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2019 年四川省成都市金堂县中考数学一模试卷
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．已知有理数a，b，c 在数轴上对应的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|（ ）
A．b﹣2c+a
B．b﹣2c﹣a
C．b+a
D．b﹣a
2．若x＝1 是方程2x+m﹣6＝0 的解，则m 的值是（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣8
D．8
3．右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得
原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）
A．22 元
B．23 元
C．24 元
D．26 元
4．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．不解方程，判别方程2x2﹣3
x＝3 的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
6．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC 为边画等腰三角形BCD，使点D 落在△ABC 的边上，则点
D 的位置有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
7．对于两组数据A，B，如果sA
2＞sB
2，且
A＝
B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同
B．数据B 的波动小一些
C．它们的平均水平不相同
D．数据A 的波动小一些
8．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（3，﹣4），顶点C 在x 轴的正半轴上，函数y＝
（k＜0）的图象经过点B，则k 的值为（ ）
A．﹣12
B．﹣32
C．32
D．﹣36
9．小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A 的全程是25 千米，但交通
比较拥堵，路线B 的全程比路线A 的全程多7 千米，但平均车速比走路线A 时能提高60%，若走路
线B 的全程能比走路线A 少用15 分钟．若设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，可
列分式方程（ ）
A．
＝15
B．
＝15
C．
＝
D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y 轴的交点在（0，2），（0，
3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣
；③对于任意实数m，
a+b≥am2+bm 总成立；④关于x 的方程ax2+bx+c＝n﹣1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的
个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二．填空题（共4 小题，满分16 分，每小题4 分）
11．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝ ．
12．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD 的度数为 ．
13．分式方程
的解是 ．
14．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB＝6，BC＝10，BC 边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A 点与E
点重合，折痕MN 交AD 于M 点，则线段AM 的长是 ．
三．解答题（共6 小题，满分54 分）
15．（1）计算：
﹣2sin60°+|1﹣tan60°|+（2019﹣π）0
（2）解方程：4x（x+3）＝x2﹣9
16．先化简，再求值：（x﹣2+
）÷
，其中x＝﹣
．
17．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，
导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4 千米至B 地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇
C，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B、C 两地的距离（结果保留整数）（参考数据：
tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）
18．“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用
随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根
据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为
°；
（2）若该中学共有学生900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了
解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3 个女生A、B、C 和2 个男生M、N 中分别随机抽取
1 人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A 的概率．
19．如图，已知反比例函数y＝
的图象与一次函数y＝x+b 的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n 和b 的值；
（2）求△OAB 的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．
20．如图，△ABC 内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D 为
上的动点，且cos∠ABC＝
．
（1）求AB 的长度；
（2）在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 延长线于点E，问AD•AE 的值是否变化？若不变，
请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，过A 点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．
四．填空题（共5 小题，满分20 分，每小题4 分）
21．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0 的两根分别为m，n，则
的值为 ．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝4，以CD 为直径作⊙O．将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩
形A'B'CD'的边A'B'与⊙O 相切，切点为E，边CD'与⊙O 相交于点F，则CF 的长为 ．
23．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、
BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD 与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：
①△A1AD1≌△CC1B； ②当x＝1 时，四边形ABC1D1是菱形； ③当x＝2 时，△BDD1为等边三角
形；④s＝
（x﹣2）2（0＜x＜2）；其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
24．如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝
交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x1﹣x2）（y1﹣y2）
＝ ．
25．如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A、B、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG，
PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则
＝ ．
五．解答题（共3 小题，满分30 分）
26．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如
果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t
﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15m？
27．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E，F 分别在边AB，AD 上，且∠ECF＝45°，CF 的延长线交BA
的延长线于点G，CE 的延长线交DA 的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH 什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH 的面积S 有变化吗？如果变化．请求出S 与m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH 是等腰三角形的m 值．
28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶
点为D．
（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM 周
长的最小值；若不存在，请说明理由．
2019 年四川省成都市金堂县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．已知有理数a，b，c 在数轴上对应的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|（ ）
A．b﹣2c+a
B．b﹣2c﹣a
C．b+a
D．b﹣a
【分析】观察数轴，可知：c＜0＜b＜a，进而可得出b﹣c＞0、c﹣a＜0，再结合绝对值的定义，即可求
出|b﹣c|﹣|c﹣a|的值．
【解答】解：观察数轴，可知：c＜0＜b＜a，
∴b﹣c＞0，c﹣a＜0，
∴|b﹣c|﹣|c﹣a|＝b﹣c﹣（a﹣c）＝b﹣a．
故选：D．
【点评】本题考查了数轴以及绝对值，由数轴上a、b、c 的位置关系结合绝对值的定义求出|b﹣c|﹣|c
﹣a|的值是解题的关键．
2．若x＝1 是方程2x+m﹣6＝0 的解，则m 的值是（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣8
D．8
【分析】根据一元一次方程的解的定义，将x＝1 代入已知方程，列出关于m 的新方程，通过解新方
程来求m 的值．
【解答】解：根据题意，得
2×1+m﹣6＝0，即﹣4+m＝0，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．解题时，需要理解方程的解的定义，就是能够使方
程左右两边相等的未知数的值．
3．右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得
原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）
A．22 元
B．23 元
C．24 元
D．26 元
【分析】设出洗发水的原价是x 元，直接得出有关原价的一元一次方程，再进行求解．
【解答】解：设洗发水的原价为x 元，由题意得：
0.8x＝19.2，
解得：x＝24．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用中打折问题，设出原价即可列出有关方程．
4．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．不解方程，判别方程2x2﹣3
x＝3 的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3
x﹣3＝0，再计算△＝（﹣3
）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24
＞0，然后根据△的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程整理得2x2﹣3
x﹣3＝0，
∵△＝（﹣3
）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC 为边画等腰三角形BCD，使点D 落在△ABC 的边上，则点
D 的位置有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【分析】①以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D，△BCD 就是等腰三角形；
②作BC 的垂直平分线交AB 于I，则△BCI 是等腰三角形；
③以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点F，△BCF 就是等腰三角形；
④以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点K，△BCK 就是等腰三角形．
【解答】解：如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为4 个．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．解决此
类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作．
7．对于两组数据A，B，如果sA
2＞sB
2，且
A＝
B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同
B．数据B 的波动小一些
C．它们的平均水平不相同
D．数据A 的波动小一些
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵sA
2＞sB
2，
∴数据B 组的波动小一些．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据
偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数
据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（3，﹣4），顶点C 在x 轴的正半轴上，函数y＝
（k＜0）的图象经过点B，则k 的值为（ ）
A．﹣12
B．﹣32
C．32
D．﹣36
【分析】根据反比例函数的性质和菱形的性质可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．
【解答】解：设点C 的坐标为（c，0），
∵O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（3，﹣4），顶点C 在x 轴的正半轴上，
∴OA＝5，
∴点C（0，5），
∴点B 的坐标为（8，﹣4），
∵函数y＝
（k＜0）的图象经过点B，
∴﹣4＝
，得k＝﹣32，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利
用反比例函数的性质和菱形的性质解答．
9．小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A 的全程是25 千米，但交通
比较拥堵，路线B 的全程比路线A 的全程多7 千米，但平均车速比走路线A 时能提高60%，若走路
线B 的全程能比走路线A 少用15 分钟．若设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，可
列分式方程（ ）
A．
＝15
B．
＝15
C．
＝
D．
【分析】若设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为1.6x 千米/小时，根
据路线B 的全程比路线A 的全程多7 千米，走路线B 的全程能比走路线A 少用15 分钟可列出方
程．
【解答】解：设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，
根据题意，得
﹣
＝
．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问
题的关键．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y 轴的交点在（0，2），（0，
3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣
；③对于任意实数m，
a+b≥am2+bm 总成立；④关于x 的方程ax2+bx+c＝n﹣1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的
个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是
可对①进行判断；利用2≤c≤3 和c＝﹣3a 可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判
断；根据抛物线y＝ax2+bx+c 与直线y＝n﹣1 有两个交点可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣
＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①正确；
∵2≤c≤3，
而c＝﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣
，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1 时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c 与直线y＝n﹣1 有两个交点，
∴关于x 的方程ax2+bx+c＝n﹣1 有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当
a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对
称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定
抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac
＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；△＝b2﹣4ac＜0
时，抛物线与x 轴没有交点．
二．填空题（共4 小题，满分16 分，每小题4 分）
11．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝
3 x （
x ﹣
2 xy
+ y 2 ）
．
【分析】原式提取公因式分解即可．
【解答】解：原式＝3x（x﹣2xy+y2），
故答案为：3x（x﹣2xy+y2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，找出原式的公因式是解本题的关键．
12．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD 的度数为
105°
．
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝105°，再根据对顶角相等，即可得出∠AOD 的
度数．
【解答】解：由题可得，∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，
∴△BCO 中，∠BOC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠AOD＝∠BOC＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及对顶角的性质，利用三角形内角和为180°是关键．
13．分式方程
的解是
x ＝﹣
1
．
【分析】根据分式方程，可以先去分母变为整式方程进行解答，解出整式方程的根注意要进行检验．
【解答】解：
方程两边同乘以x﹣1 得，
x2﹣1＝0
则（x+1）（x﹣1）＝0
∴x+1＝0 或x﹣1＝0
得，x＝﹣1 或x＝1．
检验：x＝﹣1 时，x﹣1≠0；x＝1 时，x﹣1＝0，故x＝1 舍去．
故分式方程的根为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查解答分式方程，解题的关键是解出方程的根要检验．
14．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB＝6，BC＝10，BC 边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A 点与E
点重合，折痕MN 交AD 于M 点，则线段AM 的长是
．
【分析】过M 作MF⊥BC 于F，根据矩形的性质得到∠DAB＝∠B＝90°，推出四边形ABFM 是矩形，
得到BF＝AM，FM＝AB＝6，根据折叠的性质得到AM＝ME，设AM＝x，则EF＝BF＝x，根据勾股
定理列方程即可得到结论．
【解答】解：过M 作MF⊥BC 于F，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∴四边形ABFM 是矩形，
∴BF＝AM，FM＝AB＝6，
∵将纸片折叠，使A 点与E 点重合，折痕MN 交AD 于M 点，
∴AM＝ME，
设AM＝x，则EM＝BF＝x，
∴EF＝x﹣4，
在Rt△MEF 中，ME2＝EF2+MF2，
∴x2＝（x﹣4）2+62，
解得：x＝
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关
键．
三．解答题（共6 小题，满分54 分）
15．（1）计算：
﹣2sin60°+|1﹣tan60°|+（2019﹣π）0
（2）解方程：4x（x+3）＝x2﹣9
【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂并代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘法、取绝对
值符号，继而计算加减可得；
（2）先将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2×
+|1﹣
|+1
＝2﹣
+
﹣1+1
＝2；
（2）4x2+12x＝x2﹣9，
4x2+12x﹣x2+9＝0，
3x2+12x+9＝0，
x2+4x+3＝0，
（x+1）（x+3）＝0，
则x+1＝0 或x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程和实数的混合运算，能选择适当的方法解一元二次方程并熟
练掌握实数的混合运算是解此题的关键．
16．先化简，再求值：（x﹣2+
）÷
，其中x＝﹣
．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（
+
）•
＝
•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣
时，
原式＝2×（﹣
）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最
后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，
导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4 千米至B 地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇
C，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B、C 两地的距离（结果保留整数）（参考数据：
tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）
【分析】过B 作BD⊥AC 于点D，在直角△ABD 中利用三角函数求得BD 的长，然后在直角△BCD
中利用三角函数求得BC 的长．
【解答】解：过B 作BD⊥AC 于点D．
在Rt△ABD 中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），
∵△BCD 中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），
∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．
答：B、C 两地的距离大约是6 千米．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角
形的知识，利用三角函数的知识求解．
18．“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用
随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根
据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有
60
人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为
30
°；
（2）若该中学共有学生900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了
解”和“基本了解”程度的总人数为
300
人；
（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3 个女生A、B、C 和2 个男生M、N 中分别随机抽取
1 人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A 的概率．
【分析】（1）由了解很少的有30 人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图
中“了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A 的情况，再
利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵了解很少的有30 人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）＝5，
∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：
×360°＝30°；
故答案为：60，30；
（2）根据题意得：900×
＝300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300 人，
故答案为：300；
（3）画树状图如下：
所有等可能的情况有6 种，其中抽到女生A 的情况有2 种，
所以P（抽到女生A）＝
＝
．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图，已知反比例函数y＝
的图象与一次函数y＝x+b 的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n 和b 的值；
（2）求△OAB 的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．
【分析】（1）把点A 坐标分别代入反比例函数y＝
，一次函数y＝x+b，求出k、b 的值，再把点B 的
坐标代入反比例函数解析式求出n 的值，即可得出答案；
（2）求出直线AB 与y 轴的交点C 的坐标，分别求出△ACO 和△BOC 的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B 的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把A 点（1，4）分别代入反比例函数y＝
，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝
的图象上，
∴n＝
＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3 与y 轴的交点为C，
∵当x＝0 时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝
×3×1+
×3×4＝7.5；
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1 或﹣4＜x＜0 时，一次函数值大于反比例函数值．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的
面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思
想．
20．如图，△ABC 内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D 为
上的动点，且cos∠ABC＝
．
（1）求AB 的长度；
（2）在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 延长线于点E，问AD•AE 的值是否变化？若不变，
请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，过A 点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．
【分析】（1）作AM 垂直于BC，由AB＝AC，利用三线合一得到CM 等于BC 的一半，求出CM 的长，
再由cosB 的值，利用锐角三角函数定义求出AB 的长即可；
（2）连接DC，由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等，根据一
对公共角，得到三角形EAC 与三角形CAD 相似，由相似得比例求出所求即可；
（3）在BD 上取一点N，使得BN＝CD，利用SAS 得到三角形ACD 与三角形ABN 全等，由全等三角
形对应边相等及等量代换即可得证．
【解答】解：（1）作AM⊥BC，
∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，
∴CM＝
BC＝1，
∵cosB＝
＝
，
在Rt△AMB 中，BM＝1，
∴AB＝
＝
；
（2）连接DC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵四边形ABCD 内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠ADC＝∠ACE，
∵∠CAE 公共角，
∴△EAC∽△CAD，
∴
＝
，
∴AD•AE＝AC2＝10；
（3）在BD 上取一点N，使得BN＝CD，
在△ABN 和△ACD 中
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴AN＝AD，
∵AN＝AD，AH⊥BD，
∴NH＝HD，
∵BN＝CD，NH＝HD，
∴BN+NH＝CD+HD＝BH．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判
定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
四．填空题（共5 小题，满分20 分，每小题4 分）
21．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0 的两根分别为m，n，则
的值为 ﹣
．
【分析】由根与系数的关系可求得m+n 和mn 的值，代入求值即可．
【解答】解：
∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0 的两根分别为m，n，
∴m+n＝4，mn＝﹣3，
∴
+
＝
＝﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于﹣
、两根之积等于
是解题的关键．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝4，以CD 为直径作⊙O．将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩
形A'B'CD'的边A'B'与⊙O 相切，切点为E，边CD'与⊙O 相交于点F，则CF 的长为
4
．
【分析】连接OE，延长EO 交CD 于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、
AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H 和四边形EB′CG 都是矩形且OE＝OD＝
OC＝3，继而求得CG＝B′E＝OH＝
＝2
，根据垂径定理可得CF 的长．
【解答】解：连接OE，延长EO 交CD 于点G，作OH⊥B′C 于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD 绕点C 旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，
∴四边形OEB′H 和四边形EB′CG 都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，
∴B′H＝OE＝3，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1，
∴CG＝B′E＝OH＝
＝2
，
∵四边形EB′CG 是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝4
，
故答案为：4
．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、
切线的性质、垂径定理等知识点．
23．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、
BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD 与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：
①△A1AD1≌△CC1B； ②当x＝1 时，四边形ABC1D1是菱形； ③当x＝2 时，△BDD1为等边三角
形；④s＝
（x﹣2）2（0＜x＜2）；其中正确的是
①②③
．（把你认为正确结论的序号都填
上）
【分析】①根据矩形的性质，得∠DAC＝∠ACB，再由平移的性质，可得出∠D1A1A＝∠ACB，A1D1
＝CB，从而证出结论；
②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC 中点时四边形ABC1D1是菱形．
③当x＝2 时，点C1与点A 重合，可求得BD＝DD1＝BD1＝2，从而可判断△BDD1为等边三角形．
④易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s 与x 的函数关系式．
【解答】解：①∵四边形ABCD 为矩形，
∴BC＝AD，BC∥AD
∴∠DAC＝∠ACB
∵把△ACD 沿CA 方向平移得到△A1C1D1，
∴∠D1A1A＝∠DAC，A1D1＝AD，AA1＝CC1，
在△A1AD1与△CC1B 中，
，
∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），
故①正确；
②∵∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AB＝1，
∴AC＝2，
∵x＝1，
∴AC1＝1，
∴△AC1B 是等边三角形，
∴AB＝D1C1，
又AB∥BC1，
∴四边形ABC1D1是菱形，
故②正确；
③如图所示：
则可得BD＝DD1＝BD1＝2，
∴△BDD1为等边三角形，故③正确．
④易得△AC1F∽△ACD，
∴
＝（
）2，
解得：S△AC1F＝
（x﹣2）2 （0＜x＜2）；故④错误；
综上可得正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的
知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．
24．如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝
交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x1﹣x2）（y1﹣y2）
＝
20
．
【分析】正比例函数的图象与反比例函数y＝
的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1
＝﹣y2，替换后计算即可求解．
【解答】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y＝
交于A（x1，y1），B（x2，y2），关于原点对称，依
此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）
＝（﹣x2﹣x2）（﹣y2﹣y2）
＝4x2y2
＝4×5
＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标
关于原点对称．
25．如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A、B、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG，
PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则
＝
．
【分析】延长GP 交CD 于M，如图，根据菱形的性质得GF∥CD，∠BCD＝120°，CD＝CB，GB＝
GF，则利用平行线的性质得∠PDM＝∠PFG，于是可判断△PDM≌△PFG，所以MD＝GF，PM＝
PG，接着证明CM＝CG，则根据等腰三角形的性质有CP⊥MG，CP 平分∠MCG，所以∠PGC＝
30°，然后根据含30 度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：延长GP 交CD 于M，如图，
∵四边形ABCD 和BEFG 为菱形，点A、B、E 在同一直线上，
∴GF∥CD，∠BCD＝120°，CD＝CB，GB＝GF，
∴∠PDM＝∠PFG，
在△PDM 和△PFG 中，
，
∴△PDM≌△PFG，
∴MD＝GF，PM＝PG，
∴MD＝GB，
∴CM＝CG，
∵PM＝PG，
∴CP⊥MG，CP 平分∠MCG，
∴∠PCG＝60°，
∴∠PGC＝30°，
∴
＝
．
故答案为
．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质和等
腰三角形的性质．
五．解答题（共3 小题，满分30 分）
26．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如
果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t
﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15m？
【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；
（2）画图象可得t 的取值．
【解答】解：（1）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2 时，h 取得最大值20 米；
答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；
（2）由题意得：15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，
则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求
不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E，F 分别在边AB，AD 上，且∠ECF＝45°，CF 的延长线交BA
的延长线于点G，CE 的延长线交DA 的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH 什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH 的面积S 有变化吗？如果变化．请求出S 与m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH 是等腰三角形的m 值．
【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；
（2）结论：AC2＝AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG 即可解决问题；
（3）①△AGH 的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；
②分三种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝
＝4
，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
故答案为＝．
（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
＝
，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①△AGH 的面积不变．
理由：∵S△AGH＝
•AH•AG＝
AC2＝
×（4
）2＝16．
∴△AGH 的面积为16．
②如图1 中，当GC＝GH 时，易证△AHG≌△BGC，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴
＝
＝
，
∴AE＝
AB＝
．
如图2 中，当CH＝HG 时，
易证AH＝BC＝4，
∵BC∥AH，
∴
＝
＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3 中，当CG＝CH 时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．
在BC 上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝
x，
∴x+
x＝4，
∴m＝4（
﹣1），
∴AE＝4﹣4（
﹣1）＝8﹣4
，
综上所述，满足条件的m 的值为
或2 或8﹣4
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶
点为D．
（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM 周
长的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）过点P 作PE∥y 轴交x 轴于点E，交直线AC 于点F，过点C 作CQ∥y 轴交x 轴于点Q，设点P
的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）
（﹣2＜x＜1），则点E 的坐标为（x，0），点F 的坐标为（x，﹣x+1），进而可
得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可
得出S△APC＝﹣
x2﹣
x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由
点C，N 的坐标可得出点C，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点
M，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利
用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：
，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC 的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：
，
∴直线AC 的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P 作PE∥y 轴交x 轴于点E，交直线AC 于点F，过点C 作CQ∥y 轴交x 轴于点Q，如图1
所示．
设点P 的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）
（﹣2＜x＜1），则点E 的坐标为（x，0），点F 的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C 的坐标为（﹣2，3），
∴点Q 的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝
AQ•PF＝﹣
x2﹣
x+3＝﹣
（x+
）2+
．
∵﹣
＜0，
∴当x＝﹣
时，△APC 的面积取最大值，最大值为
，此时点P 的坐标为（﹣
，
）．
（3）当x＝0 时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N 的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C 的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N 关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2 所示．
∵点C，N 关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM 周长取最小值．
当x＝﹣1 时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．
∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），
∴AC＝
＝3
，AN＝
＝
，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3
+
．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为3
+
．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象
上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题
的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角
形的面积公式找出S△APC＝﹣
x2﹣
x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最
短找出点M 的位置．
