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2021 年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1．﹣（﹣2）的值为（ ）
A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
2．据报道，我省今年前4 个月货物贸易进出口总值为52860000000 元人民币，比去年同期
增长28.2%．其中52860000000 这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.5286×1011
B．5.286×1010
C．52.86×109
D．5286×107
3．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥
B．长方体
C．球
D．圆柱
4．关于x 的一元二次方程x2﹣6x+m＝0 有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
5．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B 两点间的距离为30 米，∠A
＝α，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）
A．30sinα 米
B．
米
C．30cosα 米
D．
米
6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB 的大小为（
）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
7．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D，使
△ACD 为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B 在函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象上，过点A
作x 轴的垂线，与函数y＝﹣
（x＞0）的图象交于点C，连结BC 交x 轴于点D．若点
A 的横坐标为1，BC＝3BD，则点B 的横坐标为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
9．分解因式：a2+2a＝ ．
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2
10．不等式组
的所有整数解为 ．
11．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D 在边AC 上，BC∥EF，则∠ADE 的大小为
度．
12．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200 米，圆心角∠AOB＝90°，则这
段铁轨的长度为 米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，OA＝2，点B
在第一象限．标记点B 的位置后，将△AOB 沿x 轴正方向平移至△A1O1B1 的位置，使
A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，
此时点B2的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A 作y 轴的垂线，
交抛物线于另一点B，点C、D 在线段AB 上，分别过点C、D 作x 轴的垂线交抛物线于
E、F 两点．当四边形CDFE 为正方形时，线段CD 的长为 ．
三、解答题（本大题共10 小题，共78 分）
15．（6 分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝
+4．
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3
16．（6 分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数
字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获
胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮
再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
17．（6 分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米
的售价仅比普通大米多2 元，用420 元购买的有机大米与用300 元购买的普通大米的重
量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
18．（7 分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E
在边AD 上，AE＝
AD，连结BE 交AC 于点M．
（1）求AM 的长．
（2）tan∠MBO 的值为 ．
19．（7 分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查
阅相关资料得到如下信息：长春市2020 年的粮食总产量达到960 万吨，比上年增长约
9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．
根据以上信息回答下列问题：
（1）2020 年玉米产量比2019 年玉米产量多 万吨．
（2）扇形统计图中n 的值为 ．
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4
（3）计算2020 年水稻的产量．
（4）小明发现如果这样计算2020 年粮食总产量的年增长率：
＝
0，就与2020 年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．
20．（7 分）图①、图②、图③均是4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每
个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C 均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定
的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．
21．（8 分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭
壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺
匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并
从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2 小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（厘米）
6
18
30
42
54
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺
读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，
求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12 小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90 厘米时是几点钟？
（箭尺最大读数为100 厘米）
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22．（9 分）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B
落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A 的直
线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF，则∠EAF＝ 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N．我们发现，当
点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在
折痕AE 上，则∠AEF＝ 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM 与NF 的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝
，则线段AP 的长为 ．
23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D 为边AC 的中点．动
点P 从点A 出发，沿折线AB﹣BC 以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动，当点P 不与
点A、C 重合时，连结PD．作点A 关于直线PD 的对称点A′，连结A′D、A′A．设
点P 的运动时间为t 秒．
（1）线段AD 的长为 ；
（2）用含t 的代数式表示线段BP 的长；
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（3）当点A′在△ABC 内部时，求t 的取值范围；
（4）当∠AA′D 与∠B 相等时，直接写出t 的值．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m 为常数）的顶点为A．
（1）当m＝
时，点A 的坐标是 ，抛物线与y 轴交点的坐标是
；
（2）若点A 在第一象限，且OA＝
，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写
出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；
（3）当x≤2m 时，若函数y＝2（x﹣m）2+m 的最小值为3，求m 的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、
N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分
别记为点B、点C，且点B 的纵坐标大于点C 的纵坐标．若点B 到y 轴的距离与点C 到
x 轴的距离相等，直接写出m 的值．
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