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2021 年广西玉林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上.
1．计算：﹣1+2 的结果是（ ）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
2．我市今年中考报名人数接近101000 人，将数据101000 用科学记数法表示是（ ）
A．10.1×104
B．1.01×105
C．1.01×106
D．0.101×106
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．长方体
D．三棱柱
4．下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10
B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b
C．（ab）﹣3＝ab﹣3
D．a6÷a2＝a4
5．甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6 次，他们的成绩如下表（单位：环）：
甲
6，7，8，8，9，9
乙
5，6，x，9，9，10
如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x 是（ ）
A．6 环
B．7 环
C．8 环
D．9 环
6．如图，△ABC 底边BC 上的高为h1，△PQR 底边QR 上的高为h2，则有（ ）
A．h1＝h2
B．h1＜h2
C．h1＞h2
D．以上都有可能
7．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，
小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
8．一个不透明的盒子中装有2 个黑球和4 个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意
摸出3 个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1 个白球
B．至少有2 个白球
C．至少有1 个黑球
D．至少有2 个黑球
9．已知关于x 的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0 有两个不相等的实数根x1，x2，则（ ）
A．x1+x2＜0
B．x1x2＜0
C．x1x2＞﹣1
D．x1x2＜1
10．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→e ③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅①
B．仅③
C．①②
D．②③
11．观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（ ）
A．15×24
B．31×24
C．33×24
D．63×24
12．图（1），在Rt△ABC 中，∠A＝90°，点P 从点A 出发，沿三角形的边以1cm/秒的速
度逆时针运动一周，图（2）是点P 运动时，线段AP 的长度y（cm）随运动时间x
（秒）变化的关系图象，则图（2）中P 点的坐标是（ ）
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A．（13，4.5）
B．（13，4.8）
C．（13，5）
D．（13，5.5）
二、填空题：本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分。把答案填在答题卡中的横线上。
13．4 的相反数是 ．
14．8 的立方根是 ．
15．方程
＝
的解是 ．
16．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 海里和16 海里，1 小时后两船分别位于点
A，B 处，且相距20 海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿
方向航行．
17．如图，△ABC 是等腰三角形，AB 过原点O，底边BC∥x 轴，双曲线y＝
过A，B 两
点，过点C 作CD∥y 轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k 的值是 ．
18．如图，在正六边形ABCDEF 中，连接对角线AD，AE，AC，DF，DB，AC 与BD 交于
点M，AE 与DF 交于点为N，MN 与AD 交于点O，分别延长AB，DC 于点G，设AB＝
3．有以下结论：
①MN⊥AD
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3
②MN＝2
③△DAG 的重心、内心及外心均是点M
④四边形FACD 绕点O 逆时针旋转30°与四边形ABDE 重合
则所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共8 小题，满分共66 分。解答应写出证明过程或演算步理（含相应的
文字说明），将解答写在答题卡上。
19．（6 分）计算：
+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．
20．（6 分）先化简再求值：（a﹣2+
）÷
，其中a 使反比例函数y＝
的图象分
别位于第二、四象限．
21．（8 分）如图，在△ABC 中，D 在AC 上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝
AC，求
的值．
22．（8 分）2021 年是中国共产党建党100 周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生
参加建党100 周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部
分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，
并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：
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请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650 人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2 人参加区级比
赛，求抽到甲、乙两人的概率．
23．（8 分）如图，⊙O 与等边△ABC 的边AC，AB 分别交于点D，E，AE 是直径，过点D
作DF⊥BC 于点F．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）连接EF，当EF 是⊙O 的切线时，求⊙O 的半径r 与等边△ABC 的边长a 之间的数
量关系．
24．（8 分）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A，B 两个焚烧炉，每个焚
烧炉每天焚烧垃圾均为100 吨，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50 度，
A，B 焚烧炉每天共发电55000 度．
（1）求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的
发电量分别增加a%和2a%，则A，B 焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求a 的最
小值．
25．（10 分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，已知OA＝OC，OB
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＝OD，过点O 作EF⊥BD，分别交AB、DC 于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF 是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4
，求AF 的长．
26．（12 分）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x 轴交点为A，B（A 在B 的左侧），
顶点为D．
（1）求点A，B 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线y＝﹣
x 与抛物线交于点M，N，且M，N 关于原点对称，求抛物线的解
析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝
上，设直线l 与y 轴的交点为O′，原抛物线上的点P 平移后的对应点为点Q，若O′P
＝O′Q，求点P，Q 的坐标．
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2021 年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上.
1．计算：﹣1+2 的结果是（ ）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
【分析】直接利用有理数加减运算法则：绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数
符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值进行计算得出答案．
【解答】解：﹣1+2＝1．
故选：A．
2．我市今年中考报名人数接近101000 人，将数据101000 用科学记数法表示是（ ）
A．10.1×104
B．1.01×105
C．1.01×106
D．0.101×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【解答】解：101000＝1.01×105，
故选：B．
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．长方体
D．三棱柱
【分析】该几何体的主视图与左视图、俯视图均为矩形，易得出该几何体的形状．
【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩
形大小不一，
故该几何体是长方体．
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10
B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b
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7
C．（ab）﹣3＝ab﹣3
D．a6÷a2＝a4
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、
单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故此选项不合题意；
B、﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b，故此选项不合题意；
C、（ab）﹣3＝a﹣3b﹣3，故此选项不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故此选项符合题意．
故选：D．
5．甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6 次，他们的成绩如下表（单位：环）：
甲
6，7，8，8，9，9
乙
5，6，x，9，9，10
如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x 是（ ）
A．6 环
B．7 环
C．8 环
D．9 环
【分析】根据中位数的定义，结合表中数据，即可求出答案．
【解答】解：根据题意可得甲的中位数是
＝8，
因为两人的比赛成绩的中位数相同，
所以乙的中位数是8，
8＝（9+x）÷2，
所以x＝7，
故选：B．
6．如图，△ABC 底边BC 上的高为h1，△PQR 底边QR 上的高为h2，则有（ ）
A．h1＝h2
B．h1＜h2
C．h1＞h2
D．以上都有可能
【分析】分别作出△ABC 底边BC 上的高为AD 即h1，△PQR 底边QR 上的高为PE 即
h2，再利用锐角三角函数分别表示出h1和h2即可选出正确答案．
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8
【解答】解：如图，分别作出△ABC 底边BC 上的高为AD 即h1，△PQR 底边QR 上的
高为PE 即h2，
在Rt△ADC 中，h1＝AD＝5×sin55°，
在Rt△PER 中，h2＝PE＝5×sin55°，
∴h1＝h2，
故选：A．
7．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，
小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【分析】根据垂径定理判断即可．
【解答】解：被直径平分的弦也与直径垂直，这个结论错误，当弦是直径时，满足条件，
结论不成立，
故选：D．
8．一个不透明的盒子中装有2 个黑球和4 个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意
摸出3 个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1 个白球
B．至少有2 个白球
C．至少有1 个黑球
D．至少有2 个黑球
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别进解答即可得出答案．
【解答】解：至少有1 个球是白球是必然事件，故本选项符合题意；
至少有2 个球是白球是随机事件，故本选项不符合题意；
至少有1 个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；
至少有2 个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：A．
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9．已知关于x 的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0 有两个不相等的实数根x1，x2，则（ ）
A．x1+x2＜0
B．x1x2＜0
C．x1x2＞﹣1
D．x1x2＜1
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，再利用根与系数的
关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，
所以x1+x2＝2，x1x2＝m＜1．
故选：D．
10．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→e ③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅①
B．仅③
C．①②
D．②③
【分析】①由条件a 可得到四边形是平行四边形，添加c 得到平行四边形是菱形，再添
加d 得到菱形是正方形，①正确；
②由条件b 得到四边形是平行四边形，添加d 平行四边形是矩形，再添加c 矩形是正方
形，②正确；
③由a 和b 都可得到四边形是平行四边形，再添加c 得到平行四边形是菱形，不能得到
四边形是正方形，③不正确．
【解答】解：①由a 得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c 即一组邻边
相等的平行四边形是菱形，再添加d 即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b 得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d 即有一个角是直角的平
行四边形是矩形，再添加c 即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a 得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b 得到一组对边平行且相等
的平行四边形仍是平行四边形，再添加c 即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得
到四边形是正方形，故③不正确；
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10
故选：C．
11．观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（ ）
A．15×24
B．31×24
C．33×24
D．63×24
【分析】根据已知图中规律可得：Yn＝1+2+22+23+24+25+26+27+•••+2n﹣1，相减可得结论．
【解答】解：由题意得：
第1 个图：Y1＝1，
第2 个图：Y2＝3＝1+2，
第3 个图：Y3＝7＝1+2+22，
第4 个图：Y4＝15＝1+2+22+23，
•••
第9 个图：Y9＝1+2+22+23+24+25+26+27+28，
∴Y9﹣Y4＝24+25+26+27+28＝24（1+2+22+23+24）＝24×（3+4+8+16）＝24×31．
故选：B．
12．图（1），在Rt△ABC 中，∠A＝90°，点P 从点A 出发，沿三角形的边以1cm/秒的速
度逆时针运动一周，图（2）是点P 运动时，线段AP 的长度y（cm）随运动时间x
（秒）变化的关系图象，则图（2）中P 点的坐标是（ ）
A．（13，4.5）
B．（13，4.8）
C．（13，5）
D．（13，5.5）
【分析】图（2）中的图象有三段，正好对应图（1）中的线段AB，BC，AC，所以AB
＝8，BC＝10，当x＝13 时，则P 点为BC 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，求得此时AP 的长度，即图（2）中点P 的纵坐标y．
【解答】解：由图象可知：AB＝8，BC＝18﹣8＝10，
当x＝13 时，即点运动了13＞8，
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∴此时点P 在线段BC 上，BP＝13﹣8＝5，
则P 点为BC 的中点，
又因为∠A＝90°，
所以AP＝
BC＝5．
所以图（2）中P 的坐标为（13，5）．
故选：C．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分。把答案填在答题卡中的横线上。
13．4 的相反数是 ﹣
4
．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：4 的相反数是﹣4，
故答案为：﹣4．
14．8 的立方根是
2
．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8 的立方根为2，
故答案为：2．
15．方程
＝
的解是
x ＝
．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝1，
解得：x＝
，
检验：当x＝
时，2（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝
．
故答案为：x＝
．
16．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 海里和16 海里，1 小时后两船分别位于点
A，B 处，且相距20 海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 北偏东
50°
方向航行．
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12
【分析】根据题意即可知AP＝12，BP＝16，AB＝20，利用勾股定理的逆定理可推出
△APB 是直角三角形，由甲船沿北偏西40°方向航行，即可推出乙船的航行方位角．
【解答】解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴△APB 是直角三角形，
∴∠APB＝90°，
由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行，
故答案为：北偏东50°．
17．如图，△ABC 是等腰三角形，AB 过原点O，底边BC∥x 轴，双曲线y＝
过A，B 两
点，过点C 作CD∥y 轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k 的值是
3
．
【分析】过点A 作AE∥y 轴，交BC 与点E，设点A（a，
）则B（﹣a，﹣
），可表
示出BC 和DC 的长度，又S△BCD＝
＝8，即可求出k 的值．
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13
【解答】
解：过点A 作AE∥y 轴，交BC 与点E，设点A（a，
）则B（﹣a，﹣
），
∴BE＝2a，
∵，△ABC 是等腰三角形，底边BC∥x 轴，CD∥y 轴，
∴BC＝4a，
∴点D 的横坐标为3a，
∴点D 的纵坐标为
，
∴CD＝
，
∵S△BCD＝
＝8，
∴
，
∴k＝3，
故答案为3．
18．如图，在正六边形ABCDEF 中，连接对角线AD，AE，AC，DF，DB，AC 与BD 交于
点M，AE 与DF 交于点为N，MN 与AD 交于点O，分别延长AB，DC 于点G，设AB＝
3．有以下结论：
①MN⊥AD
②MN＝2
③△DAG 的重心、内心及外心均是点M
④四边形FACD 绕点O 逆时针旋转30°与四边形ABDE 重合
则所有正确结论的序号是
①②③
．
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【分析】①正确．证明四边形AMDN 是菱形即可．
②正确．证明△DMN 是等边三角形，求出DM 即可．
③正确．证明△ADG 是等边三角形即可．
④错误．应该是四边形FACD 绕点O 逆时针旋转60°与四边形ABDE 重合．
【解答】解：如图，连接BE．
在△AFN 和△DEN 中，
，
∴△AFN≌△DEN（AAS），
∴AN＝AN，
同法可证AN＝AM，AM＝DM，
∴AM＝MD＝DN＝NA，
∴四边形AMDN 是菱形，故①正确，
∵∠EDF＝∠BDC＝30°，∠EDC＝120°，
∴∠MDN＝60°，
∵DM＝DN，
∴△DMN 是等边三角形，
∴MN＝DM＝
＝
＝2
，故②正确，
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∵∠DAB＝∠ADC＝60°，
∴△ADG 是等边三角形，
∵DB⊥AG，AC⊥DG，
∴点M 是△ADG 的重心、内心及外心，故③正确，
∵∠DOE＝60°，
∴四边形FACD 绕点O 逆时针旋转60°与四边形ABDE 重合，故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题：本大题共8 小题，满分共66 分。解答应写出证明过程或演算步理（含相应的
文字说明），将解答写在答题卡上。
19．（6 分）计算：
+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．
【分析】直接利用算术平方根以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三
角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣1﹣6×
＝4+1﹣1﹣3
＝1．
20．（6 分）先化简再求值：（a﹣2+
）÷
，其中a 使反比例函数y＝
的图象分
别位于第二、四象限．
【分析】根据题意得出a＜0，则|a|＝﹣a，然后把分式（a﹣2+
）÷
进行化简
即可求得所求式子的值．
【解答】解：反比例函数y＝
的图象分别位于第二、四象限，
∴a＜0，
∴|a|＝﹣a，
（a﹣2+
）÷
＝
•
＝﹣1．
21．（8 分）如图，在△ABC 中，D 在AC 上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
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16
（2）若CD＝
AC，求
的值．
【分析】（1）利用题干中两组平行线找到两角对应相等即可求证△DFC∽△AED；
（2）利用题干条件，找到△DFC 和△AED 的相似比，即可求出
的值．
【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝
AC，
∴
＝
由（1）知△DFC 和△AED 的相似比为：
＝
，
故：
＝（
）2＝（
）2＝
．
22．（8 分）2021 年是中国共产党建党100 周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生
参加建党100 周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部
分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，
并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：
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请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650 人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2 人参加区级比
赛，求抽到甲、乙两人的概率．
【分析】（1）由“不及格”的学生人数除以所占百分比去抽取的人数，即可解决问题；
（2）由该校八年级学生人数乘以成绩未达到“良好”及以上的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图，共有12 种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2 种，再由概率公
式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：2÷5%＝40（人），
则达到“良好”的学生人数为：40×40%＝16（人），达到“合格”的学生所占的百分
比为：10÷40×100%＝25%，
达到“优秀”的学生所占的百分比为：12÷40×100%＝30%，
将两个统计图补充完整如下：
（2）650×（5%+25%）＝195（人），
答：估计成绩未达到“良好”及以上的有195 人；
（3）画树状图如图：
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共有12 种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2 种，
∴抽到甲、乙两人的概率为
＝
．
23．（8 分）如图，⊙O 与等边△ABC 的边AC，AB 分别交于点D，E，AE 是直径，过点D
作DF⊥BC 于点F．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）连接EF，当EF 是⊙O 的切线时，求⊙O 的半径r 与等边△ABC 的边长a 之间的数
量关系．
【分析】（1）连结OD，根据已知条件可推出△DOA 是等边三角形，利用∠ODA＝∠C
即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；
（2）用含有a 和r 的式子分别表示出BE 和BF 的长，根据BF＝2BE 列出等式即可找到
r 与a 的数量关系．
【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：
∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
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∴△DOA 是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF 是⊙O 的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC 的边长为a，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r
在Rt△CFD 中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，
∴CF＝
，
∴BF＝a﹣
，
又∵EF 是⊙O 的切线，
∴△FEB 是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣
（a﹣r）＝2（a﹣2r），
解得：a＝3r，
即r＝
，
∴⊙O 的半径r 与等边△ABC 的边长a 之间的数量关系为：r＝
．
24．（8 分）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A，B 两个焚烧炉，每个焚
烧炉每天焚烧垃圾均为100 吨，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50 度，
A，B 焚烧炉每天共发电55000 度．
（1）求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的
发电量分别增加a%和2a%，则A，B 焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求a 的最
小值．
【分析】（1）设焚烧1 吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度，根据“每焚烧
一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50 度，A，B 焚烧炉每天共发电55000 度”列方
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程组解答即可；
（2）根据题意可得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300（1+a%）度，则B 焚
烧炉发电250（1+2a%）度，根据A，B 焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%一元一次
不等式即可求解．
【解答】解：（1）设焚烧1 吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度，
根据题意得：
，
解得
，
答：焚烧1 吨垃圾，A 焚烧炉发电300 度，B 发焚烧炉发电250 度；
（2）改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300（1+a%）度，则B 焚烧炉发电250
（1+2a%）度，依题意有
100×300（1+a%）+100×250（1+2a%）≥55000[1+（5+a）%]，
整理得5a≥55，
解得a≥11，
∴a 的最小值为11．
25．（10 分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，已知OA＝OC，OB
＝OD，过点O 作EF⊥BD，分别交AB、DC 于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF 是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4
，求AF 的长．
【分析】（1）先根据对角线互相平分证得四边形ABCD 为平行四边形，在证得
△DOF≌△BOE，从而得到DF∥BE，DF＝BE，得到四边形DEBF 为平行四边形，根据
对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；
（2）过点F 作FG⊥AB 于点G，根据勾股定理求得AD、AB 的长度，从而得到∠ABD
＝30°，根据菱形性质得到△BEF 为等边三角形，再根据勾股定理求出AG 和GF 的长度，
根据勾股定理求出AF 的长．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
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∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE 和△DOF 中，
，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF 是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF 是菱形；
（2）过点F 作FG⊥AB 于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD 中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4
，
∴AD2+（4
）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF 是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF 是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF 中，BF＝4，BG＝2，
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根据勾股定理得，FG＝
，
在Rt△AGF 中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝
＝
＝4
．
26．（12 分）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x 轴交点为A，B（A 在B 的左侧），
顶点为D．
（1）求点A，B 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线y＝﹣
x 与抛物线交于点M，N，且M，N 关于原点对称，求抛物线的解
析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝
上，设直线l 与y 轴的交点为O′，原抛物线上的点P 平移后的对应点为点Q，若O′P
＝O′Q，求点P，Q 的坐标．
【分析】（1）根据题目给出的解析式可直接求出点A，B，D 的坐标；
（2）先设出M，N 的横坐标，根据原点对称的特点列出关于a 的式子，求出即可；
（3）先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，然后设出P 的坐标（x，
y），根据O′P＝O′Q 列出关于x 的式子，算出x 即可求出P，Q 的坐标．
【解答】解：（1）取y＝0，则有ax2﹣3ax﹣4a＝0，
即x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
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对称轴为直线x＝
，
（2）设M 的横坐标为x1，N 的横坐标为x2，
根据题意得：
，
即
，
，
又∵M，N 关于原点对称，
∴
，
∴a＝
，
∴
，
（3）∵
，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为
，
∴抛物线向上平移了四个单位，
设P（x，
），则Q（x，
），
由题意得O'（0，
），
∵O′P＝O′Q，
∴
，
解得
，
，
若
，
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则y＝
，
∴P（
，﹣
），Q（
，
），
若
，
则y＝
，
∴P（
，
），Q（
，
），
综上，P（
，﹣
），Q（
，
）或P（
，
），Q（
，
）．
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