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2021 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体
氧气
氢气
氮气
氦气
液化温度℃
﹣183
﹣253
﹣195.8
﹣268
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气
B．氮气
C．氢气
D．氧气
2．如图，在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE 经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC
的度数是（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
3．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4
B．
•
＝1
C．﹣18+12÷（﹣
）＝4
D．
﹣a﹣1＝
5．已知关于x 的不等式组
无实数解，则a 的取值范围是（ ）
A．a≥﹣
B．a≥﹣2
C．a＞﹣
D．a＞﹣2
6．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇
形统计图，由图中的信息，得出以下3 个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．
②若已知该校来自牧区的初一学生为140 人，则初一学生总人数为1080 人．
③若从该校初一学生中抽取120 人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、
牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70 人，样本更具有代表性．
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB 为一边在第一象限作正方形
ABCD，则对角线BD 所在直线的解析式为（ ）
A．y＝﹣
x+4
B．y＝﹣
x+4
C．y＝﹣
x+4
D．y＝4
8．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外
接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周
长近似代替其外接圆周长，便可估计π 的值，下面d 及π 的值都正确的是（ ）
A．d＝
，π≈8sin22.5°
B．d＝
，π≈4sin22.5°
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2
C．d＝
，π≈8sin22.5°
D．d＝
，π≈4sin22.5°
9．以下四个命题：
①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；
②A，B，C，D，E，F 六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E 分别赛了5，
4，3，2，1 场，则由此可知，还没有与B 队比赛的球队可能是D 队；
③两个正六边形一定位似；
④有13 人参加捐款，其中小王的捐款数比13 人捐款的平均数多2 元，则小王的捐款数
不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．
其中真命题的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10．已知二次项系数等于1 的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点（m，0），（n，
0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a 是实数），若0＜m＜n＜2，则ab 的取值
范围是（ ）
A．0＜ab＜
B．0＜ab＜
C．0＜ab＜
D．0＜ab＜
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分．本题要求把正确结果填在答题卡规
定的横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：x3y﹣4xy＝ ．
12．正比例函数y＝k1x 与反比例函数y＝
的图象交于A，B 两点，若A 点坐标为（
，
﹣2
），则k1+k2＝ ．
13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 ．
（用含π 的代数式表示），圆心角为 度．
14．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20 岁的概率为0.8，活到25 岁的概率为
0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a 只，则20 年后存活的有 只，现年20
岁的这种动物活到25 岁的概率是 ．
15．已知菱形ABCD 的面积为2
，点E 是一边BC 上的中点，点P 是对角线BD 上的动
点．连接AE，若AE 平分∠BAC，则线段PE 与PC 的和的最小值为 ，
最大值为 ．
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3
16．若把第n 个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数
列A．定义数列A 的“伴生数列”B 是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n
个位置上的数，n＝1，2，…，k 且yn＝
并规定x0＝xn，xn+1＝x1．如
果数列A 只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B 是
．
三、解答题（本大题共8 小题，满分72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10 分）计算求解：
（1）计算（
）﹣1﹣（
﹣
）÷
+
tan30°；
（2）解方程组
．
18．（8 分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE∥DF 且分别交对角线AC 于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF 的形状．（无需
说明理由）
19．（10 分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二
年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20 名学生的测试
成绩（满分50 分，30 分及30 分以上为合格；40 分及40 分以上为优秀）进行整理、描
述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20 名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，
25．
大学二年级20 名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成
绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：
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年级
平均数
众数
中位数
优秀率
大一
a
b
43
m
大二
39.5
44
c
n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ，n
；
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说
明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240 名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加
此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000 人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求
两人在同一年级的概率．
20．（8 分）如图，线段EF 与MN 表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学
们需要在河岸MN 上测量这段河的宽度（EF 与MN 之间的距离），已知河对岸EF 上有
建筑物C、D，且CD＝60 米，同学们首先在河岸MN 上选取点A 处，用测角仪测得C
建筑物位于A 北偏东45°方向，再沿河岸走20 米到达B 处，测得D 建筑物位于B 北偏东
55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示
即可）
21．（7 分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．
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探究3
电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式．
月使用费/元
主叫限定时间/
min
主叫超时
费/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
考虑下列问题：
月使用费固定收：
主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．
（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t 是正整数）．根据上表，列表说明：当t 在
不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计
算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起
计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x 和自变量的函
数y，请你帮小明写出：
x 表示问题中的 ，y 表示问题中的 ．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出
如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）
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22．（7 分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展
了“足球俱乐部1 小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A 品牌足球
共花费2880 元，B 品牌足球共花费2400 元，且购买A 品牌足球数量是B 品牌数量的1.5
倍，每个足球的售价，A 品牌比B 品牌便宜12 元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要
从该店再购买A、B 两种足球共50 个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，
A 品牌比去年提高了5%，B 品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B 两种足球的总
费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B 品牌足球？
23．（10 分）已知AB 是⊙O 的任意一条直径．
（1）用图1，求证：⊙O 是以直径AB 所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O 的面积为4π，直线CD 与⊙O 相切于点C，过点B 作BD⊥CD，垂足为
D，如图2．
求证：①
BC2＝2BD；
②改变图2 中切点C 的位置，使得线段OD⊥BC 时，OD＝2
．
24．（12 分）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 ，根据该抛物线在对称轴
两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x 轴 （填上方
或下方），即4ah﹣k2 0（填大于或小于）时，该抛物线与x 轴必
有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x 轴的两侧，则抛物线顶
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点必在x 轴下方，请你结合A、B 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，
对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐
标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0 时，（b﹣
c）2＞4a（a+b+c）．
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