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2019 年广东省中考数学试卷
一、选择题（本大题10 小题,每小题3 分,共30 分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3 分）﹣2 的绝对值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．±2
2．（3 分）某网店2019 年母亲节这天的营业额为221000 元，将数221000 用科学记数法表示
为（ ）
A．2.21×106
B．2.21×105
C．221×103
D．0.221×106
3．（3 分）如图，由4 个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．b6+b3＝b2
B．b3•b3＝b9
C．a2+a2＝2a2
D．（a3）3＝a6
5．（3 分）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）数据3，3，5，8，11 的中位数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．（3 分）实数a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．a＞b
B．|a|＜|b|
C．a+b＞0
D．
＜0
8．（3 分）化简
的结果是（ ）
A．﹣4
B．4
C．±4
D．2
9．（3 分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0 的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2
B．x1
2﹣2x1＝0
C．x1+x2＝2
D．x1•x2＝2
10．（3 分）如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使EB＝2，以EB 为边在上方作正方
形EFGB，延长FG 交DC 于M，连接AM，AF，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB，AM 交
于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；
④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二.填空题（本大题6 小题，每小题4 分，共24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相
应的位置上.
11．（4 分）计算：20190+（
）﹣1＝ ．
12．（4 分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ ．
13．（4 分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
14．（4 分）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9 的值是 ．
15．（4 分）如图，某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD＝15
米，在实验楼顶部B 点
测得教学楼顶部A 点的仰角是30°，底部C 点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是
米（结果保留根号）．
16．（4 分）如图1 所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按
图2 所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9 个这样的图形（图
1）拼出来的图形的总长度是 （结果用含a，b 代数式表示）．
三.解答题（一）（本大题3 小题，每小题6 分，共18 分）
17．（6 分）解不等式组：
18．（6 分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x＝
．
19．（6 分）如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE 交AC 于E；（不要求
写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若
＝2，求
的值．
四、解答题(二)(本大题3 小题,每小题7 分,共21 分)
20．（7 分）为了解某校九年级全体男生1000 米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，
并将测试成绩分为A、B、C、D 四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据
图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
（1）x＝ ，y＝ ，扇形图中表示C 的圆心角的度数为 度；
（2）甲、乙、丙是A 等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育
锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
21．（7 分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60 个，已知每个篮球的
价格为70 元，每个足球的价格为80 元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600 元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
22．（7 分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，
△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的
与BC 相切于点D，分别交AB、AC 于
点E、F．
（1）求△ABC 三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF 及
所围成的阴影部分的面积．
五、解答题(三)(本大题3 小题,每小题9 分,共27 分)
23．（9 分）如图，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y＝
的图象相交于A、B 两点，其
中点A 的坐标为（﹣1，4），点B 的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞
的x 的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P 在线段AB 上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P 的坐标．
24．（9 分）如图1，在△ABC 中，AB＝AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点C 作∠BCD＝∠ACB
交⊙O 于点D，连接AD 交BC 于点E，延长DC 至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF 是⊙O 的切线；
（3）如图2，若点G 是△ACD 的内心，BC•BE＝25，求BG 的长．
25．（9 分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝
x2+
x﹣
与x 轴交于点A、B
（点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F，
△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE，点A 恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D 的坐标；
（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D 作DD1⊥x 轴于点D1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM⊥x 轴，
点M 为垂足，使得△PAM 与△DD1A 相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；
②直接回答这样的点P 共有几个？
2019 年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10 小题,每小题3 分,共30 分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3 分）﹣2 的绝对值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．±2
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
【解答】解：|﹣2|＝2，故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是明确负数的绝对值是它的相反数．
2．（3 分）某网店2019 年母亲节这天的营业额为221000 元，将数221000 用科学记数法表示
为（ ）
A．2.21×106
B．2.21×105
C．221×103
D．0.221×106
【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将221000 用科学记数法表示为：2.21×105．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（3 分）如图，由4 个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．
故选：A．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
4．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．b6+b3＝b2
B．b3•b3＝b9
C．a2+a2＝2a2
D．（a3）3＝a6
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别
化简得出答案．
【解答】解：A、b6+b3，无法计算，故此选项错误；
B、b3•b3＝b6，故此选项错误；
C、a2+a2＝2a2，正确；
D、（a3）3＝a9，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握
相关运算法则是解题关键．
5．（3 分）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合
6．（3 分）数据3，3，5，8，11 的中位数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，5，8，11，
故这组数据的中位数是，5．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的概念：把一组数据按从小到大的顺序排列，最中间那个数或
中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
7．（3 分）实数a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．a＞b
B．|a|＜|b|
C．a+b＞0
D．
＜0
【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．
【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A 错误；
|a|＞|b|，故B 错误；
a+b＜0，故C 错误；
＜0，故D 正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b 的取值范围．利用
数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，
在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．（3 分）化简
的结果是（ ）
A．﹣4
B．4
C．±4
D．2
【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16 的算术平方根是多少即可．
【解答】解：
＝
＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．求一个非负数的算术平方根
与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻
找．
9．（3 分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0 的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2
B．x1
2﹣2x1＝0
C．x1+x2＝2
D．x1•x2＝2
【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A 不符合题意；将x1代入一元二次方
程x2﹣2x＝0 中可得出x1
2﹣2x1＝0，选项B 不符合题意；利用根与系数的关系，可得出
x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C 不符合题意，选项D 符合题意．
【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A 不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0 的实数根，
∴x1
2﹣2x1＝0，选项B 不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0 的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C 不符合题意，选项D 符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的
关键．
10．（3 分）如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使EB＝2，以EB 为边在上方作正方
形EFGB，延长FG 交DC 于M，连接AM，AF，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB，AM 交
于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；
④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求
得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），
故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到
∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据全等三角形的性质得到AN＝
AG＝1，根据相似三角形
的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形
的性质得到FN＝2NK；故③正确；根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积
公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形EFGB 是正方形，EB＝2，
∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD 是正方形，H 为AD 的中点，
∴AD＝4，AH＝2，
∠BAD＝90°，
∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，
∵∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN＝∠HFG，
∵AG＝FG＝2＝AH，
∴AF＝
FG＝
AH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵△ANH≌△GNF，
∴AN＝
AG＝1，
∵GM＝BC＝4，
∴
＝
＝2，
∵∠HAN＝∠AGM＝90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN＝∠AMG，
∵AD∥GM，
∴∠HAK＝∠AMG，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴AK＝HK，
∴AK＝HK＝NK，
∵FN＝HN，
∴FN＝2NK；故③正确；
∵延长FG 交DC 于M，
∴四边形ADMG 是矩形，
∴DM＝AG＝2，
∵S△AFN＝
AN•FG＝
2×1＝1，S△ADM＝
AD•DM＝
×4×2＝4，
∴S△AFN：S△ADM＝1：4 故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，
矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二.填空题（本大题6 小题，每小题4 分，共24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相
应的位置上.
11．（4 分）计算：20190+（
）﹣1＝
4
．
【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．
【解答】解：原式＝1+3＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握负整数指数幂及零指数幂的运算法
则，难度一般．
12．（4 分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝
105°
．
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
【解答】解：∵直线L 直线a，b 相交，且a∥b，∠1＝75°，
∴∠3＝∠1＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°
【点评】此题考查平行线的性质，解题关键为：两直线平行，同旁内角互补，对顶角相等．
13．（4 分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是
8
．
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方
程即可．
【解答】解：设多边形边数有x 条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180
（n≥3）．
14．（4 分）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9 的值是
21
．
【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案．
【解答】解：∵x＝2y+3，
∴x﹣2y＝3，
则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9
＝4×3+9
＝21．
故答案为：21．
【点评】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
15．（4 分）如图，某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD＝15
米，在实验楼顶部B 点
测得教学楼顶部A 点的仰角是30°，底部C 点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是
（
15+15
） 米（结果保留根号）．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、
△ABE，进而可解即可求出答案．
【解答】解：过点B 作BE⊥AB 于点E，
在Rt△BEC 中，∠CBE＝45°，BE＝15
；可得CE＝BE×tan45°＝15
米．
在Rt△ABE 中，∠ABE＝30°，BE＝15
，可得AE＝BE×tan30°＝15 米．
故教学楼AC 的高度是AC＝15
米．
答：教学楼AC 的高度是（15
）米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图
形利用三角函数解直角三角形．
16．（4 分）如图1 所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按
图2 所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9 个这样的图形（图
1）拼出来的图形的总长度是
a +8
b
（结果用含a，b 代数式表示）．
【分析】用9 个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长
度．
【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度＝9a﹣8（a﹣b）＝a+8b．
故答案为：a+8b．
【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称
的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
三.解答题（一）（本大题3 小题，每小题6 分，共18 分）
17．（6 分）解不等式组：
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的
解集．
【解答】解：
解不等式组①，得x＞3
解不等式组②，得x＞1
则不等式组的解集为x＞3
【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不
等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
18．（6 分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x＝
．
【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
当x＝
时，
原式＝
＝
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19．（6 分）如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE 交AC 于E；（不要求
写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若
＝2，求
的值．
【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；
（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理
求解．
【解答】解：（1）如图，∠ADE 为所作；
（2）∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC，
∴
＝
＝2．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．
四、解答题(二)(本大题3 小题,每小题7 分,共21 分)
20．（7 分）为了解某校九年级全体男生1000 米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，
并将测试成绩分为A、B、C、D 四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据
图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
（1）x＝
4
，y＝
40
，扇形图中表示C 的圆心角的度数为
36
度；
（2）甲、乙、丙是A 等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育
锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
【分析】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C 等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝
4（名），即x＝4；扇形图中表示C 的圆心角的度数360°×
＝36°；
（2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）＝
＝
．
【解答】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；
C 等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；
扇形图中表示C 的圆心角的度数360°×
＝36°．
故答案为4，40，36；
（2）画树状图如下：
P（同时抽到甲，乙两名学生）＝
＝
．
【点评】本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．
21．（7 分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60 个，已知每个篮球的
价格为70 元，每个足球的价格为80 元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600 元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【分析】（1）设购买篮球x 个，购买足球y 个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足
球共60 个\购买这两类球的总金额为4600 元，列出方程组，求解即可；
（2）设购买了a 个篮球，则购买（60﹣a）个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球
的总金额，列不等式求出x 的最大整数解即可．
【解答】解：（1）设购买篮球x 个，购买足球y 个，
依题意得：
．
解得
．
答：购买篮球20 个，购买足球40 个；
（2）设购买了a 个篮球，
依题意得：70a≤80（60﹣a）
解得a≤32．
答：最多可购买32 个篮球．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，根据各数量间的关
系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
22．（7 分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，
△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的
与BC 相切于点D，分别交AB、AC 于
点E、F．
（1）求△ABC 三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF 及
所围成的阴影部分的面积．
【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S 阴＝S△ABC﹣
S 扇形AEF即可求得．
【解答】解：（1）AB＝
＝2
，
AC＝
＝2
，
BC＝
＝4
；
（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
连接AD，AD＝
＝2
，
∴S 阴＝S△ABC﹣S 扇形AEF＝
AB•AC﹣
π•AD2＝20﹣5π．
【点评】本题考查了勾股定理和扇形面积的计算，证得△ABC 是等腰直角三角形是解题的
关键．
五、解答题(三)(本大题3 小题,每小题9 分,共27 分)
23．（9 分）如图，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y＝
的图象相交于A、B 两点，其
中点A 的坐标为（﹣1，4），点B 的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞
的x 的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P 在线段AB 上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P 的坐标．
【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x 的取值范围；
（2）将点A，点B 坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b 的值，从而求得解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
【解答】解：（1）∵点A 的坐标为（﹣1，4），点B 的坐标为（4，n）．
由图象可得：kx+b＞
的x 的取值范围是x＜﹣1 或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y＝
的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n
∴n＝﹣1
∴B（4，﹣1）
∵一次函数y＝kx+b 的图象过点A，点B
∴
，
解得：k＝﹣1，b＝3
∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣
；
（3）设直线AB 与y 轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC＝
×3×1＝
，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝
×3×1+
×4＝
，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP＝
×
＝
，
∴S△COP＝
﹣
＝1，
∴
×3•xP＝1，
∴xP＝
，
∵点P 在线段AB 上，
∴y＝﹣
+3＝
，
∴P（
，
）．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的
坐标满足图象的解析式是本题的关键．
24．（9 分）如图1，在△ABC 中，AB＝AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点C 作∠BCD＝∠ACB
交⊙O 于点D，连接AD 交BC 于点E，延长DC 至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF 是⊙O 的切线；
（3）如图2，若点G 是△ACD 的内心，BC•BE＝25，求BG 的长．
【分析】（1）由AB＝AC 知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC 得
∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA 知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝
∠BCD 得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得
证；
（3）证△ABE∽△CBA 得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝
∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G 为内心知∠DAG＝∠GAC，结合
∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB 得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴
＝
，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF 为⊙O 的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴
＝
，
∴AB2＝BC•BE，
∴BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G 为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三
角形的判定与性质等知识点．
25．（9 分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝
x2+
x﹣
与x 轴交于点A、B
（点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F，
△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE，点A 恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D 的坐标；
（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D 作DD1⊥x 轴于点D1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM⊥x 轴，
点M 为垂足，使得△PAM 与△DD1A 相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；
②直接回答这样的点P 共有几个？
【分析】（1）利用抛物线解析式求得点A、B、D 的坐标；
（2）欲证明四边形BFCE 是平行四边形，只需推知EC∥BF 且EC＝BF 即可；
（3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点P 的横坐标，没有指明相似三角形的对应
边（角），需要分类讨论；
②根据①的结果即可得到结论．
【解答】解：（1）令
x2+
x﹣
＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣7．
∴A（1，0），B（﹣7，0）．
由y＝
x2+
x﹣
＝
（x+3）2﹣2
得，D（﹣3，﹣2
）；
（2）证明：∵DD1⊥x 轴于点D1，
∴∠COF＝∠DD1F＝90°，
∵∠D1FD＝∠CFO，
∴△DD1F∽△COF，
∴
＝
，
∵D（﹣3，﹣2
），
∴D1D＝2
，OD＝3，
∴D1F＝2，
∴
＝
，
∴OC＝
，
∴CA＝CF＝FA＝2，
∴△ACF 是等边三角形，
∴∠AFC＝∠ACF，
∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE，
∴∠ECF＝∠AFC＝60°，
∴EC∥BF，
∵EC＝DC＝
＝6，
∵BF＝6，
∴EC＝BF，
∴四边形BFCE 是平行四边形；
（3）∵点P 是抛物线上一动点，
∴设P 点（x，
x2+
x﹣
），
①当点P 在B 点的左侧时，
∵△PAM 与△DD1A 相似，
∴
或
＝
，
∴
＝
或
＝
，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11 或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣
；
当点P 在A 点的右侧时，
∵△PAM 与△DD1A 相似，
∴
＝
或
＝
，
∴
＝
或
＝
，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣
（不合题意舍去）；
当点P 在AB 之间时，
∵△PAM 与△DD1A 相似，
∴
＝
或
＝
，
∴
＝
或
＝
，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣
；
综上所述，点P 的横坐标为﹣11 或﹣
或﹣
；
②由①得，这样的点P 共有3 个．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性
质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
