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2019 年福建省中考数学试卷
一、选择题（每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）计算22+（﹣1）0的结果是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
2．（4 分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000 用科学记数法表示为（ ）
A．72×104
B．7.2×105
C．7.2×106
D．0.72×106
3．（4 分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．平行四边形
D．正方形
4．（4 分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
6．（4 分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5 次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线
统计图，则下列判断错误的是（ ）
A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
7．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3
B．（2a）3＝6a3
C．a6÷a3＝a2
D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
8．
（4 分）
《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若
每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是
前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685 个字，设他第一天读
x 个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685
B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685
D．x+
x+
x＝34685
9．（4 分）如图，PA、PB 是⊙O 切线，A、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等
于（ ）
A．55°
B．70°
C．110°
D．125°
10．（4 分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c 的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（
，
y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
二、填空题（每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）因式分解：x2﹣9＝ ．
12．（4 分）如图，数轴上A、B 两点所表示的数分别是﹣4 和2，点C 是线段AB 的中点，则点C
所表示的数是 ．
13．（4 分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机
调查了该校100 名学生，其中60 名同学喜欢甲图案，若该校共有2000 人，根据所学的统
计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人．
14．（4 分）在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其
第四个顶点是 ．
15．（4 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 中心与半径为2 的⊙O 的圆心重合，E、F 分别是
AD、BA 的延长与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
16．
（4 分）如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的
图象关于直线AC 对称，且经过点B、D 两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝ ．
三、解答题（共86 分）
17．（8 分）解方程组
．
18．（8 分）如图，点E、F 分别是矩形ABCD 的边AB、CD 上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝
CE．
19．（8 分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣
），其中x＝
+1．
20．（8 分）已知△ABC 和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC 面积
的4 倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F 分别是△ABC 三边AB、BC、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三
边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．
21．（8 分）在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角
度α 得到△DEC，点A、B 的对应点分别是D、E．
（1）当点E 恰好在AC 上时，如图1，求∠ADE 的大小；
（2）若α＝60°时，点F 是边AC 中点，如图2，求证：四边形BEDF 是平行四边形．
22．
（10 分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处
理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的
扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交
给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30 元，并且每处理一吨废水还
需其他费用8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12 元．根据记录，5 月21 日，
该厂产生工业废水35 吨，共花费废水处理费370 元．
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理
的平均费用不超过10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
23．（10 分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购
买若干次维修服务，每次维修服务费为2000 元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超
过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500 元；如果
维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000
元，但无需支付工时费．某公司计划购买1 台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次
性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内的维修次数，整
理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频率（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100 台机器为样本，估计“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100 机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1 台该机器的同时应一次
性额外购10 次还是11 次维修服务？
24．（12 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F 在BD 的延长
线上，且DF＝DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4
，求tan∠BAD 的值．
25．（14 分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x 轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为（2，0），求a、c 满足的关系式；
（2）设A 为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k 与抛物线交于点B、C，直线BD 垂直于
直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0 时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ABC 为
等腰直角三角形．
①求点A 的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C 三点共线．
2019 年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）计算22+（﹣1）0的结果是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．
【解答】解：原式＝4+1＝5
故选：A．
【点评】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握零指数幂的运算法则，难度一般．
2．（4 分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000 用科学记数法表示为（ ）
A．72×104
B．7.2×105
C．7.2×106
D．0.72×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据
此判断即可．
【解答】解：将720000 用科学记数法表示为7.2×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（4 分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．平行四边形
D．正方形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合
4．（4 分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．
【解答】解：几何体的主视图为：
故选：C．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．
5．（4 分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
6．（4 分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5 次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线
统计图，则下列判断错误的是（ ）
A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用
线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性
也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好
【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确
D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D 错误．
故选：D．
【点评】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解
决问题．
7．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3
B．（2a）3＝6a3
C．a6÷a3＝a2
D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a4，不符合题意；
B、原式＝8a3，不符合题意；
C、原式＝a3，不符合题意；
D、原式＝0，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．
（4 分）
《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若
每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是
前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685 个字，设他第一天读
x 个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685
B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685
D．x+
x+
x＝34685
【分析】设他第一天读x 个字，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设他第一天读x 个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，
故选：A．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未
知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．（4 分）如图，PA、PB 是⊙O 切线，A、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等
于（ ）
A．55°
B．70°
C．110°
D．125°
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝
110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出
∠AOB 的度数．
10．（4 分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c 的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（
，
y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝
，再由B（0，y1）、
D（
，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；
【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝
，
∵B（0，y1）、D（
，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B 最远，D 最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
二、填空题（每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）因式分解：x2﹣9＝ （
x +3
）（
x ﹣
3 ）
．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（4 分）如图，数轴上A、B 两点所表示的数分别是﹣4 和2，点C 是线段AB 的中点，则点C
所表示的数是 ﹣
1
．
【分析】根据A、B 两点所表示的数分别为﹣4 和2，利用中点公式求出线段AB 的中点所表
示的数即可．
【解答】解：∵数轴上A，B 两点所表示的数分别是﹣4 和2，
∴线段AB 的中点所表示的数＝
（﹣4+2）＝﹣1．
即点C 所表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
13．（4 分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机
调查了该校100 名学生，其中60 名同学喜欢甲图案，若该校共有2000 人，根据所学的统
计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有
1200
人．
【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．
【解答】解：由题意得：2000×
＝1200 人，
故答案为：1200．
【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，
难度不大．
14．（4 分）在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其
第四个顶点是 （
1 ，
2 ）
．
【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结
果．
【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝3，
∵B（4，2），
∴点C 的坐标为（4﹣3，2），
即C（1，2）；
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是
解题的关键．
15．（4 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 中心与半径为2 的⊙O 的圆心重合，E、F 分别是
AD、BA 的延长与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积是
π ﹣
1
．（结果保留π）
【分析】延长DC，CB 交⊙O 于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长DC，CB 交⊙O 于M，N，
则图中阴影部分的面积＝
×（S 圆O﹣S 正方形ABCD）＝
×（4π﹣4）＝π﹣1，
故答案为：π﹣1．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16．
（4 分）如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的
图象关于直线AC 对称，且经过点B、D 两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝
6+2
．
【分析】连接OC，AC 过A 作AE⊥x 轴于点E，延长DA 与x 轴交于点F，过点D 作DG⊥x
轴于点G，得O、A、C 在第一象限的角平分线上，求得A 点坐标，进而求得D 点坐标，便可
求得结果．
【解答】解：连接OC，AC 过A 作AE⊥x 轴于点E，延长DA 与x 轴交于点F，过点D 作
DG⊥x 轴于点G，
∵函数y＝
（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC 对称，
∴O、A、C 三点在同直线上，且∠COE＝45°，
∴OE＝AE，
不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），
∵点A 在在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，
∴a2＝3，
∴a＝
，
∴AE＝OE＝
，
∵∠BAD＝30°，
∴∠OAF＝∠CAD＝
∠BAD＝15°，
∵∠OAE＝∠AOE＝45°，
∴∠EAF＝30°，
∴AF＝
，EF＝AEtan30°＝1，
∵AB＝AD＝2，AE∥DG，
∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2
，
∴OG＝OE+EG＝
+1，
∴D（
+1，2
），
故答案为：6+2
．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比
例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A 点第一象限的角平分线上．
三、解答题（共86 分）
17．（8 分）解方程组
．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：
，
①+②得：3x＝9，即x＝3，
把x＝3 代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
18．（8 分）如图，点E、F 分别是矩形ABCD 的边AB、CD 上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝
CE．
【分析】由SAS 证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF 和△BCE 中，
，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三
角形全等是解题的关键．
19．（8 分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣
），其中x＝
+1．
【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（x﹣1）÷
＝（x﹣1）•
＝
，
当x＝
+1，
原式＝
＝1+
．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20．（8 分）已知△ABC 和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC 面积
的4 倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F 分别是△ABC 三边AB、BC、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三
边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．
【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC 得△A'B'C'即可所求．
（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D'E'F'∽△A'B'C'，故△DEF∽△D'E'F'
【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．
证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴
（2）证明：
∵D、E、F 分别是△ABC 三边AB、BC、AC 的中点，
∴DE＝
，
，
，
∴△DEF∽△ABC
同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是
掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法．
21．（8 分）在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角
度α 得到△DEC，点A、B 的对应点分别是D、E．
（1）当点E 恰好在AC 上时，如图1，求∠ADE 的大小；
（2）若α＝60°时，点F 是边AC 中点，如图2，求证：四边形BEDF 是平行四边形．
【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC
＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出
∠ADE 的度数；
（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝
AC，利用含30 度的直角三角
形三边的关系得到AB＝
AC，则BF＝AB，再根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD＝
60°，CB＝CE，DE＝AB，从而得到DE＝BF，△ACD 和△BCE 为等边三角形，接着证明
△CFD≌△ABC 得到DF＝BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【解答】（1）解：如图1，∵△ABC 绕点A 顺时针旋转α 得到△DEC，点E 恰好在AC 上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝
（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F 是边AC 中点，
∴BF＝
AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝
AC，
∴BF＝AB，
∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60 得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，
∴DE＝BF，△ACD 和△BCE 为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F 为△ACD 的边AC 的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△CFD≌△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
22．
（10 分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处
理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的
扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交
给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30 元，并且每处理一吨废水还
需其他费用8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12 元．根据记录，5 月21 日，
该厂产生工业废水35 吨，共花费废水处理费370 元．
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理
的平均费用不超过10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
【分析】（1）求出该车间处理35 吨废水所需费用，将其与350 比较后可得出m＜35，根据
废水处理费用＝该车间处理m 吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得
出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设一天产生工业废水x 吨，分0＜x≤20 及x＞20 两种情况考虑，利用每天废水处理的
平均费用不超过10 元/吨，可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，
∴m＜35．
依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，
解得：m＝20．
答：该车间的日废水处理量为20 吨．
（2）设一天产生工业废水x 吨，
当0＜x≤20 时，8x+30≤10x，
解得：15≤x≤20；
当x＞20 时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，
解得：20＜x≤25．
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式．
23．（10 分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购
买若干次维修服务，每次维修服务费为2000 元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超
过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500 元；如果
维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000
元，但无需支付工时费．某公司计划购买1 台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次
性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内的维修次数，整
理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频率（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100 台机器为样本，估计“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100 机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1 台该机器的同时应一次
性额外购10 次还是11 次维修服务？
【分析】（1）利用概率公式计算即可．
（2）分别求出购买10 次，11 次的费用即可判断．
【解答】解：（1）“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝
＝0.6．
（2）购买10 次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
24000
24500
25000
30000
35000
此时这100 台机器维修费用的平均数
y1＝
（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300
购买11 次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
26000
26500
27000
27500
32500
此时这100 台机器维修费用的平均数
y2＝
（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，
∵27300＜27500，
所以，选择购买10 次维修服务．
【点评】本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解题意，
熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（12 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F 在BD 的延长
线上，且DF＝DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4
，求tan∠BAD 的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到
＝
，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝
（180°﹣
∠BAC）＝90°﹣
∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到
∠BAC＝∠CAD，即可证得
结论；
（2）易证得BC＝CF＝4
，即可证得AC 垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理
求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得
DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD 的值．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴
＝
，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝
（180°﹣∠BAC）＝90°﹣
∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
∴
∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BDC＝2∠DFC，
∴∠BFC＝
∠BDC＝
∠BAC＝∠FBC，
∴CB＝CF，
又BD⊥AC，
∴AC 是线段BF 的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．
又BC＝4
，
设AE＝x，CE＝10﹣x，
由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，
解得x＝6，
∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，
∴DE＝
＝
＝3，
∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，
作DH⊥AB，垂足为H，
∵
AB•DH＝
BD•AE，
∴DH＝
＝
＝
，
∴BH＝
＝
，
∴AH＝AB﹣BH＝10﹣
＝
，
∴tan∠BAD＝
＝
＝
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦
的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运
用性质定理，属于中考压轴题．
25．（14 分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x 轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为（2，0），求a、c 满足的关系式；
（2）设A 为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k 与抛物线交于点B、C，直线BD 垂直于
直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0 时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ABC 为
等腰直角三角形．
①求点A 的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C 三点共线．
【分析】（1）抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；
（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1 过定点（1，1），且当k＝0 时，直线l 变为y＝1 平行x 轴，
与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD 表达式中的k 值、直线AC 表达式中的k
值，两个k 值相等即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣
4ax+4a，
则c＝4a；
（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1 过定点（1，1），
且当k＝0 时，直线l 变为y＝1 平行x 轴，与轴的交点为（0，1），
又△ABC 为等腰直角三角形，
∴点A 为抛物线的顶点；
①c＝1，顶点A（1，0），
抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，
②
，
x2﹣（2+k）x+k＝0，
x＝
（2+k±
），
xD＝xB＝
（2+k﹣
），yD＝﹣1；
则D
，
yC＝
（2+k2+k
，
C
，A（1，0），
∴直线AD 表达式中的k 值为：kAD＝
＝
，
直线AC 表达式中的k 值为：kAC＝
，
∴kAD＝kAC，点A、C、D 三点共线．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题
关键是复杂数据的计算问题，难度不大．
