上．
（3）如图3 中，由题意，点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图
中弧BC．
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在Rt△BCD 中，tan∠CBD＝
＝
，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G 运动的路径的长＝
＝
π．
故答案为：
π．
24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4 交x 轴于A（﹣1，
0）、B（4，0）两点，交y 轴于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P 为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C 作CQ∥BP 交x 轴于点Q，连
接PQ，求△PBQ 面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4 向右平移经过点（
，0）时，得到新
抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使
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得以A、P、E、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，
请说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2 的中点P0 的坐标为（
，
）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出直线PB 的表达式为y＝kx+t，而CQ∥BP，则直线CQ 的表达式为y＝
（m+1）x﹣4，
令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝
，即点Q 的坐标为（
，0），由S＝
×BQ×
（﹣yP），即可求解；
（3）当AP 是边时，则点A 向右平移3 个单位向下平移6 个单位得到点P，同样点F
（E）向右平移3 个单位向下平移6 个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），进而
求解；当AP 是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF，列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：
，解得
，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），
设点P 的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），
设直线PB 的表达式为y＝kx+t，
则
，解得
，
∵CQ∥BP，
故设直线CQ 的表达式为y＝（m+1）x+p，
该直线故点C（0，﹣4），即p＝﹣4，
故直线CQ 的表达式为y＝（m+1）x﹣4，
令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝
，即点Q 的坐标为（
，0），
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则BQ＝4﹣
＝
，
设△PBQ 面积为S，
则S＝
×BQ×（﹣yP）＝﹣
×
×（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，
∵﹣2＜0，故S 有最大值，
当m＝2 时，△PBQ 面积为8，
此时点P 的坐标为（2，﹣6）；
（3）存在，理由：
将抛物线y＝ax2+bx﹣4 向右平移经过点（
，0）时，即点A 过改点，即抛物线向右平
移了
+1＝
个单位，
则函数的对称轴也平移了
个单位，即平移后的抛物线的对称轴为
+
＝3，故设点E
的坐标为（3，m），
设点F（s，t），
①当AP 是边时，
则点A 向右平移3 个单位向下平移6 个单位得到点P，
同样点F（E）向右平移3 个单位向下平移6 个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝
PE），
则
或
，
解得
或
，
故点F 的坐标为（3，﹣
）或（3，2）；
②当AP 是对角线时，
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由中点坐标公式和AP＝EF 得：
，
解得
或
，
故点F 的坐标为（3，﹣3+
）或（3，﹣3﹣
）；
综上，点F 的坐标为（3，﹣3+
）或（3，﹣3﹣
）或（3，﹣
）或（3，2）．
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