2021 年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）﹣
的相反数是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
2．（3 分）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）实数
+1 在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
D．D 点
4．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．
+
＝
B．
＝±3
C．a•a﹣1＝1（a≠0）
D．（﹣3a2b2）2＝﹣6a4b4
5．（3 分）如图，一束光线AB 先后经平面镜OM，ON 反射后，反射光线CD 与AB 平行，
当∠ABM＝40°时，∠DCN 的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
6．（3 分）在反比例函数y＝
（k 为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C
（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y3＜y2＜y1
7．（3 分）以下命题是假命题的是（ ）
A．
的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4 的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．（3 分）生活中常用的十进制是用0~9 这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝
1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F
来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进
制
0
1
2
…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
十六
进制
0
1
2
…
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
…
例：十六进制2B 对应十进制的数为2×16+11 ＝43 ，10C 对应十进制的数为
1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E 对应十进制的数为（ ）
A．28
B．62
C．238
D．334
9．（3 分）在平面直角坐标系中，等边△AOB 如图放置，点A 的坐标为（1，0），每一次
将△AOB 绕着点O 逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转后得
到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（ ）
A．（﹣22020，﹣
×22020）
B．（22021，﹣
×22021）
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2
C．（22020，﹣
×22020）
D．（﹣22021，﹣
×22021）
10．（3 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）经过点（2，0），
且对称轴为直线x＝
，有下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无
论a，b，c 取何值，抛物线一定经过（
，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论
有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
11．（3 分）截至2020 年末，达州市金融精准扶贫共计392.5 亿元，居全省第2，惠及建档
立卡贫困户8.96 万人,将392.5 亿元用科学记数法表示应为 元．
12．（3 分）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x 的值为3，则输出y 值为 ．
13．（3 分）已知a，b 满足等式a2+6a+9+
＝0，则a2021b2020＝ ．
14．（3 分）如图，将一把矩形直尺ABCD 和一块等腰直角三角板EFG 摆放在平面直角坐
标系中，AB 在x 轴上，点G 与点A 重合，点F 在AD 上，EF 交BC 于点M，反比例函数
y＝
（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则
k＝ ．
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3
15．（3 分）若分式方程
﹣4＝
的解为整数，则整数a＝ ．
16．（3 分）如图，在边长为6 的等边△ABC 中，点E，F 分别是边AC，BC 上的动点，且
AE＝CF，连接BE，AF 交于点P，连接CP，则CP 的最小值为 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72 分）
17．（5 分）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1﹣
|．
18．（7 分）化简求值：（1﹣
）÷(
)，其中a 与2，3 构成三角形的三边，
且a 为整数．
19．（7 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展
“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,
为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必
选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息
如下：
（1）这次抽样调查的总人数为 人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数
为 ；
（2）若该校有1400 名学生，估计选择参加书法的有多少人？
（3）学校准备从推荐的4 位同学（两男两女）中选取2 人主持活动，利用画树状图或
表格法求恰为一男一女的概率．
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4
20．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，
2），C（3，2）．
（1）将△ABC 以O 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC 平移后得到△A2B2C2，若点A 的对应点A2 的坐标为（2，2），求
△A1C1C2的面积．
21．（7 分）2021 年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次
测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC 长为48 米，
在点D 处测得桥墩最高点A 的仰角为35°，CD 平行于水平线BM，CD 长为16
米，求
桥墩AB 的高（结果保留1 位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，
≈1.73）
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22．（8 分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30 元/千克，根据市
场调查发现，批发价定为48 元/千克时，每天可销售500 千克，为增大市场占有率，在
保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1 元，每天销量可增加50
千克．
（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2 元时，工厂每天
的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750 元，并让利于民，则定价应为多少元？
23．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点（C 不与点A，B 重合）连接AC，
BC，过点C 作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD 沿AC 翻折，点D 落在点E 处得
△ACE，AE 交⊙O 于点F．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
24．（12 分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如
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6
下探究：
【现察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别是AB，AD 上的两点，连接DE，CF，
DE⊥CF，则
的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，AD＝7，CD＝4，点E 是AD 上的一点，连接CE，
BD，且CE⊥BD，则
的值为 ；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，点E 为AB 上一点，连接DE，过点
C 作DE 的垂线交ED 的延长线于点G，交AD 的延长线于点F，求证：DE•AB＝
CF•AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABC 中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝
，将△ABD 沿BD
翻折，点A 落在点C 处得△CBD，点E，F 分别在边AB，AD 上，连接DE，CF，
DE⊥CF．
①求
的值；
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7
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF 的长度．
25．（11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 交x 轴于点A 和C（1，
0），交y 轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x 轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜
90°），连接AE′，BE′，求BE′+
AE′的最小值；
（3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N
为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．
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8
2021 年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）﹣
的相反数是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【解答】解：﹣
的相反数是
．
故选：B．
2．（3 分）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．
故选：A．
3．（3 分）实数
+1 在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
D．D 点
【解答】解：∵1＜2＜4，
∴1＜
＜2，
∴2＜
+1＜3，
则实数
+1 在数轴上的对应点可能是点D，
故选：D．
4．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．
+
＝
B．
＝±3
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9
C．a•a﹣1＝1（a≠0）
D．（﹣3a2b2）2＝﹣6a4b4
【解答】解：A.
+
无法合并，故此选项错误；
B.
＝3,故此选项错误；
C．a•a﹣1＝1（a≠0）,故此选项正确；
D．（﹣3a2b2）2＝9a4b4,故此选项错误；
故选：C．
5．（3 分）如图，一束光线AB 先后经平面镜OM，ON 反射后，反射光线CD 与AB 平行，
当∠ABM＝40°时，∠DCN 的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【解答】解：∵∠ABM＝40°，∠ABM＝∠OBC,
∴∠OBC＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，
∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，
∴∠DCN＝
(180°﹣∠BCD)＝50°，
故选：B．
6．（3 分）在反比例函数y＝
（k 为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C
（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵k2+1＞0，
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10
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
7．（3 分）以下命题是假命题的是（ ）
A．
的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4 的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【解答】解：A、
＝2 的算术平方根是
，原命题是假命题，符合题意；
B、有两边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
C、一组数据：3，﹣1，1，1，2，4 的中位数是1.5，原命题是真命题，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
8．（3 分）生活中常用的十进制是用0~9 这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝
1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F
来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进
制
0
1
2
…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
十六
进制
0
1
2
…
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
…
例：十六进制2B 对应十进制的数为2×16+11 ＝43 ，10C 对应十进制的数为
1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E 对应十进制的数为（ ）
A．28
B．62
C．238
D．334
【解答】解：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．
故选：D．
9．（3 分）在平面直角坐标系中，等边△AOB 如图放置，点A 的坐标为（1，0），每一次
将△AOB 绕着点O 逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转后得
到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（ ）
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11
A．（﹣22020，﹣
×22020）
B．（22021，﹣
×22021）
C．（22020，﹣
×22020）
D．（﹣22021，﹣
×22021）
【解答】解：由已知可得：
第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，
第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，
第三次旋转后，A3在x 轴负半轴，OA3＝23，
第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，
第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，
第六次旋转后，A6在x 轴正半轴，OA6＝26，
.....．
如此循环，每旋转6 次，A 的对应点又回到x 轴正半轴，而2021＝6×336+5，
∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：
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12
OH＝
OA2021＝22020，A2021H＝
OH＝
×22020，
∴A2021（（22020，﹣
×22020），
故选：C．
10．（3 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）经过点（2，0），
且对称轴为直线x＝
，有下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无
论a，b，c 取何值，抛物线一定经过（
，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论
有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝
，即对称轴在y 轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线与y 轴交在负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝
，
∴﹣
＝
，
∴﹣2b＝2a，
∴a+b＝0，
故②不正确；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）经过点（2，0），
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13
∴4a+2b+c＝0，
∵c＜0，
∴4a+2b+3c＜0，
故③正确；
④由对称得：抛物线与x 轴另一交点为（﹣1，0），
∵
，
∴c＝﹣2a，
∴
＝﹣1，
∴当a≠0，无论b，c 取何值，抛物线一定经过（
，0），
故④不正确；
⑤∵b＝﹣a，
∴4am2+4bm﹣b＝4am2﹣4am+a＝a（4m2﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2，
∵a＞0，
∴a（2m﹣1）2≥0，即4am2+4bm﹣b≥0，
故⑤正确；
本题正确的有：①③④⑤，共4 个．
故选：D．
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
11．（3 分）截至2020 年末，达州市金融精准扶贫共计392.5 亿元，居全省第2，惠及建档
立卡贫困户8.96 万人,将392.5 亿元用科学记数法表示应为
3.925×10
10
元．
【解答】解：392.5 亿＝39250000000＝3.925×1010．
故答案为：3.925×1010．
12．（3 分）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x 的值为3，则输出y 值为
2
．
【解答】解：∵3＜4，
∴把x＝3 代入y＝|x|﹣1 得y＝3﹣1＝2，
故答案为2．
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14
13．（3 分）已知a，b 满足等式a2+6a+9+
＝0，则a2021b2020＝ ﹣
3
．
【解答】解：∵a2+6a+9+
＝0，
∴（a+3）2+
＝0，
∴a+3＝0，b﹣
＝0，
解得：a＝﹣3，b＝
，
则a2021b2020＝（﹣3）2021•（
）2020＝﹣3×（﹣3×
）2020＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（3 分）如图，将一把矩形直尺ABCD 和一块等腰直角三角板EFG 摆放在平面直角坐
标系中，AB 在x 轴上，点G 与点A 重合，点F 在AD 上，EF 交BC 于点M，反比例函数
y＝
（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则
k＝ ﹣
12
．
【解答】解：过点M 作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，
在Rt△FMN 中，∠MFN＝45°，
∴FN＝MN＝1
又∵FG＝4，
∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，
设OA＝a，则OB＝a﹣1，
∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），
又∵反比例函数y＝
（x＜0）的图象恰好经过点F，M，
∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），
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15
解得，a＝3，
∴k＝﹣4a＝﹣12，
故答案为：﹣12．
15．（3 分）若分式方程
﹣4＝
的解为整数，则整数a＝
±1
．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣
1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），
整理得﹣2ax＝﹣4，
整理得ax＝2，
∵x，a 为整数，
∴a＝±1 或a＝±2，
∵x＝±1 为增根，
∴a≠±2，
∴a＝±1．
故答案为：±1．
16．（3 分）如图，在边长为6 的等边△ABC 中，点E，F 分别是边AC，BC 上的动点，且
AE＝CF，连接BE，AF 交于点P，连接CP，则CP 的最小值为
2
．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，
在△ABE 和△ACF 中，
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16
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，
∴∠APB＝120°，
如图，过点A，点P，点B 作⊙O，连接CO，PO，
∴点P 在
上运动，
∵AO＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠CAO＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴CO 垂直平分AB，
∴∠ACO＝30°，
∴cos∠ACO＝
，CO＝2AO，
∴CO＝4
，
∴AO＝2
，
在△CPO 中，CP≥CO﹣OP，
∴当点P 在CO 上时，CP 有最小值，
∴CP 的最小值＝4
﹣2
＝2
，
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17
故答案为2
．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72 分）
17．（5 分）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1﹣
|．
【解答】解：原式＝﹣1+1+2×
﹣（
﹣1）
＝﹣1+1+
﹣
+1
＝1．
18．（7 分）化简求值：（1﹣
）÷(
)，其中a 与2，3 构成三角形的三边，
且a 为整数．
【解答】解：原式＝
•
＝
•
＝﹣2(a﹣2)
＝﹣2a+4,
∵a 与2，3 构成三角形的三边，
∴3﹣2＜a＜3+2,
∴1＜a＜5,
∵a 为整数，
∴a＝2,3 或4，
又∵a﹣2≠0,a﹣4≠0,
∴a≠2 且a≠4,
∴a＝3,
∴原式＝﹣2a+4
＝﹣2×3+4
＝﹣6+4
＝﹣2．
19．（7 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展
“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,
为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必
选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息
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18
如下：
（1）这次抽样调查的总人数为
200
人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数
为
108°
；
（2）若该校有1400 名学生，估计选择参加书法的有多少人？
（3）学校准备从推荐的4 位同学（两男两女）中选取2 人主持活动，利用画树状图或
表格法求恰为一男一女的概率．
【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：36÷18%＝200（人），
则参加舞蹈”的学生人数为：200﹣36﹣80﹣24＝60（人），
∴扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：360°×
＝108°，
故答案为：200，108°；
（2）1400×
＝560（人），
即估计选择参加书法有560 人；
（3）画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8 种，
∴恰为一男一女的概率为
＝
．
20．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，
2），C（3，2）．
（1）将△ABC 以O 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
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（2）将△ABC 平移后得到△A2B2C2，若点A 的对应点A2 的坐标为（2，2），求
△A1C1C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝
×3×4＝6．
21．（7 分）2021 年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次
测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC 长为48 米，
在点D 处测得桥墩最高点A 的仰角为35°，CD 平行于水平线BM，CD 长为16
米，求
桥墩AB 的高（结果保留1 位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，
≈1.73）
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【解答】解：过点C 作CE⊥BM 于点E，过点D 作DF⊥BM 于点F，延长DC 交AB 于
点G，
在Rt△CEG 中，∠BEC＝30°，BC＝48 米，
∴CE＝BC•sin30°＝
×48＝24（米），BE＝BC•cos30°＝48×
≈24×1.73≈41.52
（米），
∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16
≈41.52+27.68＝69.2（米），
在Rt△ADG 中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.2×0.70＝48.44（米），
∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），
答：桥墩AB 的高约为72.4 米．
22．（8 分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30 元/千克，根据市
场调查发现，批发价定为48 元/千克时，每天可销售500 千克，为增大市场占有率，在
保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1 元，每天销量可增加50
千克．
（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2 元时，工厂每天
的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750 元，并让利于民，则定价应为多少元？
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【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2 时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价
2 元时，工厂每天的利润为9600 元；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4 时，W 最大为9800，
即当降价4 元时，工厂每天的利润最大，最大为9800 元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
∴x1＝3 不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43 元．
23．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点（C 不与点A，B 重合）连接AC，
BC，过点C 作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD 沿AC 翻折，点D 落在点E 处得
△ACE，AE 交⊙O 于点F．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD 沿AC 翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
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∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）连解：接OF，过点O 作OG⊥AE 于点G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG＝
OA＝1，AG＝
，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝2
，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，
∴CD＝
OC＝1，OD＝
，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+
，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣
，CE＝CD＝1，
∴S 阴影＝S 梯形OCEF﹣S 扇形OCF
＝
×（2﹣
+2）×1﹣
×π×22
＝2﹣
﹣
π．
24．（12 分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如
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下探究：
【现察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别是AB，AD 上的两点，连接DE，CF，
DE⊥CF，则
的值为
1
；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，AD＝7，CD＝4，点E 是AD 上的一点，连接CE，
BD，且CE⊥BD，则
的值为
；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，点E 为AB 上一点，连接DE，过点
C 作DE 的垂线交ED 的延长线于点G，交AD 的延长线于点F，求证：DE•AB＝
CF•AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABC 中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝
，将△ABD 沿BD
翻折，点A 落在点C 处得△CBD，点E，F 分别在边AB，AD 上，连接DE，CF，
DE⊥CF．
①求
的值；
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②连接BF，若AE＝1，直接写出BF 的长度．
【解答】解:(1)如图1,设DE 与CF 交于点G,
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED 和△DFC 中，
，
∴△AED≌△DFC(AAS)，
∴DE＝CF,
∴
＝1；
(2)如图2,设DB 与CE 交于点G,
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
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∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°,
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴
，
故答案为：
．
(3)证明:如图3,过点C 作CH⊥AF 交AF 的延长线于点H,
∵CG⊥EG,
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°,
∴四边形ABCH 为矩形,
∴AB＝CH,∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°,
∴∠CFH＝∠DFG＝∠ADE,∠A＝∠H＝90°,
∴△DEA∽△CFH,
∴
,
∴
,
∴DE•AB＝CF•AD；
(4)①如图4,过点C 作CG⊥AD 于点G,连接AC 交BD 于点H,CG 与DE 相交于点O,
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∵CF⊥DE,∠BAD＝90°,
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°,
∴∠FCG＝∠ADE,∠BAD＝∠CFG＝90°,
∴△DEA∽△CGF,
∴
,
在Rt△ABD 中,tan∠ADB＝
,AD＝9,
∴AB＝3,
在Rt△ADH 中,tan∠ADH＝
,
∴
,
设AH＝a,则DH＝3a,
∵AH2+DH2＝AD2,
∴a2+(3a)2＝92,
∴a＝
(负值舍去),
∴AH＝
,DH＝
,
∴AC＝2AH＝
,
∵S△ADC＝
AD•CG,
∴
×9CG,
∴CG＝
,
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∴
；
②∵AC＝
,CG＝
,∠AGC＝90°,
∴AG＝
＝
＝
,
∵CF⊥DE,CG⊥AD,
∴∠EOC+∠FCG＝∠DOG+∠EDA＝90°,
∵∠EOC＝∠DOG,
∴∠FCG＝∠EDA,
又∵∠EAD＝∠CGF＝90°,
∴△CFG∽△DEA,
∴
,
又∵
,AE＝1,
∴FG＝
,
∴AF＝AG﹣FG＝
＝
,
∴BF＝
＝
＝
．
25．（11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 交x 轴于点A 和C（1，
0），交y 轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x 轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜
90°），连接AE′，BE′，求BE′+
AE′的最小值；
（3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N
为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c 中，
得：
，
∴b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）在OE 上取一点D，使得OD＝
OE，
连接AE'，BD，
∵
，对称轴x＝﹣1，
∴E（﹣1，0），OE＝1，
∴OE'＝OE＝1，OA＝3，
∴
，
又∵∠DOE'＝∠E'OA，
△DOE'∽△E'OA，
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∴
，
∴
，
当B，E'，D 三点共线时，BE′+DE′最小为BD，
BD＝
＝
，
∴
的最小值为
；
（3）∵A（﹣3，0），B（0，3），
设N（n，﹣n2﹣2n+3），M（x，y），
则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，
∵ABMN 构成的四边形是矩形，
∴△ABN 是直角三角形，
若AB 是斜边，则AB2＝AN2+BN2，
即18＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，
解得：n1＝
，
，
∴N 的横坐标为
或
，
若AN 是斜边，则AN2＝AB2+BN2，
即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+（n2+2n）2，
解得n＝﹣1，
∴N 的横坐标是﹣1，
若BN 是斜边，则BN2＝AB2+AN2，
即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，
解得n＝2，
∴N 的横坐标为2，
综上N 的横坐标为
，
，﹣1，2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/6/26 7:54:24；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
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