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2021 年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题,每小题3 分,共30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求。
1．若盈余2 万元记作+2 万元，则﹣2 万元表示（ ）
A．盈余2 万元
B．亏损2 万元
C．亏损﹣2 万元
D．不盈余也不亏损
2．一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．x+2x＝3x2
B．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y
C．（x2）3＝x5
D．x5÷x3＝x2
4．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D 的度数是（ ）
A．72°28′
B．101°28′
C．107°32′
D．127°32′
5．计算
÷（a+1﹣
）的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，正五边形ABCDE 中，∠CAD 的度数为（ ）
A．72°
B．45°
C．36°
D．35°
8．已知m，n 是一元二次方程x2+x﹣2021＝0 的两个实数根，则代数式m2+2m+n 的值等于
（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
9．如图，已知△ABC．
（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M，交AB 于点N．
（2）分别以M，N 为圆心，以大于
MN 的长为半径画弧，两弧在∠BAC 的内部相交于
点P．
（3）作射线AP 交BC 于点D．
（4）分别以A，D 为圆心，以大于
AD 的长为半径画弧，两弧相交于G，H 两点．
（5）作直线GH，交AC，AB 分别于点E，F．
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依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝
，则CD 的长是（ ）
A．
B．1
C．
D．4
10．按规律排列的一组数据：
，
，□，
，
，
，…，其中□内应填的数是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分。
11．数字6100000 用科学记数法表示是 ．
12．如图，四边形ABCD 中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 ，使
△ABC≌△ADC．
13．已知一组数据0，1，x，3，6 的平均数是y，则y 关于x 的函数解析式是
．
14．如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，
以OB 为半径作半圆，交AC 于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
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15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的正半轴交于点A，对称轴为直线
x＝1．下面结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1 且小于0．
其中正确的是 ．（只填序号）
三、解答题：本大题共7 小题，共55 分。
16．（5 分）计算：|
﹣1|+cos45°﹣（
）﹣3+
．
17．（7 分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，
并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200 人，则估计该校“良好”的人数是 ；
（4）已知“不及格”的3 名学生中有2 名男生、1 名女生，如果从中随机抽取两名同学
进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
18．（7 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），
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反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数y＝
（x＞0）图象上的点（1，
n），求m，n 的值．
19．（8 分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，点D 是BC 的中点，连接OD 并延长交
⊙O 于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP 交OE 的延长线于点P．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O 的半径．
20．（8 分）某商场购进甲、乙两种商品共100 箱，全部售完后，甲商品共盈利900 元，乙
商品共盈利400 元，甲商品比乙商品每箱多盈利5 元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前
提下，平均每天可卖出100 箱．如调整价格，每降价1 元，平均每天可多卖出20 箱，那
么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
21．（9 分）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
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立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′ B′ C′ D′ （图1 ），因为在平面AA′ C′ C 中，
CC′∥AA'，AA′与AB 相交于点A，所以直线AB 与AA′所成的∠BAA′就是既不相交
也不平行的两条直线AB 与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC
所成角的大小．
（2）如图2，M，N 是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2 的展开图，这个图形是
；
②在所选正确展开图中，若点M 到AB，BC 的距离分别是2 和5，点N 到BD，BC 的距
离分别是4 和3，P 是AB 上一动点，求PM+PN 的最小值．
22．（11 分）如图，直线y＝﹣
x+
分别交x 轴、y 轴于点A，B，过点A 的抛物线y＝﹣
x2+bx+c 与x 轴的另一交点为C，与y 轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l 交AD 于
点E，连接OE 交AB 于点F．
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6
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M，是否存在这样的点P，使以A，
O，M 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理
由．
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2021 年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题,每小题3 分,共30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求。
1．若盈余2 万元记作+2 万元，则﹣2 万元表示（ ）
A．盈余2 万元
B．亏损2 万元
C．亏损﹣2 万元
D．不盈余也不亏损
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
【解答】解：﹣2 万元表示亏损2 万元，
故选：B．
2．一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形
【分析】圆柱体的左视图是长方形，再根据长方形的对称性进行判断即可．
【解答】解：圆柱体的左视图是长方形，而长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选：A．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．x+2x＝3x2
B．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y
C．（x2）3＝x5
D．x5÷x3＝x2
【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数的幂相除，
底数不变指数相减，幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为x+2x＝3x，故本选项错误；
B、应为﹣（x﹣y）＝﹣x+y，故本选项错误；
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C、（x2）3＝x2×3＝x6，，故本选项错误；
D、x5÷x3＝x5﹣3＝x2，故本选项正确．
故选：D．
4．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D 的度数是（ ）
A．72°28′
B．101°28′
C．107°32′
D．127°32′
【分析】先根据AB∥CD 求出∠C 的度数，再由BC∥DE 即可求出∠D 的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝72°28′，
∴∠C＝∠B＝72°28′，
∵BC∥DE，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝107°32′，
故选：C．
5．计算
÷（a+1﹣
）的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算乘除，后算加减，如果有小括号先算
小括号里面的．
【解答】解：原式＝
÷[
]
＝
÷
＝
＝
，
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故选：A．
6．不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等
式组的解集即可．
【解答】解：
，
解不等式①，得x≥﹣1，
解不等式②，得x＜3，
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜3，
在数轴上表示出来为：
，
故选：B．
7．如图，正五边形ABCDE 中，∠CAD 的度数为（ ）
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A．72°
B．45°
C．36°
D．35°
【分析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出∠CAB 和
∠DAE，即可求出∠CAD．
【解答】解：根据正多边形内角和公式可得，
正五边形ABCDE 的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°，
则∠BAE＝∠B＝∠E＝
＝108°，
根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，
∴∠CAB＝∠DAE＝
（180°﹣108°）＝36°，
∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，
故选：C．
8．已知m，n 是一元二次方程x2+x﹣2021＝0 的两个实数根，则代数式m2+2m+n 的值等于
（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2021，则m2+2m+n＝2021+m+n，再利
用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m 是一元二次方程x2+x﹣2021＝0 的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n 是一元二次方程x2+x﹣2021＝0 的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
9．如图，已知△ABC．
（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M，交AB 于点N．
（2）分别以M，N 为圆心，以大于
MN 的长为半径画弧，两弧在∠BAC 的内部相交于
点P．
（3）作射线AP 交BC 于点D．
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（4）分别以A，D 为圆心，以大于
AD 的长为半径画弧，两弧相交于G，H 两点．
（5）作直线GH，交AC，AB 分别于点E，F．
依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝
，则CD 的长是（ ）
A．
B．1
C．
D．4
【分析】利用作法得AD 平分∠BAC，EF 垂直平分AD，所以∠EAD＝∠FAD，EA＝
ED，FA＝FD，再证明四边形AEDF 为菱形得到AE＝AF＝2，然后利用平行线分线段成
比例定理计算CD 的长．
【解答】解：由作法得AD 平分∠BAC，EF 垂直平分AD，
∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AF，
同理可得AE∥DF，
∴四边形AEDF 为平行四边形，
而EA＝ED，
∴四边形AEDF 为菱形，
∴AE＝AF＝2，
∵DE∥AB，
∴
＝
，即
＝
，
∴CD＝
．
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故选：C．
10．按规律排列的一组数据：
，
，□，
，
，
，…，其中□内应填的数是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，根据规律即可得到答案．
【解答】解：观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，
∴第n 个数据为：
．
当n＝3 时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，
∴这个数为
＝
，
故选：D．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分。
11．数字6100000 用科学记数法表示是
6.1×10
6
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：用科学记数法表示6100000，应记作6.1×106，
故答案是：6.1×106．
12．如图，四边形ABCD 中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件
AD
＝
AB
（答案不唯
一） ，使△ABC≌△ADC．
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【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是AD＝AB，
理由是：在△ABC 和△ADC 中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．
13．已知一组数据0，1，x，3，6 的平均数是y，则y 关于x 的函数解析式是
y ＝
+2
．
【分析】根据平均数的公式直接列式即可得到函数解析式．
【解答】解：根据题意得：
y＝（0+1+x+3+6）÷5
＝
+2．
故答案为：y＝
+2．
14．如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，
以OB 为半径作半圆，交AC 于点D，则图中阴影部分的面积是
﹣
．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE 的长、∠DOB 的度数，然后根据
图形可知阴影部分的面积是△ABC 的面积减去△COD 的面积和扇形BOD 的面积，从而
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可以解答本题．
【解答】解，连接OD，过D 作DE⊥BC 于E，
在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝
＝
＝
，BC＝
＝
＝2
，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝
BC＝
，
∴DE＝
，
∴阴影部分的面积是：
2×2
﹣
﹣
＝
﹣
，
故答案为：
﹣
．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的正半轴交于点A，对称轴为直线
x＝1．下面结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1 且小于0．
其中正确的是
①②④
．（只填序号）
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【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵﹣
＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，
∴函数图象与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣1，0）之间，故④正确；
∴当x﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，
∴y＝a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
三、解答题：本大题共7 小题，共55 分。
16．（5 分）计算：|
﹣1|+cos45°﹣（
）﹣3+
．
【分析】根据绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．
【解答】解：原式＝
﹣1+
﹣
+2
＝
﹣1+
﹣
+2
＝﹣1+
．
17．（7 分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，
并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．
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（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是
108°
；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200 人，则估计该校“良好”的人数是
510
人
；
（4）已知“不及格”的3 名学生中有2 名男生、1 名女生，如果从中随机抽取两名同学
进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
【分析】（1）由360°乘以“优秀”的人数所占的比例即可；
（2）求出这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），得出及格的人数，补全条形统计图
即可；
（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有6 种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2 种，则由概率公式
求解即可．
【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝
108°，
故答案为：108°；
（2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），
则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：
（3）估计该校“良好”的人数为：1200×
＝510（人），
故答案为：510 人；
（4）画树状图如图：
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共有6 种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2 种，
∴抽到两名男生的概率为
＝
．
18．（7 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），
反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数y＝
（x＞0）图象上的点（1，
n），求m，n 的值．
【分析】（1）过A 作AD⊥x 轴于D，证明△BOC≌△CDA，可得OB＝CD，OC＝AD，
根据C（2，0），B（0，4），得A（6，2），而反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过
点A，故2＝
，解得k＝12，即可得反比例函数的解析式为y＝
；
（2）求出直线OA 解析式为y＝
x，可得将直线OA 向上平移m 个单位后所得直线解析
式为y＝
x+m，再由点（1，n）在反比例函数y＝
（x＞0）图象上，得n＝12，即直
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线OA 向上平移m 个单位后经过的点是（1，12），即可求出m＝
．
【解答】解：（1）过A 作AD⊥x 轴于D，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠BCO＝∠ACD，
在△BOC 和△CDA 中，
，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴OB＝CD，OC＝AD，
∵C（2，0），B（0，4），
∴AD＝2，CD＝4，
∴A（6，2），
∵反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点A，
∴2＝
，解得k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝
；
（2）由（1）得A（6，2），
设直线OA 解析式为y＝tx，
则2＝6t，解得t＝
，
∴直线OA 解析式为y＝
x，
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将直线OA 向上平移m 个单位后所得直线解析式为y＝
x+m，
∵点（1，n）在反比例函数y＝
（x＞0）图象上，
∴n＝
＝12，
∴直线OA 向上平移m 个单位后经过的点是（1，12），
∴12＝
+m，
∴m＝
．
19．（8 分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，点D 是BC 的中点，连接OD 并延长交
⊙O 于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP 交OE 的延长线于点P．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O 的半径．
【分析】（1）由AB 为直径，可得∠ACB＝90°，又D 为BC 中点，O 为AB 中点，可得
OD∥AC，从而∠ODB＝90°．由OB＝OE 得∠OEB＝∠OBE，又∠OEB＝∠P+∠EBP，
∠OBE＝∠OBD+∠EBC，所以∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，又∠EBP＝∠EBC，得
∠P＝∠OBD．又∠BOD+∠OBD＝90°，从而可得∠BOD+∠P＝90°，即∠OBP＝90°．
则可证PB 为⊙O 切线；
（2）由（1）可得OD＝1，从而PO＝7，可证明△BDP～△OBP，从而得比例
，
解得BP＝
，最后由勾股定理可求半径OB．
【解答】解：（1）证明：∵AB 为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D 为BC 中点，O 为AB 中点，
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故OD＝
，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB 为半径，
故PB 是⊙O 的切线．
（2）∵AC＝2，
由（1）得OD＝
＝1，
又PD＝6，
∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP～△OBP．
∴
，即BP2＝OP•DP＝7×6＝42，
∴BP＝
．
∴OB＝
＝
＝
．
故⊙O 的半径为
．
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20．（8 分）某商场购进甲、乙两种商品共100 箱，全部售完后，甲商品共盈利900 元，乙
商品共盈利400 元，甲商品比乙商品每箱多盈利5 元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前
提下，平均每天可卖出100 箱．如调整价格，每降价1 元，平均每天可多卖出20 箱，那
么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，根据题意
列出方程，解方程即可，分式方程注意验根；
（2）设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，根据题意列出函数
解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
【解答】解：（1）设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，
根据题意得：
+
＝100，
整理得：x2﹣18x+45＝0，
解得：x＝15 或x＝3（舍去），
经检验，x＝15 是原分式方程的解，符合实际，
∴x﹣5＝15﹣5＝10（元），
答：甲种商品每箱盈利15 元，则乙种商品每箱盈利10 元；
（2）设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，
由题意得：w＝（15﹣a）（100+20a）＝﹣20a2+200a+1500＝﹣20（a﹣5）2+2000，
∵a＝﹣20，
当a＝5 时，函数有最大值，最大值是2000 元，
答：当降价5 元时，该商场利润最大，最大利润是2000 元．
21．（9 分）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′ B′ C′ D′ （图1 ），因为在平面AA′ C′ C 中，
CC′∥AA'，AA′与AB 相交于点A，所以直线AB 与AA′所成的∠BAA′就是既不相交
也不平行的两条直线AB 与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC
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所成角的大小．
（2）如图2，M，N 是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2 的展开图，这个图形是
丙 ；
②在所选正确展开图中，若点M 到AB，BC 的距离分别是2 和5，点N 到BD，BC 的距
离分别是4 和3，P 是AB 上一动点，求PM+PN 的最小值．
【分析】（1）如图1 中，连接BC′．证明△A′BC′是等边三角形，推出∠BA′C′
＝60°，由题意可知∠C′A′B 是两条直线AC 与BA′所成的角．
（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可．
（3）如图丙中，作点N 关于AD 的对称点K，连接MK 交AD 于P，连接PN，此时
PM+PN 的值最小，最小值为线段MK 的值，过点M 作MJ⊥NK 于J．利用勾股定理求
出MK 即可．
【解答】解：（1）如图1 中，连接BC′．
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∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B 是两条直线AC 与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC 所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2 的展开图，
故答案为：丙．
②如图丙中，作点N 关于AD 的对称点K，连接MK 交AD 于P，连接PN，此时
PM+PN 的值最小，最小值为线段MK 的值，过点M 作MJ⊥NK 于J．
由题意在Rt△MKJ 中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝
＝
＝10，
∴PM+PN 的最小值为10．
22．（11 分）如图，直线y＝﹣
x+
分别交x 轴、y 轴于点A，B，过点A 的抛物线y＝﹣
x2+bx+c 与x 轴的另一交点为C，与y 轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l 交AD 于
点E，连接OE 交AB 于点F．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M，是否存在这样的点P，使以A，
O，M 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）根据直线y＝﹣
x+
分别交x 轴、y 轴于点A，B，求出点A、B 的坐标，
再利用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求出直线AD 的解析式为y＝﹣x+3，得出E（1，2），运用三角函
数定义得出tan∠OAB＝tan∠OEG，进而可得∠OAB＝∠OEG，即可证得结论；
（3）运用待定系数法求出直线CD 解析式为y＝3x+3，根据以A，O，M 为顶点的三角
形与△ACD 相似，分两种情况：①当△AOM∽△ACD 时，∠AOM＝∠ACD，从而得出
OM∥CD，进而得出直线OM 的解析式为y＝3x，再结合抛物线的解析式为y＝﹣
x2+2x+3，即可求得点P 的横坐标；②当△AMO∽△ACD 时，利用
＝
，求出
AM，进而求得点M 的坐标，得出直线AM 的解析式，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣
x+
分别交x 轴、y 轴于点A，B，
∴A（3，0），B（0，
），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A（3，0），D（0，3），
∴
，
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解得：
，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线AD 的解析式为y＝kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，
得：
，
解得：
，
∴直线AD 的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（1，2），
∵G（1，0），∠EGO＝90°，
∴tan∠OEG＝
＝
，
∵OA＝3，OB＝
，∠AOB＝90°，
∴tan∠OAB＝
＝
＝
，
∴tan∠OAB＝tan∠OEG，
∴∠OAB＝∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG＝90°，
∴∠OAB+∠EOG＝90°，
∴∠AFO＝90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在．
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴C（﹣1，0），
∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，
∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，
∴AD＝
OA＝3
，
设直线CD 解析式为y＝mx+n，
∵C（﹣1，0），D（0，3），
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∴
，
解得：
，
∴直线CD 解析式为y＝3x+3，
①当△AOM∽△ACD 时，∠AOM＝∠ACD，如图2，
∴OM∥CD，
∴直线OM 的解析式为y＝3x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝
，x2＝
，
②当△AMO∽△ACD 时，如图3，
∴
＝
，
∴AM＝
＝
＝2
，
过点M 作MG⊥x 轴于点G，则∠AGM＝90°，
∵∠OAD＝45°，
∴AG＝MG＝AM•sin45°＝2
×
＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，
∴M（1，2），
设直线OM 解析式为y＝m1x，将M（1，2）代入，
得：m1＝2，
∴直线OM 解析式为y＝2x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝±
，
综上所述，点P 的横坐标为±
或
．
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