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2021 年度九年级数学下册期末达标检测试卷（1）
说明：试卷总分120 分，答题时间90 分钟。
一、单项选择题（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
1．（2020•广安模拟）下列图形中，主视图为①的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．
A．主视图是等腰梯形，故此选项错误；
B．主视图是长方形，故此选项正确；
C．主视图是等腰梯形，故此选项错误；
D．主视图是三角形，故此选项错误。
2.（2019•四川省达州市）如图是由7 个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置
小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知条件可知，左视图有2 列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．从左面看可
得到从左到右分别是3，1 个正方形．
3. （2019 贵州省毕节市）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣
的图象
上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y2＞y1
C．y2＞y1＞y3
D．y1＞y3＞y2
1
【答案】C．
【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣
的图象上，
∴y1＝﹣
＝
，y2＝﹣
＝
，y3＝﹣
，又∵﹣
＜
＜
，∴y3＜y1＜y2．故选：C．
4.（2019 山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A.B 分别在x 轴、y 轴的正
半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，点C 在函数y＝
（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】根据题意可以求得OA 和AC 的长，从而可以求得点C 的坐标，进而求得k 的值，本题得以解决．
∵等腰直角三角形ABC 的顶点A.B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB＝1，
∴∠BAC＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝
，AC＝
，
∴点C 的坐标为（
，
），
∵点C 在函数y＝
（x＞0）的图象上，
∴k＝
＝1
5.下列各图中的两个图形不是位似图形的是（ ）
2
A B C D
【答案】C
【解析】图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点
A ，图（2）中的点P 和图（4）中的点O．图（3）中的点O 不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似
图形。
6.（2019•海南省）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P 是边AC 上一动点，过点P 作
PQ∥AB 交BC 于点Q，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（ ）
A.
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三
角形的性质列出比例式，计算即可．
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝
＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
3
∴△CPQ∽△CAB，
∴
＝
＝
，即
＝
＝
，
解得，CP＝
，
∴AP＝CA﹣CP＝
7.（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile 的小岛A 出发，
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是
（ ）
A．30
nmile
B．60nmile
C．120nmile
D．（30+30
）nmile
【答案】D
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解
直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
过点C 作CD⊥AB，则在Rt△ACD 中易得AD 的长，再在直角△BCD 中求出BD，相加可得AB 的长．
过C 作CD⊥AB 于D 点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD 中，cos∠ACD＝
，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×
＝30
．
在Rt△DCB 中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30
，
∴AB＝AD+BD＝30+30
．
答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是（30+30
）nmile．
4
8.（2019•江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼
的高度，将测角仪
竖直放置在与教学楼水
平距离为
的地面上，若测角仪的高度为
，测得教学楼的顶部
处的仰角为
，则教学楼的
高度是（ ）
30°
C
D
A
B
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】考察
角的三角函数值，中等偏易题目
过
作
交
于
，
在
中，
30°
C
D
A
B
E
二、填空题（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
9．（2020•青岛模拟）一个由16 个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9 个小立方块，
5
18 3
DE
BC
它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
【答案】10．
【解析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和
要保证为16，还要保证俯视图有9 个位置．
设俯视图有9 个位置分别为：
由主视图和左视图知：①第1 个位置一定是4，第6 个位置一定是3；
②一定有2 个2，其余有5 个1；
③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；
根据2 的排列不同，这个几何体的搭法共有10 种：如下图所示：
10.（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面
积为
．
6
【答案】（18+2
）cm2．
【解析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上
面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为
cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为
3×2×3+2×
＝18+2
（cm2）．
11.（2019 湖南郴州）如图，点A，C 分别是正比例函数y＝x 的图象与反比例函数y
的图象的交点，过A
点作AD⊥x 轴于点D，过C 点作CB⊥x 轴于点B，则四边形ABCD 的面积为
．
【答案】8
【解析】∵A、C 是两函数图象的交点，
∴A、C 关于原点对称，
∵CD⊥x 轴，AB⊥x 轴，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，
又∵反比例函数y=4/x 的图象上，
7
∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD=4/2＝2，
∴S 四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，
故答案为：8．
12.（2019 辽宁本溪）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 和菱形OCDE 的边OA，OE 都在x 轴上，点C
在OB 边上，S△ABD=
，反比例函数
(x＞0)的图象经过点B，则k 的值为
【答案】
.
【解析】过点D、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M、N，设OE=2a，OA=2b，根据四边形OCDE 是菱形和
△OAB 为等边三角形可得DM=
a 和BN=
b 进而得出S△ABD=S 梯形BDMN+S△ABN-S△ADM，进而求出b2的值，然后
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 的值.
过点D、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M、N.
设OE=2a，OA=2b.
∵四边形OCDE 是菱形，
∴DM=
a.
∵△OAB 为等边三角形，
∴BN=
b，
∴S△ABD=S 梯形BDMN+S△ABN-S△ADM=
，
解得b2=1.
∵点B 的坐标为（b，
b），且点B 在反比例函数
的图象上，
8
∴k=
b2=
13.（2019•四川省凉山州）在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2：3 的两部分，连接BE、AC 相
交于F，则S△AEF：S△CBF是
．
【答案】4：25 或9：25．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似
比的平方是解题的关键．
分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2 两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
①当AE：ED＝2：3 时，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，
∴△AEF∽△CBF，
∴S△AEF：S△CBF＝（
）2＝4：25；
②当AE：ED＝3：2 时，
同理可得，S△AEF：S△CBF＝（
）2＝9：25。
14.（2019•浙江宁波）如图所示，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，点D 在边BC 上，CD＝5，BD＝13．点
P 是线段AD 上一动点，当半径为6 的⊙P 与△ABC 的一边相切时，AP 的长为 ．
9
【答案】6.5 或3
．
【解析】∵在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝
＝6
，
在Rt△ADC 中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝
＝13，
当⊙P 于BC 相切时，点P 到BC 的距离＝6，
过P 作PH⊥BC 于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴
，
∴
＝
，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P 于AB 相切时，点P 到AB 的距离＝6，
过P 作PG⊥AB 于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴
，
∴
＝
，
∴AP＝3
，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6 的⊙P 不与△ABC 的AC 边相切，
10
综上所述，AP 的长为6.5 或3
，
故答案为：6.5 或3
．
15.（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O 是AB 的中点，直线l 经过点O，∠1＝60°，P 点是
直线l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则BP＝ ．
【答案】2 或2
或2
．
【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2＝c2．
分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2 时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2
，
∴BP＝
＝2
，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2
，
故答案为：2 或2
或2
．
11
16. （2019 贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的
延长线上，点B 在ED 上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD 的长度是
．
【答案】15﹣5
．
【解析】考查含30 度角的直角三角形；勾股定理．
过点B 作BM⊥FD 于点M，
在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10
，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10
×
＝5
，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5
，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5
．
12
故答案是：15﹣5
．
三、解答题（本大题有5 小题，共56 分）
17．（7 分）（2019 广西贵港）计算：（﹣1）3+
﹣（π﹣112）0﹣2
tan60°
【答案】-5
【解析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可；
原式＝﹣1+3﹣1﹣2
×
＝1﹣2×3＝﹣5
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值；牢记特殊角的三角函数值，掌握实数的
运算性质是解题的关键．
18.（10 分）在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度。在阳光下，测得身高1.65 米的黄
丽同学BC 的影长BA 为1.1 米，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1 米。
（1）请你在图中画出此时教学楼DE 在阳光下的投影DF。
（2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE 的高度（精确到0.1 米）。
【答案】见解析。
【解析】将平行投影与相似三角形有机的结合起来，解决了测量中的实际应用问题。
（1）因为太阳光是平行光，只要过点E 作EF∥AC 即可。
（2）因为△ABC∽△FDE，根据对应边成比例即可求解。
因为EF∥AC，所以△ABC∽△FDE，
即
，
解得：DE＝18.15≈18.2。
19.（14 分）（2019 江苏镇江）如图，点A(2，n)和点D 是反比例函数y＝
（m＞0，x＞0）图像上的两
13
点，一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y 轴交于点B，与x 轴交于点C，过点D 作DE⊥x 轴，
垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB 与△ODE 的面积满足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4．
（1）S△OAB＝________，m＝________；
（2）已知点P(6，0)在线段OE 上，当∠PDE＝∠CBO 时，求点D 的坐标．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解
题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．先求出B 点纵坐标和A 点的横
坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA 的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE 的面积，最后根据反
比例函数的比例系数的几何意义求出m 的值；先由点A 在双曲线上，求出A 点坐标；再先求出直线AB 的解
析式；连接DP，通过条件∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，得PD∥AB，于是可令直线PD 的解析式为
y＝
x＋t，则0＝
×6＋t，求出PD 的解析式；
最后由
解得
，
．从而锁定D 点的坐标．
（1）∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y 轴交于点B，
∴B(0，3)，OB＝3．
∵点A(2，n)，
∴
＝2．
∴S△AOB＝
•OB•
＝
×3×2＝3．
∵S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4，
∴S△DOE＝4．
y
x
P
O
E
D
C
B
A
14
∵DE⊥x 轴，且点D 在双曲线y＝
上，
∴
＝4．
∵m＞0，∴m＝8．
（2）如答图，连接PD，
∵点A(2，n)在双曲线y＝
上，
∴2n＝8，n＝4，A(2，4)．
∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y 轴交于点B，
∴4＝2k＋3．
∴k＝
，直线AB 的解析式为y＝
x＋3．
∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，
∴∠DPE＝∠BCO．
∴PD∥AB．
∴令直线PD 的解析式为y＝
x＋t，则0＝
×6＋t．
∴t＝－3，直线PD 的解析式为y＝
x－3．
由
解得
，
．
∵点D 在第一象限，
∴D(8，1)．
20.（12 分）（2019•湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A 处放一面镜
y
x
P
O
E
D
C
B
A
15
子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子
中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D 在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙
度BF，DG 为1.6m，试确定楼的高度OE．
【答案】楼的高度OE 为32 米．
【解析】设E 关于O 的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA 相交于点M，
连接GF 并延长交OE 于点H，
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴
，
即：
，
∴
，
∴OE＝32
21.（13 分）（2019•江苏连云港）如图所示，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25 海里．
在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南
偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；
（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16 海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东
16
76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈
，cos37°＝sin53°≈
，tan37°≈
，tan76°≈4）
【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15 海里；
（2）当缉私艇的速度为6
海里/小时时，恰好在D 处成功拦截．
【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC 即可；
在△ABC 中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．
在Rt△ABC 中，sinB＝
，
∴AC＝AB•sin37°＝25×
＝15（海里）．
答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15 海里；
（2）过点C 作CM⊥AB 于点M，易知，D.C.M 在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD 中，求
出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD
所用的时间列出方程，解方程即可．
过点C 作CM⊥AB 于点M，由题意易知，D.C.M 在一条直线上．
在Rt△AMC 中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×
＝12，
AM＝AC•cos∠CAM＝15×
＝9．
在Rt△AMD 中，tan∠DAM＝
，
∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，
∴AD＝
＝
＝9
，
CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．
设缉私艇的速度为x 海里/小时，则有
＝
，
解得x＝6
．
17
经检验，x＝6
是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为6
海里/小时时，恰好在D 处成功拦截．
18
